设计关联问题，探索研究思路，形成一般方法

李佳 易良斌

摘要：基于前课学生作业数据，在充分了解学情的基础上，通过知识大框架设计，引导学生分类研究问题，体验有关平面直角坐标系题目的变化规律，找到解题方法;充分尊重学生的主体地位，让学生根据有梯度的问题不断深入探究，在探究过程中形成解决问题的一般方法。

关键词：“平面直角坐标系”;复习;关联;一般方法

“平面直角坐标系”是浙教版八年级上册第四章“图形与坐标”中的复习课，该知识是七年级数轴教学内容的延续，也是研究函数的基本工具。学生通过五节新课的学习，对“平面直角坐标系”的基本内容已经掌握，但对比较综合性的问题略显生疏，没有形成解题思想，对这一类题目的变化规律认识不足。笔者通过知识梳理、搭建系统框架和题组变化，让学生理解知识与题目之间的联系以及题目变化的一般规律，找到解决问题的一般思路，达到深入理解点的位置与纵横坐标的数量之间对应关系的目的，学会把位置与数量之间相互转化，为后期学生学习函数内容打下基础。

上本节复习课之前，学生通过新课学习和一定量题目的练习，基本掌握了平面直角坐标系的知识，但知识处于碎片化，没有建立起知识之间的联系，会解决简单问题，但对复杂问题没有形成解决问题的一般策略。

一、展示数据、发现问题，梳理知识、形成体系

搜集学生前期在App上完成的相应练习题，把学生完成情况相对差的题目进行原题展现—数据分析—错因解析。

【设计意图】让学生通过几组错误分析，明白自己的薄弱之处，让学生聚焦学习注意力，同时知晓自己的错误原因。

师：请同学们回忆一下，本章学习中，我们一共学会了几种不同方法来表示平面上一个点的位置？

生1：棋盘法。

生2：方向距离法。

生3：经纬度法。

师：比较这几种不同的表示方法，你发现它们之间有什么共同之处？

生：表示平面上的点至少需要两个数据。

师：还有什么规律？

生：两个数据的写法要规定一个次序。

师：大家再想一下七年级上册学习的数轴知识，数轴上的点与实数之间有什么关系？

生：一一对应关系。

师：如何解释一一对应关系？

生：数轴上每一个点都可以用一个实数表示，每一个实数都可以用一个数轴上的点表示。

师：同理，平面直角坐标系上的点与实数对有什么关系？

生：也是一一对应关系。

师：同学们再深入思考一下，为什么数轴上的点与实数有一一对应关系？

本问题比较难，学生思考良久，说出了很多不准确的答案。

师：同学们思考一下，确定一个实数必须先确定它的哪两个要素？

生：符号和绝对值。

师：确定一个点必须确定哪两方面的要素？

生：方向和距离。

师：同学们再想一下，数轴有哪些要素？

生：单位长度、原点和正方向。

师：数轴的三要素、点和实数的要素之间有什么联系？

生：要确定绝对值和距离，必须确定参考点和参考单位。

生：数轴的正方向对应点的方向和数的符号。

师：非常好！用一句话来表述，数轴和平面直角坐标系是一个工具，把数与形联系起来的工具，运用它们可以把点的位置与数之间建立一种联系。

师：基于以上理解，我们学习平面直角坐标系，可把问题归纳为“两个对应”与“三个维度”。“两个对应”即位置关系与数量关系之间的转换，“三个维度”分别是点的位置问题、点的距离问题、点的变换问题。

【设计意图】通过总结表示平面上点的位置的不同方法，发现共同点，同时引入数轴做对比，引导学生发现不同知识之间的联系，理解数学结论后面的数理，归纳总结出本章不同问题的类型和解决问题两者之间的联系，让学生有一个系统思维，站在一个角度理解本章解决问题的本质特征。

二、易错定位、归纳错因，题海导航、探究方法

通过课前学案数据的反馈，笔者发现学生的错题主要集中在第2题、第5题、第6题，第9题和第10题。为此，笔者集中错误类型：（1）已知“距离”相关的问题;（2）信息转化出现“错位”。归纳产生错误的原因：（1）审题时不画图，不用坐标系来解析信息;（2）解决“距离”问题出现惯性思维（单向思维）;（3）对坐标系中的“距离”问题理解不到位。

【设计意图】分析课前学案的数据，帮助学生对自己所犯的错误进行精准定位，为后面的复习课打下基础。

环节一：完成题组，总结归纳。

师：給同学们6分钟时间完成题组一和题组二，并思考PPT上的三个问题。

题组一：

（1）点（-3，4）在第______象限;

（2）点（-3，4）到x轴的距离为_______，到y轴的距离为_______，到原点的距离为_______;

（3）点（-3，4）关于x轴对称点为_______，关于y轴对称点为________;

（4）点（-3，4）向下平移4个单位得到点坐标为________;

题组二：

（1）点（-3，b）在第三象限，则b的取值范围是多少？

（2）点（-3，b）到x轴的距离为2，则b的值是多少？到y轴的距离是多少？若点（-3，b）到原点的距离为5，则b的值是多少？

（3）点（-3，b）关于x轴对称点为（a，2），则a=_____，b=_____;

（4）点（-3，b）向右平移5个单位，再向下平移4个单位，得到（a，2），则a=_____，b=_____;

（5）点（-3，b）几何意义是什么？请画图表示;

（6）请用坐标形式表示直线m。

师：请同学们完成课堂学案，观察思考以下三个问题：

（1）从题目的条件角度来看，题目中给的点的个数一般有哪几种情况？

（2）从点的坐标形式来看，题目可以有哪几种变化形式？

（3）从所有题目的特点来看，我们研究问题是哪两个方面的相互转化？

环节二：摸清题脉，思考探究。

师：首先，我们一起回答第一个问题。

生：从题目条件角度来看，题目中给的点的个数有时是一个点，也有两个点或三个点以上。

师：第二个问题？

生：从点的坐标形式来看，点不含字母，有时含一个字母，也有含两个字母。

师：第三个问题？

生：一般研究点的位置关系与数量关系之间的转化。

师：首先，我们一起来研究最简单的一类问题：题目中只有一个点且不含字母。

师：大家观察一下，这四个题目主要涉及哪几方面的问题？

生：主要涉及五类问题，分别研究：点的一般位置、特殊位置、距离、平移和对称问题。

师：非常棒。

师：接下来，我们研究另一类问题：有一个点，但含有一个字母的问题。

师：这一类问题，在解决时要注意什么问题？

生：在由点所处象限来确定字母范围时，要思考点是否在坐标轴上。

生：已知点到两个坐标轴的距离，确定字母值时，要思考到字母的符号。

师：请同学思考以下四个问题：

（1）坐标（-3，b）几何意义是什么？请画图表示;

（2）请用坐标形式表示直线m;

（3）请画图表示（a，-3）（-1≤a≤4）;

（4）请用坐标形式表示线段AB。

师：你发现了什么？

生：可以用坐标的形式来表示一个线段、射线和直线。

师：以上所表示的线有什么特征？

生：平行于一个坐标轴，而垂直于另一个坐标轴。

师：可以表示其他的线吗？

比如：请用坐标的形式表示一、三象限角平分线所在的直线;若把这条直线向上平移2个单位，你能用坐标的形式来表示这条直线吗？

生：用（x，x）表示一、三象限角平分线所在的直线。

生：用（x，x+2）表示这直线向上平移2个单位的直线。

师：非常棒。

师：接下来，我们一起研究更難的题目：题目中含一个点，但纵、横坐标都含有字母。

师：这一类题目有什么特征？

生：因为纵、横坐标都含有字母，说明数量关系未知;反之，位置一定是已知的。

师：非常正确，这一类问题的策略是：把坐标的位置信息转化成为横、纵坐标的方程（组）或不等式，通过解不等式得到未知数，从而确定点的坐标。

师：在平面直角坐标系中，点A（m，2m+1）

（1）请用不同的方法说明点A不可能经过某个象限;

（2）请把m取不同值（如m=-2，m=-1，m=0，m=1，m= 2），并得到不同的点描在平面直角坐标系上，你发现了什么规律？

生：发现所有点都在一条直线上。

【设计意图】通过一个点的坐标从不含字母到含有两个字母的问题，逐步深入，让学生体验题目的变化规律，找到解决问题的规律。

环节三：运用规律，我问你答。

师：下面我们一起研究问题中含有两个点的问题，先来试着看一下两个点都不含有字母。请同学们试着根据我给的点坐标，提出一个问题。

（1）对于两个点A（-2，2），B（2，3），你能提哪些问题？

生：两个点关于哪个坐标轴对称？

生：两个点之间的距离是多少？

生：从A到B，是如何平移所得？

生：两个点的连线垂直于哪一坐标轴？

生：两个点的连线平行于哪一坐标轴？

师：（2）对于两个点A（-5，3），B（2，3），你还能提哪些问题？

师：（3）对于两个点A（-1，3），B（1，7），你又能提哪些问题？

师：同学们总结一下，你们所出的题目可以有几种不同的类型：

生：一般有五个方面：（1）所处象限位置;（2）特殊位置;（3）距离问题;（4）对称问题;（5）平移问题。

师：我们下面来研究更加难的问题：含有两个点，且点的纵、横坐标中有一个含有字母。这一类题目的规律是什么？

生：因为点的坐标未知，一定是给两个点之间的位置关系、变换关系和距离，通过位置关系来确定数量关系，从而求出字母的值。

师：非常棒，同学们找到了题目变化的规律。

师：下面我们一起来挑战一下：两个点都含有字母，并且含有两个以上的字母。

师：请同学们用三分钟时间来思考一下，解决这类问题的一般策略是什么？

生：对两个全参数点的坐标，一般把点的位置信息转化成点横、纵坐标的方程（组）。

师：非常好。解决这类多字母问题，一般要把位置关系转化成两个以上的数量关系，建立方程组来求字母的值。

环节四：运用规律，适度拔高。

师：下面我们来挑战一下含有三个点的问题，解决这类问题的一般步骤是什么？

生：一般要经历四个步骤：建标—描点—连线—观察。

师：根据图形，你能提出什么问题？

生：三角形ABC的形状是什么？

生：三角形ABC的面积是多少？

师：最后，我们一起来挑战一个极限难度：含有三个点且含有字母。

师：给同学们三分钟时间来讨论一下这个问题。

师：这一类问题的一般解题思路是：由已知点，可以确定三角形的一条边长，再根据三角形的面积定底求高，或定高求底。然后，再把线段的长度转化为点的坐标。

对应的解题步骤如下：

（1）画坐标—标点—构图;

（2）确定底边或高;

（3）通过面积求出底边或高;

（4）利用相对位置求出点的坐标（注意分类）。

三、课堂小结、形成思路，归纳提炼、反思评价

师：请同学思考以下四个问题：

（1）图形与坐标问题主要讨论哪两种关系的转化？

（2）问题中点的坐标有哪几种变化形式？

（3）本章主要从哪几个角度来变化问题？

（4）本章解决所有问题最主要的方法是什么？

师：本节课总结如下：

一个方法：数形结合法;

两种关系：数量关系与位置关系转化;

三种形式：不含字母、含一个字母和含两个字母;

三个角度：点的位置、点的距离和点的变换。

四、学为中心、丰富素养，教学引领、提升品质

本节课有一个宏观思维，把整个章节的核心问题“点的位置关系与数量关系转化”，通过一个问题串，让学生发现，并用一个直角坐标系来引导学生深入学习，难度每增加一步，學生紧跟着上一个梯度，最终清楚要研究的问题类型是什么以及怎么去解决问题。

（1）本节课在设计中充分考虑到不同层次学生的学习需求，从最基础的知识开始复习，以练促讲，让学生根据有规律的题组变化，找到平面直角坐标系问题的变化规律。所有规律是让学生自主发现、总结，注重学生的学习体验。

（2）本节课主要以学生探究学习为主，在完成学案的基础上进行讲解，每一个环节的推进都是在学生主动学习的基础上进行的，引导学生总结发现规律。

（3）本节复习课所涉及的问题是课标所涉及的内容，课标规定为课堂画了一个“红线”，用一个表格把所有涉及的问题进行分门别类总结，让学生了解复习课主要解决什么问题。

（4）本节课教学设计立意高，为了帮助学生从本质上理解平面直角坐标系所有题目中的核心问题，笔者通过一个问题串来引发学生思考：为什么数轴上的点与实数是一一对应关系？让学生理解点的两个要素与实数的两个要素之间的对应关系，帮助学生从数理上理解问题的本源。

总的来说，本节课教学实施脉络清晰，为了帮助学生从题海里跳出来，发现章节中所有题目的变化规律，用了一个“题目变化坐标系”，引导学生逐步深入，每深入一步，让学生精准定位自己探究到哪一个程度，每进一步，就总结解决问题的方法。让学生错得明明白白，解析得清清楚楚。课堂中没有花招，以练带讲，讲练结合，完全让学生在体验中学习内容，进行整章节内容的复习，并且基于学生的学习经验又有升华与提高。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部 . 义务教育数学课程标准（2011 版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 李静 . 经历建模过程 感悟模型思想 [J]. 小学数学教育，2016（6）.

（责任编辑：奚春皓）