关联代数上Lie中心化子的刻画

周 斯 名

(吉林师范大学 数学学院， 吉林 长春 130000)

0 引言

关于Lie中心化子及其等价形式的研究一直深受研究人员的关注.对于任意环R，以及线性映射φ：R→R，如果满足对任意的x,y∈R，都有φ(xyx)=xφ(y)x,文献[1]证明了φ是中心化子.设U是可交换环R上的三角代数，对任意的x,y∈R以及线性映射φ:U→U,当xy=0时,满足φ([x,y])=[φ(x),y]=[x,φ(y)],则存在a∈Z(U)及线性映射τ∶U→Z(U),使得对任意x∈U,文献[2]证明了φ(x)=ax+τ(x),其中τ作用在满足xy=0的交换子[x,y]为零.如果存在正整数m，n使得(m+n)φ([A,B])=m[φ(A),B]+n[A,φ(B)]对所有A,B∈B(X)成立，则存在λ∈F及在换位子为零的可加映射h∶B(X)→F使得对任意A∈B(X),文献[3]证明了φ(A)=λA+h(A)I.相关结论见文献[4-9].受上述结论的启发，本文刻画关联代数I(X,R)上中心化子的表达形式.

1 预备知识

定义1.1设R是环或代数.如果一个可加(线性)映射φ∶R→R满足对任意A,B∈R,有φ(AB)=φ(A)B(φ(AB)=Aφ(B)),则称φ是左(右)中心化子;若φ既是左中心化子又是右中心化子,称φ是中心化子.

定义1.2设R是环或代数.如果一个可加(线性)映射φ∶R→R满足对任意A,B∈R,有φ([A,B])=[φ(A),B]=[A,φ(B)],则称φ是Lie中心化子.

关联代数的概念最早由Ward[12]引出，之后人们对关联代数上的映射进行了研究(参考文献[13-22]).

定义1.3若集合X中的二元关系≤满足以下两个条件：

(1)∀x∈X有x≤x,

(2)∀x,y,z∈X,若有x≤y和y≤z⟹x≤z,

则称X是一个预序集，记作(X,≤).

定义1.4取预序集X中的任意两个元素x、z,区间[x,z]定义为{y∈X|x≤y≤z}.若预序集X中的所有区间都是有限的，则称X是局部有限预序集.

定义1.5设R是含单位元的交换环(X,≤)是一个局部有限预序集，即≤满足自反性、传递性对任意的x,y∈X,且x≤y，至多存在有限个元素z∈X满足x≤z≤y，由此可在R上定义关于x的关联代数I(X,R)∶={f∶X×X→R|f(x,y)=0,若x≤y不成立}.

代数运算如下：

其中乘积fg在函数论中被称为卷积.

引理1.1若δ[16]满足δ(x,y)=δxy，x≤y其中δxy∈{0，1}是Kronecker符号，则δ是关联代数I(X,R)中的单位元.

给定一个f∈I(X,R),有

若任意的x,y∈X满足x≤y,则可定义关联代数I(X,R)上的基元exy

对任意的eij,ekl∈I(X,R)，根据卷积定义我们有eijekl=δjkeil，可以证明A∶={exy|x≤y}构成I(X,R)的一组线性基.

2 主要定理及证明

定理2.1设(X,≤)是一个有限预序集,R是含单位元的交换环.I(X,R)是在R上定义关于X的关联代数，设φ∶I(X,R)→I(X,R)是一个R-线性算子，则φ是中心化子，当且仅当满足

其中系数满足如下关系

证明必要性

分两种情况进行证明：

若φ是中心化子，则φ(eii)=φ(eii)eii=eiiφ(eii),可得φ(eii)=eiiφ(eii)eii.

充分性

当j=k=i时，若i=l,可得

则φ(eii)=φ(eii)eii=eiiφ(eii),可得φ是中心化子.

当j=k≠i时，若i=l,可得

则φ(eijeji)=φ(eij)eji=eijφ(eji),可得φ是中心化子.

当j=k时，若i≠l,可得

当j≠k时，可得

其中φ(0)=0φ(0)=φ(0)0=0,则φ(eijekl)=φ(0)=0,可得φ是中心化子.

由此可知对于任意x,y∈R,R是任意环，满足关系φ(xyx)=xφ(y)x,则φ是中心化子.

定理2.2设(X,≤)是一个有限预序集,R是具有单位元的2-扭自由的交换环.I(X,R)是在R上定义关于X的关联代数,设φ是关联代数I(X,R)上的一个Lie中心化子，则

满足系数

证明由Lie中心化子定义可知

φ([eii,eij])=[φ(eii),eij]=[eii,φ(eij)],

设

i≤j且i≠j,有

(1)

(2)

类似的，对于φ([eij,ejj])=[φ(eij),ejj]=[eij,φ(ejj)],有

(3)

(4)

(5)

引理2.1I(X,R)是在R上定义关于X的关联代数，设φ∶I(X,R)→I(X,R)是一个R-线性算子，若φ是中心化子，则存在λ∈Z(I(X,R)),使得对于任意a∈I(X,R)，有φ(a)=λa.

证明若φ是中心化子，则对于∀a∈I(X,R),有φ(a)=φ(δa)=φ(δ)a.其中∀x∈I(X,R),有φ(δ)x=φ(δx)=φ(x)=φ(xδ)=xφ(δ),则φ(δ)∈Z(I(X,R)),引理2.1得证.

定理2.3设(X,≤)是一个有限预序集,R是含单位元的交换环.I(X,R)是在R上定义关于X的关联代数，对任意的x,y∈I(X,R),满足φ([x,y])=[φ(x),y]=[x,φ(y)]，则存在a∈Z(I(X,R))及线性映射τ∶I(X,R)→Z(I(X,R))，使得对任意x∈I(X,R)，φ(x)=ax+τ(x)，其中τ作用于在满足交换子[x,y]为零.

根据引理2.1可知若φ是中心化子，则存在λ∈Z(I(X,R)),使得对于任意a∈I(X,R)，有φ(a)=λa,则结论得证.