函数连续性及其间断点的探析

周丽佳 王品 张占美

摘要：本文分析了高等数学中连续性的概念，对间断点的判断及常见错误通过经典例题的形式进行了分析。

关键词：连续性;间断点

函数的连续性是高等数学中一个非常重要的数学概念，连续性反映了自然现象连续变化的共同特性。古典物理学有一句格言：自然界中一切都是连续的。高等数学中所研究的主要对象也是连续函数。

一、函数在一点处连续的定义

函数在一点处连续的定义主要两种形式。

定义1：设函数在的某一邻域内有定义，如果趋近于零时，的极限值是0，即，那么，函数在点处就是连续的。

定义1刻画了函数连续的本质—自变量的微小变化引起的只能是函数值的微小变化。连续的这一定义也解释了众多自然现象。例如汽车在行驶过程中，虽然做的是变速运动，但是当时间间隔非常非常短时，速度的变化就会非常小。再例如一天中温度差异很大，但是如果时间间隔非常短时，温差就会很小等等。

定义2：设函数在的某一邻域内有定义，若极限值与函数值相等，即，则称函数在点处连续的。

这两个都是函数在一点处的定义，那这两个定义有什么关系呢？定义1的关系式中，令，则当趋近于0时，与有什么关系呢？显然趋近于。那么，关系式如何变形？趋近于0可以换成趋近于，可以换成，于是，我们得到，由于是常数值，它的极限就是它本身，因此，得到，从而得出。通过分析我们可以看出，定义2其实就是对定义1进行了形式上的改写。但是，在实际判定函数的连续性时，我们通常采用定义2。利用定义2我们可以归结为要判断函数在一点处是否连续需满足三个条件。一是看定义，看函数在该点是否有定义。二是求极限，求函数在该点的极限值。三是作判断，判断函数在该点的极限值是否等于函数值。三个条件缺一不可！

二、函数连续性的判断

接下来我们用定义讨论一下函数在处的连续性。

这是一个分段函数，用定义2来判定，仍然要参照三个条件。

看定义：在函数的第一段，因此函数在处有定义，其实，分段函数从解析式中就可以看出分段点出是否有定义，所以无需特别讨论定义;求极限：分段点处的极限应该如何求解呢？将这一点分别代入它左右两侧的解析式，分别求左右极限。左极限如何代？代入小于0的第二段，极限值是1，而右极则代入大于0的第一段，极限值是0，左右极限虽然都存在，但却不相等，因此极限不存在，不满足第二个条件，所以函数在处不连续。

数学讲究数形结合，再从函数图像上来看，在小于0的左侧，函数是一条单调递增的直线，处及其右侧呢？是正弦函数的一部分，从图像上明显看出，函数在处不连续。

虽然函数在处不连续，但是其实，函数在处的右极限值是与它的函数值相等的，此时，我们称函数在处右连续。从中，我们可以总结出右连续的定义：如果函数在某一点的右极限存在，且等于该点的函数值，则称函数在这一点右连续。

那么，这道题的结论，除了不连续，我们还可以进行更进一步的判定，是什么呢？由于函数在处的右极限值等于该点的函数值，因此，函数在处右连续。

同样，如果将函数图像稍加改动，让函数在处的左极限与该点的函数值相等，那么我们称，函数在处左连续。对比右连续，左连续又该如何定义呢？如果函数在某一点的左极限存在，且等于该点的函数值，函数在这一点左连续。

回到原来的函数图像，如果将函数图像的左半部份下移一个单位，此时图像在处就连续了，在这种情况下，无论以怎样的方式趋近于0，它的极限值都等于函数值。其中，这种情况就是我们刚才所说的左连续、右连续，由此，我们得出函数在某一点连续的充要条件是：左连续且右连续。

三、间断点的判断及常见错误分析

不连续的点我们就称为间断点，那什么原因导致了不连续呢？如果上述的三个条件有一个或一个以上不满足，其点就是间断的。换句话说间断的原因可能有三个。一是无定义，二是无极限，三是极限值和函数值不等。依据间断的原因，函数的间断点分为两大类。

判断分段函数间断點的类型是一个重点，同时也是一大难点。下面通过具体的函数来进行分析，以便加深学生的理解。

例1：讨论函数分的连续性

学生在初学连续性时很容易混淆概念，他们可能注意到函数在x不等于零时，出现在分母位置上，所以自然以为函数在x为零这一点是没有定义，所以不满足连续的三个条件，因而函数在分段点处是间断的。这一思路错误在于对函数概念不清晰，把分段函数当成了两个独立分开的函数来看待。

我们来看看该如何求解。首先我们来看一下这个分段函数的分段点是什么？自然是零点，函数把不为零的点的函数都定义为，定义，接下来看零这一点是否满足连续的三个条件。第一，函数在零这一点有定义，且为;第二，函数的极限值为，第三，极限值等于该点的函数值。因此，函数在分段点处是连续的，而在其他各点函数都是连续的。

例2：求函数的间断点，并判定间断点的类型。

解析：这是一个分式函数，要使表达式有意义，分母需不为零。因此且，故与为间断点。接下来再考察间断点的类型。

由于所以是第一类间断点里的可去间断点。

由于，所以是第二类间断点里的无穷间断点。

是不是求解就算完毕了？没有！因为还没有全面的讨论其它点。在都连续，所以间断点仅有上述的两个。

例3：求函数的间断点，并判定其类型。

解析：这是一个相对复杂的分段函数，函数的分段点为，先考察函数在该点的连续性情况，由于函数在分段点两侧的表达式发生了变化，所以分左右极限来考察。，，可以看出函数在零左右两侧的极限不相同，故是第一类间断点里的跳跃间断点。那该点是不是唯一的间断点呢？上面的分析只是讨论了分断点，这也是很多同学在求间断点时很容易遗漏，我们再来考察一下函数在其它点的情况。

当时，，由于分母不能为零，所以当，即是函数的间断点。

当，，同样因为分母不能为零，所以当，即是函数的间断点。又由于不存在，故是第二类间断点的震荡间断点。

例4：判断函数的间断点

很多同学得出的结论是间断点有两个，分别为和，这个答案是否正确呢？要解决这个问题，我们需要回到间断点的定义。在间断点的定义里有一个前提条件就是如果是函数的间断点，那么函数在的某去心领域内是一定有定义的。再来看看很多同学的给出的两个答案和，同学们之所以认为它们是间断点是因为两个点都使得分母为零，但是判断间断点我们还得注意间断点定义中的前提条件。由于分子是，所以函数在的去心领域是没有定义的，故而函数的间断点只有一个即为，进一步可以得到，所以是第二类间断点里的无穷间断点。

在实际的课堂教学过程中，我们发现函数的连续性和间断点看似内容不算复杂，但是在学生学习过程中会遇到很多困惑，解开谜团的钥匙其实在于深刻体会函数连续性和间断点的概念所蕴藏的数学思维和方法，在学习中举一反三，融会贯通。

参考文献：

[1]同济大学数学教研室。高等数学（第七版）[M]（上册。北京：高等教育出版社，2014）

[2]华东师范大学数学系。数学分析（第五版）[M]（上册。北京：高等教育出版社，2012）

[3]曾大恒。高职数学可以避繁就简[J]（数学学习与研究，2017）

作者简介：

周丽佳，1979年8月25日出生，女，汉族，江苏南通人，硕士研究生学历，副教授职称，主要研究数学教育方向，工作于陆军航空兵学院基础部。

王品，1973年9月25日出生，男，汉族，贵州毕节人，大学学历，教授职称，主要研究数学教育方向，工作于陆军航空兵学院基础部。

张占美，1982年2月28日出生，女，汉族，河北肃宁人，硕士研究生学历，副教授职称，主要研究数学教育方向，工作于陆军航空兵学院基础部。