“问题链+媒体”，助力数学可视化教学

周跃佳

[摘  要] 问题是数学的心脏，媒体是数学的眼睛.精心设计问题链有利于改善“供血”功能，合理充分利用媒体，能让数学思维可视化.文章以正弦定理的教学为例设计问题链，并运用希沃白板建立“可见”与“抽象”之间的联系，引领学生在解决问题的过程中获取知识，在获取知识的过程中获得学习经验.

[关键词] 问题链;正弦定理;希沃白板

“问题链+媒体”，是思维与技术的结合. 在问题链的引导下、师生情感交融的研讨中，以媒体促进知识的动态生成.教师应当精心创设问题链，引领学生在认知缺口的产生、弥合与完善的过程中，获得基本活动经验和解决问题的能力.下面以正弦定理的教学为例，以情境性问题为兴趣点、新旧知识的结合为生长点、递进式探究为成就点、运用性问题为信心点、呼应性问题的解决为自豪点、悬念性问题为升华点，运用希沃白板让抽象知识直观化，模糊概念清晰化，只可“意会”不可“言传”的理论可视化.

[?]教学过程

1. 情境导入、激发兴趣（兴趣点）

情境性问题：

师：星光璀璨、明月高悬，我们仰望星空，充满无限的遐想，不禁会问，遥不可及的月亮，离我们究竟有多远？1671年，两位法国的天文学家测出了地球与月球之间的距离大约为385400 km.他们是怎么测量出来的呢？检索我们大脑中的信息，找不到丝毫相关内容，其实这和我们今天这节课的内容有关. （教师运用希沃白板进行情境呈现）

生：期待中.

设计意图：问题导入，激发学生求知欲望.激起学生产生思考、探索和达到目标的心向，使学生集中注意力于问题的解决中.

2. 复习旧知、发现目标（生长点）

铺垫性问题：

师：我们今天研究什么呢？三角形.小学就学了三角形，初中还学了三角形，还有什么好研究的呢？注意：“好问题如同某种蘑菇，它们大都成堆地生长.”我们应该再找一找！请大家重拾儿时的记忆，我们一起来认真观察！如果我们把角A的对边记作a，把角B的对边记作b，把角C的对边记作c. 请问：我们直观看到的最小的角是哪个角？最短的边是哪条边？最大的角是哪个角？最长的边是哪条边？第二大的角是哪个角？第二长的边是哪条边？这揭示了一个什么规律？

生：大边对大角，小边对小角.

设计意图：寻找知识的生长点，为后面的探究做铺垫. 经历了垂直数学化的直观感受阶段，通过希沃白板的可视化操作让直观性更强.

过渡性问题：

师：大边、大角，小边、小角！这只是直观的定性描述. 多大？多小？边和角，究竟有什么准确量化的关系呢？这个问题的提出，我们不得不重新研究三角形.但是怎么研究呢？当我们面临一个新的问题时，应该转化为一个老问题，从我们熟悉的问题情境开始研究，于是从我们最熟悉的直角三角形看起，而边角关系，我们学过正弦、余弦和正切，我們今天就选择从正弦入手（板书：正弦）.

生：根据正弦函数的定义：=sinA，=sinB.

目标性问题1：

师：它们之间有联系吗？（教师板书引导联系）

生：得到==c.

目标性问题2：

师：那会怎么样呢？

生：由于sinC=1，所以==.

设计意图：得出等式==，为引导学生猜想做铺垫.以直角三角形的研究实现垂直数学化的特例分析，酝酿步入抽象阶段.

3. 递进探究、形成定理（成就点）

师：噢！三角形中居然隐藏着这样奇妙的关系，我们应该为我们的发现而感到欣喜. 既然我们已经发现了这个成果，那么我们这节课就上到这里，下课！（学生疑惑为什么就下课了）

生：不！这只是在直角三角形中发现的.

过渡性问题：

师：对于一般的三角形，这个关系成立吗？

教师演示几何画板，拉动三角形，使边和角不断变化.

学生观察，看到无论三角形的边和角怎么变化，上述结论都成立.几何画板是探索几何奥秘的一个重要工具，这里运用它在变化的三角形中探索不变的边角关系，其动态演示让抽象的规律变得可见，降低了学生发现普遍规律的难度.

目标性问题3：

师：当△ABC是锐角三角形时，该怎么证明呢？请大家提笔拿尺画出一个锐角三角形，标上角A，B，C和边a，b，c，看着这个三角形，我们该怎么证明呢？同学们可能会感觉到无从下手，波利亚先生曾说过“陌生的问题总是要转化为熟悉的问题去研究”，而我们熟悉的就是刚刚研究过的直角三角形.

启发性问题：

师：这里没有直角，我们该怎么办呢？

生：我们就让它产生直角.

学生在纸上完成画图并拍照上传，教师点评.

当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高为CD，根据三角函数的定义，=sinA，=sinB，即CD=bsinA，CD=asinB，所以asinB=bsinA，得到=. 同理可得=.

辨析性问题：

师：我们是不是就可以大胆放心地使用了呢？不！当△ABC是钝角三角形时，等式还成立吗？

学生作图分析，教师点评、总结、板书.

当△ABC是钝角三角形时，不妨设90°

悬念性问题：

师：还有没有其他方法可以证明正弦定理？（今天的探究作业）

目标性问题：

师：截至目前，我们已经完成了一般三角形的探究，这个结论可以正式地、隆重地进入我们的认知结构中了.

提炼成果：正弦定理（板书“定理”二字）：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即==.

设计意图：引导学生提出猜想，分析问题并解决问题，逐步探究并归纳出正弦定理.完成数学化的抽象（一般化）阶段和严谨阶段.引导学生经历数学活动的一般过程，教会学生像数学家那样去思维.

4. 实际应用、巩固定理（信心点）

师：正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.它能帮助我们解决哪些问题呢？

解三角形的概念：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.

应用性问题1：解三角形.

（1）在△ABC中，已知B=60°，C=75°，a=8，則b等于（  ）

A. 4 B. 4

C. 4 D. 2

（2）在△ABC中，已知A=45°，a=2，b=，则角B等于（  ）

A. 150°B. 60°

C. 45° D. 30°

用“易课堂”发布习题，学生在平板上作答，及时统计作答情况，并作点评.练习反馈的交互性能激励学生主动思考，把科学性、趣味性和教育性融于一体.

应用性问题2：我们利用正弦定理，可以解决一些怎样的解三角形问题呢？

媒体运用：师生共同分析正弦定理，教师板书展演，在白板上画一个三角形，利用“克隆”功能，反复使用.

分析正弦定理可知：（1）已知三角形任意两角及一边，由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一个角，并由正弦定理计算出三角形的另外两边;（2）如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角.

设计意图：通过习题，引领学生体会定理的应用价值，从而强化对定理的理解，同时用题组的方式，学生通过练习，发现其中的联系和区别，可以更进一步地提高分析问题和解决问题的能力.

悬念性问题：如果已知两边及其夹角，不能用正弦定理解决，该怎么解决呢？我们期待下一课：余弦定理. （发现一个“蘑菇”）

设计意图：紧接着本堂课的研究主线，提出该问题，此问题不能通过正弦定理解决，引发学生认知冲突，为下一节“余弦定理”埋下伏笔.

5. 问题解决、首尾呼应（自豪点）

呼应性问题：

师：两位法国天文学家是怎么测量地球与月球的距离的？引导学生利用正弦定理解决这个问题.

生：这个问题属于知道两角及一边，可以用正弦定理顺利解决. 教师带领学生分析解决.

师：我们根据测量需要将选取的线段AB叫作基线. 当然，随着科学技术的发展，现在还有一些更加先进与准确的测量距离的方法.

设计意图：进一步提高学生通过观察分析问题，并解决问题的能力，引导学生学会将实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际问题.

6. 课堂总结，设置悬念（升华点）

（1）知识点总结.

（2）思想和方法总结.

（3）设置悬念：①还有没有别的方法证明正弦定理？②知道两边及其夹角该如何解三角形？

设计意图：学生自己回顾和总结，可以提高学生的归纳总结能力，激发学生持续研究的内驱力.

7. 板书设计、拍照保存（记忆点）

利用平板电脑拍摄板书，保存. 课堂结束时，微信扫描二维码，可以获取本堂课的课件，不需要再用传统的U盘拷贝资料.

[?]教学思考

问题链让数学思维得以深化，媒体技术让数学思维可视化，“问题链+媒体”实现“言传”与“意会”之间的深度互通. 我们要让问题链遵循学生的认知规律、合乎知识生成的逻辑、瞄准教学重点和难点，让媒体技术服务于问题链的直观呈现.

1. 问题链的设计

数学教学的问题链设计应遵循学生的认知规律. 设计问题链之前，需要研究学生认知结构的过去、现在和将来，过去学习了什么？现在正在学什么？需要什么过渡和铺垫，才能更好地完成即将学习的内容？需要台阶式地提问，分解研究难点，还是一步到位，提高学生对问题的整体研究能力？这些都是在设计问题链时需要研究的问题.

数学教学的问题链设计要合乎知识生成的逻辑. 知识的产生和发展具有一定的逻辑规律，沿着知识逻辑设计问题链，有利于催产知识，形成逻辑主线，使脉络清晰，助力学生思维发展.

数学教学的问题链设计应当瞄准教学重点和难点. 设计问题链的目的是为了解决教学的中心问题，课堂教学应当围绕重点设计目标性问题，瞄准难点设计启发性问题，通过一个个问题的连锁解答，从而突出重点、突破难点.

2. 媒体的使用

本堂课从直角三角形向一般三角形研究的过渡，提出了过渡性问题，利用几何画板动态展示三角形的边和角在变化过程中不变的规律，引导学生直观感受边角关系的同时获得好奇心和求知欲. 对于预设与生成的不确定性，教师需要在课前预设学生可能得到关于问题的多种解决办法，通过希沃白板的蒙层功能，灵活调整课堂上答案出示的先后顺序，使其符合学生的认知特点和知识自然生成的规律. 对于一个问题的连锁解答，借助“克隆”功能，实时复制需要重复利用的公式，不需要再运用公式编辑器进行编辑. 既保持了授课界面的干净整洁，又促进了知识的动态生成.对于应用性问题的解决，利用希沃白板的投屏功能将学生操作同屏到教师端和大屏幕，实时反馈和点评，实现资源共享和思维共享. 课堂作业定时发布和提交功能设定了学生的作答时间，同步了全体学生的思维进程，增强了课堂紧迫感. 随机点名功能弥补了教师点名的随意性和由于教师的主观性造成的点名不均匀. 同时提高了学生的警惕性，督促他们保持主动思考的积极性.

“问题链+媒体”教学，体现了教师的教育智慧，在合适的时间，抓住合适的契机，用媒体辅助学生对问题链的直观体验，助力高中数学可视化的质感教学.