函数的概念与性质中的易错点剖析

■谢邦城

下面对函数的概念与性质中的易错点进行归纳剖析,希望帮助同学们突破这些易错点,牢固掌握函数知识,逐步培养正确的解题思维模式。

易错点1:忽视函数定义域的限制作用

易错点2:忽视单调区间与单调区间子集的意义

例2若函数f(x)=x2+2(a-1)x+4的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的取值范围是____。

错解:函数f(x)图像的对称轴方程为x=1-a。由于函数在区间(-∞,4]上单调递减,所以1-a≥4,即a≤-3。故实数a的取值范围是(-∞,-3]。

剖析:上述解法忽视了函数的单调区间与单调区间子集的意义。

正解:因为函数的单调递减区间是(-∞,4],且函数的对称轴方程为x=1-a,所以1-a=4,可得实数a=-3。

易错点3:分式类函数研究单调性缺少分类意识

正解:f(x)=,当a>0时,函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞);当a<0 时,函数的单调减区间为(-∞,-a),(-a,+∞)。要使函数在(2,+∞)上为减函数,需满足a<0。由题意可得2≥-a,即a≥-2。综上可知,实数a的取值范围是 [-2,0)。

易错点4:抽象函数单调性应用中忽视整体变量的范围

例4已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,求x的取值范围。

错解:由f(x)是奇函数,可得f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2)。由f(x)在(-3,3)上是减函数,可得x-3>3-x2,解得x>2或x<-3。又f(x)是定义在(-3,3)上的函数,所以2

剖析:上述解法只考虑了奇函数与单调性,没有考虑整体变量所在的区间。