三角函数背景的导数压轴题的解题策略

谢望春

摘 要：本文通过对与三角函数交汇的导数压轴题的解法探究分析，提出几种较为实用的解题策略。通过探究与分析，活跃思维，同时更好的让高中学生掌握这一类的知识点，让三角函数交汇的导数压轴题不在是学生心中的难点。

关键词：三角函数;导数;压轴题;解法

导数是高中数学的重点，同时也是大学高数的研究方向之一，导数为高中初等数学的学习及解题提供了便捷的思维，同时也是大学中进一步学习微积分的基础，站在高的角度去看待导数问题，可以更加清楚的看出问题本质，解决导数问题更加便利。

导数类问题同样也是各类高考压轴题的常客，也是很多高中学生眼中令人头疼的一个知识点。因此，如何破解导数压轴题，是现如今高中数学教学的一大难点。但是高考的命题人非常中意于此类题目，于是涌现出了一个又一个的经典题目，也是这些题目丰富了高中数学的教学内容，对学生综合素养的提高起到了很大的作用。

在这类题目中，与三角函数交汇的导数压轴题更可谓是丰富多彩，在全国卷和各地模拟卷中已逐渐成为考察热点，需要引起我们重视。学生遇此类问题，普遍得分率较低。主要原因是三角函数求导依然带有三角函数，使得求导、探点过程较复杂，一般需要分类讨论，其解题切入点较难。对此，笔者通过对近几年来的数学三角函数交汇的导数压轴题的各类解法进行探索和分析，总结出此类问题的几种解题策略，以期抛转引玉，供大家参考并斧正。

一、利用泰勒公式对函数进行放缩

函数的不等式类问题，一般都是转化为导数的零点问题然后就行分类讨论，对与三角函数的有关不等式证明的题目的常见方法也是一种常见的方法，但由于分类讨论比较繁琐，并且分类讨论中也可能会涉及到一定的放缩问题，所以此时，使用泰勒公式对函数进行放缩是一种简单快捷的解题方法。

例1  （2019年石家庄一模节选）已知函数f（x）=lnx+;g（x）=（a∈R），求证：当-1≤a≤1时，f（x）>g（x）

解析  令F（x）=f（x）-g（x）=，x∈（0，∞），当-1≤a≤1时，要证f（x）>g（x），即证F（x）>0，即xlnx-asinx+1>0。即证xlnx>asinx-1

①x>1时，明显xlnx>0，再由于-1≤a≤1，-1≤sinx≤1，asinx-1≤0，此时明显不等式成立。

②【下面我们就想到题目中有ex，cosx，lnx，我们可以用泰勒不等式，三角函数有关不等式进行放缩，常用不等式ex≥x+1，这里提出几种该式子的变形不等式，变形1：e-x≥1-x;变形2：e-x≤（x>-1）;变形3：lnx≤x-1（x>0）;变形4：ln≥-x+1（x>0）;變形5：lnx≥-+1（x>0），变形6：ln（x+1）≤x（x>-1），这里我们用到变形5】

当0asinx-1，由于-1≤a≤1，只需证明xlnx>sinx-1，xlnx>sinx-1可以得出xlnx+1>x，由于变形6得出只需证明x>sinx，显然成立，综上原不等式成立。

提示：相关不等式在做题时要给出证明。

点评：本题的参考答案是采用比较标准的放缩法，但是高中放缩法比较抽象，学生难以想到放缩的程度，导致能顺利解答出来的学生不多。但是若学生能提前掌握泰勒公式延伸出的相关放缩的不等式，直接采用放缩法解决，该题目就显得简洁容易很多，是一种值得提倡的做题方法。

二、利用洛必达法则求解

遇到含有参数的导数问题的时候，比较常见的思路就是优先将参数分离出去，然后利用不含参数的函数性质去解决，这对一些含有参数的三角函数导数问题是比较好的解决方法，但是不是所有的含有参数的三角函数导数问题在分离参数后，就能利用函数的性质去解决问题的，此时，洛必达法则可派上用场。

例：（2008全国Ⅱ理22题）已知函数f（x）=

（1）求f（x）的单调区间

（2）若f（x）≤ax在[0，∞﹞恒成立，求a的取值范围。

解析

（1）f'（x）=，f（x）在区间（2kπ-π，2kπ+π）（k∈Z）上是增函数，在区间（2kπ+π，2kπ+π）（k∈Z）上是减函数。

（2）令g（x）=ax-，

得g'（x）

当x=0时，a∈R

当x>0时，，

则g'（x）=，令h（x）=2xcosx-2sinx-sinxcosx+x，

h'（x）=2sinx（sinx-x）

当x∈（0，π）时

h'（x）=2sinx（sinx-x）<0，使用洛必达法则得

当x∈（π，+∞）时，

综上所述a≥

提示：洛必达法则为高数必修知识点，用于解决高中数学题目方便简洁明了，但也要求学生超纲学习高数相关知识点，比较费时间。

点评：本题目首先应用了比较常见的分离参数的方法，这一步很多学生都能做到，但是在后面的分类讨论中应用到洛必达法则，作为高数知识点，能应用的同学不多，虽然本题也能应用常规方法做出，但是洛必达法则的解题步骤简单明了，是一种非常值得推广的一种方法。

三、充分利用三角函数性质求解

三角函数主要有三大性质，分别为：有界性、单调性，周期性。与三角函数交汇的导数压轴题除了会注重考导数知识点的掌握应用程度外，也有一些题目会注重考三角函数的性质相关类题目，遇到这种题目应当熟悉三角函数三大性质，灵活应用。常见的需要应用三角函数性质的压轴题为“零点”、“极值”类问题。

例3：（2019全国Ⅰ文科20题）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f'（x）为f（x）的导数。

（1）证明：f'（x）在区间（0，π）存在唯一零点;

（2）若x∈[0，π]，f（x）≥ax，求a 的取值范围。

解析 （1）f'（x）=2cosx-cosx+xsinx-1=cosx+xsinx-1

令g（x）=cosx+xsinx-1，则g'（x）=-sinx+sinx+xcosx=xcosx

当x∈（0，π）时，令g'（x）=0，解得x=

∴当x∈（0，）时g'（x）>0;当x∈（，π）时g'（x）<0

∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，π）上单调递减

又∴g（0）=1-1=0，g（）=-1>0，g（π）=-1-1=-2

即当x∈（0，）时，g（x）>0，此时g（x）无零点，即f'（x）无零点

∵g（）·g（π）<0     ∴x0∈（，π），使得g（x0）=0

又g（x）在（，π）上單调递减

∴x=x0为g（x），即f'（x）在（，π）上的唯一零点。

综上所述：f'（x）在区间（0，π）存在唯一零点

（2）若x∈[0，π]，f（x）≥ax，即f（x）-ax≥0恒成立

令h（x）=f（x）-ax=2sinx-xcosx-（a+1）x

则h'（x）=cosx+xsinx-1-a，h''（x）=xcosx=g'（x）

由（1）可知h'（x）在（0，）上单调递增，在（，π）上单调递减

且h'（0）=-a，h'（）=-a，h'（π）=-2-a

∴h'（x）min=h'（π）=-2-a，h'（x）max=h'（）=-a

点评：该类题目难度并没有太高，但是考验学生的细心及耐心程度以及对三角函数性质的熟悉程度。做题时需小心谨慎。

总之，含有三角函数的导数压轴题难度比较大，泰勒公式高中教材中虽然涉及，但是并没有要求学生掌握，洛必达法师属于高数所学内容，高中生想要学透并且灵活应用起来比较难，最常用的就是应用三角函数的性质去解决问题，一般解题思路较为繁琐，需要学生对三角函数性质方面有比较透彻的了解，教师在讲课方面应当注重该知识点的掌握及应用。

参考文献：

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[4]郝文学. （2018）. 处理导数压轴题须关注的几个要点. 高中数理化， 000（009）， 16-17.

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