基于生长 初识全貌

陈元云

在邢成云老师“整体化教学”理念下，“相交线与平行线”作为初中数学“平面图形”的第二章内容，既可以看成“图形与几何”的“沿途章”，又可以看成这一系统的“起始章”。作为“沿途章”，它是“几何图形初步”的延伸，是在学生认识了点与直线的位置关系的基础上，借助数学逻辑，引发新的认知冲突，并对新知进行探索;作为“起始章”，它与“几何图形初步”的学习套路、学习方法又不尽相同，而与后续的“三角形”“四边形”等章节的学习一脉相承，是它们的认知基础和思维统领，其研究问题的思路与方法更是有着“先行组织”的强大魅力，尤其是平行线的相关内容，比如，平行线的定义、性质、判定等就是后续图形内容的所有“内涵”。基于此，笔者立足整体，对本节课进行了思考、探究。教学过程中，笔者引领学生展开“系统”思维，注重知识的前后联系，借生活中的实际情境同化相交线与平行线的概念，借“点与直线的位置关系”顺势引出邻补角与对顶角的概念，借已有经验的迁移、探究得出“三线八角”的基本模型，最终引导学生勾勒出本章的知识结构图，并得出本章的研究内容，获取本章的研究方法。

环节1：情境创设，课题引入

师：观察下面的图片（图1至图4），大家想到了什么数学知识？

生：图形中出现了多组平行线、相交线。

师：纵横交错的公路、棋盘上的各条线、操场上的双杠、教室内的课桌……它们提供了相交线与平行线的“模型”。大家对相交线与平行线应该不陌生，我们在小学曾经学过，今天开始，我们再次研究“相交线与平行线”（板书）。

环节2：“位置”切入，感悟“模型”

师：如图5，已知直线AB，点O是平面内一个点，点O的位置相对于直线AB而言，有几种位置关系？

生1：可以看成两种位置关系—点O在直线AB上，点O在直线AB外。

生2：也可以看成三种位置关系—点O在直线AB的上方，点O在直线AB的下方，点O在直线AB上。

师：很好。这正是之前我们研究的点与直线的位置关系，点O与直线AB的位置关系可以概括为两种—点O在直线AB上，点O在直线AB外。

师追问：如果过点O作直线OD，则直线AB，OD又可能产生几种位置关系？

生：当点O在直线AB上时，直线AB，OD相交，如图6所示;当点O在直线AB外时，直线OD，AB可能相交，如图7所示;当点O在直线AB外时，直线OD，AB可能平行，如图8所示。

师追问：由此，大家能得出什么结论？

生：同一平面内，不重合的两条直线有相交或平行两种位置关系。

师追问：图8中，过点O且与直线AB平行的只有直线OD这一条吗？由此，你又能得出什么结论？

生：只有一条。过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

师：很好。我们把“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”称为“平行公理”。直线AB平行于直线OD，可以表示为AB∥OD。学习图形我们要学会把文字语言翻译成符号语言。

师追问：同学们想一下，在两条相交直线与平行直线中，我们先研究哪个图形？

生：相交线，相交线中有我们熟悉的角。两条直线平行，彼此分离着，没产生新的图形，感觉没有太多的“研究价值”。

师：好，那我们开始研究相交线“模型”。

环节3：形成概念，探寻内涵

师：请大家观察图9，两条直线相交，形成了四个小于平角的角，这四个角的大小取决于什么？

生：直线AB，CD的位置，如果直线AB，CD的位置确定了，这四个角的大小也就确定了。

师：要想求出四个角的度数，需要再给出什么条件？

生：四个角中给出一个角的度数，其他三个角的度数就可以确定了。

师追问：为什么？

生1：如果知道∠1的度数，根据∠1+∠2=180°，就可以求出∠2的度数，然后根据∠2+∠3=180°，就可以求出∠3的度数，最后根据∠3+∠4=180°，又可以求出∠4的度数，这样四个角的度数就都确定了。

生2：也可以根据∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，直接求出∠2与∠4的度数，再根据∠3+∠4=180°或者∠2+∠3=180°，求出∠3的度数。

师追问：在此题中，主要运用了什么知识？

生：平角、角的和差、互补的角。

师：图9中出现了几对补角？这些互补的角，在位置上又有什么特点？请先独立思考，再小组交流，形成共识。

生：四对补角。在∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1中，每对补角都有公共顶点，角的一条边是公共边，另一条边互为反向延长线。

师：我们给像∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1这样的每对角起个什么名字合适？

生：邻补角，因为它们都相邻并且互补。

师：请大家观察四对邻补角，∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°，∠2+∠3=180°，∠3+∠4=180°，根据我们学过的知识，又能得出什么结论？

生：因为 ∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°， 所以∠2=∠4。或者因为∠2+∠3=180°，∠2+∠1=180°， 所以∠1=∠3。

师：在上面的推理过程中，又用到了什么知识呢？

生：补角的性质—等角（同角）的补角相等。

师：也就是在圖9中，我们又得出了两对等角。请同学们认真观察这两对等角，它们在位置上有什么特点？

生：∠1与∠3，∠2与∠4，每对角都有公共顶点，角的两条边互为反向延长线。

师：给它们起个什么名字合适呢？

生：对顶角，因为它们相对并且有公共顶点。

师：在图9中，两条直线相交产生了四对邻补角、两对对顶角。我们从数量关系与位置关系的角度认识了这两类角。

环节4：一般到特殊，循阶发展

师：继续观察图9，直线CD经过直线AB上的点O，经过点O的直线有多少条？当直线CD绕点O旋转时（结合几何画板演示），有没有特殊情况？

生：经过点O的直线有无数条，∠1为直角时最特殊。

师：∠1为直角时（如图10）最特殊。此时的∠2，∠3，∠4呢？

生：根据上面刚刚学到的邻补角或者对顶角的性质，可以得到另外三个角都是90°，这时直线AB与直线CD互相垂直。

师：此时直线AB叫作直线CD的垂线（直线CD也叫直线AB的垂线），或者说这两条直线互相垂直。两条直线的交点O叫作垂足。直线AB与直线CD互相垂直，也可以用符号表示为AB⊥CD。

师：当∠1=90°时，直线AB与直线CD互相垂直，这就是垂直的定义。当然，如果两条直线互相垂直，也可以得出∠1=90°。因此，垂直的定义可以用符号表示出来：

∵∠1=90°，

∴AB⊥CD。

也可以是：

∵AB⊥CD，

∴∠1=90°。

师追问：直线CD绕点O在旋转的过程中，有几种情况垂直？你又能得出什么结论？

生：只有一种。这说明过直线上一点，画已知直线的垂线，只能画出一条。

师追问：如果过直线外一点，画已知直线的垂线呢？能画出几条？

生：只能画一条。

师追问：这说明了什么？

生：不管这个点在直线上还是在直线外，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

师：我们把“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”称为垂线的基本事实。

师追问：“垂直”在我们的生活中常见吗？同学们能举出例子吗？

生：这样的例子太多了。比如，我们用的课本、教室内的门窗、黑板、手里的三角板等，都存在互相垂直的线。

师：两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直都是指它们所在的直线互相垂直。

师追问：大家观察我们手里的三角板，画出其图形，如图11，点A到BC的路线有几条？能比较这些路线的长短吗？

生：两条，分别是AC，AB。AC

师追问：同学们还能画出点A到BC的其他路线吗？能画完吗？

生：能画，但画不完。

师追问：点A到BC的无数条路线中，有最短的吗？有最长的吗？（学生思考，教师借助几何画板演示）

生：有最短的路线，AC是最短的，不存在最长的路线。

师追问：如何总结这个现象？

生：連接直线外一点与这条直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

师：点A到BC的距离指什么？

生：AC的长度，这条垂线段的长度即为点A到BC的距离。

师：你能用得出的结论比较一下BC与AB的长短吗？

生：由垂线段最短，可以得出BC

师：根据相交的特殊情况，我们得出了互相垂直的直线，又得出了垂线的性质与点到直线的距离。这些知识在日常生活中的应用是很广泛的，同学们课下可以收集整理一下。

环节5：顺势利导，整体建构

师：以上我们探讨了同一平面内两条直线相交或平行的基本图形，重点研究了两条直线相交的图形，同学们是否有新的问题要提出来？

生：如果再来一条直线呢？又会产生什么新的图形？

师：很好。由两条直线的位置关系想到了三条直线的位置关系，这种由简单到复杂、由少到多的思考问题的方式值得肯定。那我们在刚才图形的基础上，如果再画出直线MN，又可能产生哪些情况呢？请同学们先自己画图，然后小组交流。

生：可能会产生下面四种情况（如图12、图13、图14、图15）。

师：大家试想一下，我们接下来该重点研究哪些图形呢？

生：图12是在两条直线相交的基础上又多了一条相交直线，所以只是邻补角、对顶角的数量发生了变化，没有新图形产生，这个没必要再研究了。图13、图14除了邻补角、对顶角的变化以外，又产生了新的角，有进一步研究的必要。图15还是只有平行线，所以这个图形暂时不用研究。

师：同学们的想法很好。在图13、图14、图15中出现了新的数学问题，我们将一一探究。请看图13，大家能提出什么问题？

生：两条直线相交出现四个角，新图形中出现了8个角，但这8个角不同类，有同一顶点的角，也有不同顶点的角，同一顶点的角已经研究了，而不同顶点的角没研究，所以接下来应该研究不同顶点的角之间有没有关系。

师：图13可以看成直线AB与直线MN被直线CD所截，我们把角标出来（如图16），请同学们观察∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8中每对角在位置上有什么共同点？∠3与∠5，∠4与∠6呢？∠3与∠6，∠4与∠5呢？你们能尝试给它们起名字吗？请同学们先独立思考，然后小组交流。

生1：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8中的每对角都位于被截线的同侧，截线的同旁，我们可以叫它们同位角。

生2：∠3与∠5，∠4与∠6中的每对角，它们都位于被截线的内部，截线的两旁，我们可以叫它们内错角。

生3：∠3与∠6，∠4与∠5中的每对角，它们都位于被截线的内部，截线的同旁，我们可以叫它们同旁内角。

师：在图14中呢？会不会也产生这些位置关系的角呢？

生：会，与图13相同。

师：在图13中，AB∥MN，图形中的同位角、内错角、同旁内角会形成新的数量关系，这将是本章要学习的平行线的性质。反过来，当这些角满足什么条件能使得AB∥MN，将是本章要学习的平行线的判定。它们相互依托，共同构筑成本章的核心。

师：请同学们再看一下图15，凭直觉猜测一下，如果AB∥CD，MN∥CD，那么AB与MN是什么位置关系？

生：平行。

师：对的，这个结论即为平行公理的推论，等我们进一步推断认定后可以直接用。今天我们研究的图9、图13就是“相交线与平行线”一章中最基本的图形。此外，在本章中，我们还会借助平行的知识学习一类图形变换—“平移”。这样，“相交线与平行线”一章的面貌就初步显示了。请同学们结合刚才所学，自己梳理一下本章的知识结构。

环节6：小结提炼，勾勒结构

教师引导学生从学习的过程、思考问题的角度、数学思想方法三个方面进行梳理。结合教学推进中形成的板书，完善并勾勒出结构图（如图17）。

（作者单位：山东省惠民县辛店镇中学）

责任编辑：赵继莹

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