具有收获率和Holling-Ⅱ型功能反应函数的时滞系统的定性分析

沈 维， 姚佳佳

(兰州交通大学 数学系， 甘肃 兰州 730070)

0 引言

在生物数学中食饵-捕食模型作为重要的动力系统，近年来引起了许多研究者的广泛关注.在动力学研究中，稳定性与分支现象一直都是一个热点问题，从最初模型的建立到后来的广泛研究，数学家和生物学家致力于更准确地描述捕食者-食饵系统中存在的动态行为.为了体现捕食系统的复杂性与现实性，学者们还将功能反应函数引入系统中去.

2017年，Hu和Li[1]基于捕食模型

(1)

提出了以下具有时滞和Holling-Ⅱ型功能反应函数的捕食系统

(2)

其中变量和参数的实际意义见文献[1].他们主要研究了τj(j=1,2)的不同取值对正平衡点稳定性的影响.张宏民等[2]研究了以下具有收获率的Holling-Ⅱ类功能反应系统

(3)

其中F,G分别表示人们对食饵和捕食者的捕捞程度.他们主要对该常微系统进行了平衡点的稳定性分析.

2021年，Wang等[3]讨论了具有时滞和Holling-Ⅲ型功能反应的食饵-捕食系统

(4)

基于系统(2)和(3)，本文将研究以下具有收获率的Holling-Ⅱ型功能反应的时滞食饵-捕食系统

(5)

通过详细分析系统(5)在正平衡点E*(u*,v*)线性化系统的特征方程来探究系统正平衡点的稳定性与Hopf分支.u,v分别表示食饵与捕食者的种群数量，参量意义参考文献[1，3].τ表示食饵的生产时滞.

1 无时滞系统的稳定性和Hopf分支

在τ=0时，系统(5)变为

(6)

由文献[1，4-5]可得以下结论:

引理1系统(6)的所有解都是非负的.

从而有

于是

与假设矛盾，因此系统(6)的所有解都是非负的.

假设条件(B)1-F>0,βα>s+G且s+G

下面讨论常微系统(6)在平衡点的稳定性.在条件(B)成立下，系统(6)在某平衡点E(u,v)的线性化系统为

(7)

对应的系数行列式为

(8)

将E0(0,0),E1(K(1-F),0)分别代入系统(8)可得

由条件(B)和文献[3]知，系统(6)平衡点E0和E1是鞍点.

现将正平衡点E*(u*,v*)代入系统(7)得

(9)

线性系统(9)的特征方程为

其中

定理1(1)若Δ0<0,则当a11<0时，E*(u*,v*)为系统(6)稳定的焦点；当a11>0时，E*(u*,v*)为系统(6)不稳定的焦点；

(2)若Δ0>0,则当a11<0时，E*(u*,v*)为系统(6)稳定的结点；当a11>0时，E*(u*,v*)为系统(6)不稳定的结点.

2 时滞微分系统的稳定性

(10)

在正平衡点E*(u*,v*)处对系统(10)线性化，得

(11)

其中

方程(11)的特征方程为

|λI-Γ1-Γ2e-λτ|=0,

(12)

通过简单的计算，方程(12)改写为

λ2-(M+Ne-λτ)λ-PQ=0,

(13)

其中

假设当τ>0时，方程(13)有一对纯虚根λ=±iω(ω>0),那么令λ=iω,则方程(13)变为

-ω2-iωM-iNωcosωτ-Nωsinωτ-PQ=0,

(14)

分离方程(14)的实部和虚部可得

(15)

于是，ω满足以下方程

ω4+(M2-N2+2PQ)ω2+(PQ)2=0.

(16)

令z=ω2,则方程(16)变为

h(z)=z2+(M2-N2+2PQ)z+(PQ)2=0.

(17)

可得二次函数h(z)的判别式

Δ=(M2-N2+2PQ)2-4(PQ)2,

于是可得下面的结论:

引理2(1)如果Δ<0,那么方程(17)无正的实根；

(2)如果Δ=0,那么当M2-N2+2PQ>0时，方程(17)无正的实根；当M2-N2+2PQ<0时，方程(17)只有一个正实根；

(3)如果Δ>0,那么当M2-N2+2PQ>0时，方程(17)无正的实根；当M2-N2+2PQ<0时，方程(17)有两个正实根.

由文献[7-9]可知以下横截条件成立:

引理3假设z=ω2是方程h(z)=0的一个正根，则

假设λ(τ)=η(τ)±iω(τ)是方程(13)在τ=τj附近的一对共轭复根，那么对任意的j∈0,都有η(τj)=0,ω(τj)=ω+.因为h′(z+)=0,于是由引理3，以下横截条件

成立.于是，特征方程(13)的根没有正实部，由文献[10-11]知，此时系统(5)对任意的τ≥0,正平衡点E*都是局部渐近稳定的.

由引理2可得下面的结论:

(i)Δ≤0；

(ii)Δ>0且M2-N2+2PQ>0,

则对所有的τ≥0,系统(5)的正平衡点E*是局部渐近稳定的.

现假设条件(H)

M2-N2+2PQ<0

成立，那么方程(17)存在两个正实根

则特征方程(16)也有两个正根

(18)

由方程(15)可得相应于ωk的τ的值为

(19)

由引理3可得

由文献[7]可得以下结论:

综上可得以下结论:

定理3假设引理4的条件成立，则

3 数值模拟

这一节主要借助于Matlab软件包进一步验证以上所获得的理论结果.

图1 系统(6)的相图

(a)τ=1.1 (b)τ=1.5图2 系统(5)的轨迹.

例2在时滞系统(5)中:取s=1,G=1,F=0.05,β=2,α=3,K=1,则a11<0,Δ>0且j0=1,于是可得:

即

0<1.2070<2.2135<7.1969<

13.1868<13.1982.