基于混合式教学的“数列的极限”案例研究

包云霞 赵文才 鲁法明

【摘要】以“数列的极限”为教学案例，探讨了基于线上、线下相结合的混合式教学方法和综合评价体系在教学过程中的实施步骤，从而使学生成为教学过程的主体，提高了学生学习的积极性和主动性;并且有效解决了教学互动与学情反馈等方面的问题。

【关键词】混合式教学  数列的极限  教学互动  学情反馈

【基金项目】山东科技大学青年教师本科教学拔尖人才培养计划（BJRC20190503）;山东科技大学优秀教学团队建设计划资助（JXTD20160507）;山东科技大学数学分析课程教学团队建设计划资助（JXTD20180504）。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）05-0007-03

基于互联网的信息化，线上教学让知识表现得更形象、具体，既活跃了课堂气氛，又拓展了学生的知识面;此外，信息化教学中，采取的是多元评价机制，对学生的学习态度、学习过程、课后实践以及互助合作程度等多方面做出评价。这样使得教师对学生的评价更加客观、全面，有利于提高学习者的积极性和自主探究能力。

高等数学的主要研究对象是微积分，极限是微积分的基础，因此，对极限思想和概念的理解和掌握直接决定着微积分思想的理解和掌握。本节课采用线上、线下相结合的混合式教学方式对“数列的极限”进行教学，使学生深刻地理解数列极限的“？着-N”定义及用极限的严格定义证明数列的极限是本节课要解决的主要问题。

一、教学目标

1.知识目标：理解数列极限的“？着-N”定义;掌握利用定义证明数列极限的方法。

2.能力目标：使学生初步理解有限和无限、量变和质变相互转化的辩证关系，在潜移默化中培养学生的辩证唯物主义思想。

3.情感目标：通过庄子名言，刘徽“割圆术”，让学生对中国传统文化及数学成就有一种自豪感;通过分析给出数列极限的严格“？着-N”定义，让学生感受探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的严密逻辑性和数学美;通过极限的发展历程，让学生了解数学家们的勤奋和严谨，不断探索的精神，提升学生学习热情和勇于攀登的精神。

二、教学策略

1.采取线上、线下结合的混合式教学模式：首先，课前在学习平台发布本次课要解决的重点和难点问题，引导学生们基于网上教学资源提前预习，提出自己的问题;其次，结合学生们提出的主要问题精选本节教学内容，以短小精悍的“微课”形式制作教学课件;此外，课堂教学过程中穿插提问、抢答、练习、小组讨论等环节检验学生们的课前预习情况及课堂掌握情况，活跃课堂气氛，提升学生们分析问题的能力;最后，在教学平台布置课后思考，鼓励学生们踊跃发言、共同讨论，从而对极限的概念有更进一步的理解，初步学会用极限的概念解决实际问题。学生们的上述活动都将形成一个线上的学习成绩，计入最后的考评。

2.启发式教学，激发学生学习兴趣：课堂教学按照“情境导入-直观分析-严格定义与推理—实例分析—学习总结—知识拓展”的步骤展开教学。教学过程由浅入深，环环相扣，在学生掌握知识点的同时，培养学生的逻辑思维能力。

3.突出重点，化解难点：通过课前布置线上学习内容及课堂上动画展示极限过程让学生直观地感受“？着-N”含义;通过详细的推导和例题的解答巩固重点，化解难点。

三、教学安排

（一）线上自学部分

1.结合实例（图1）给出数列极限的直观定义

2.结合实例初步理解数列极限的严格定义

试以1+n为例进行分析，初步理解数列极限的严格定义，并解答思考题（图2），初步理解ε 任意性及Ν被动性和不唯一性。

（二）线下讨论部分

1.情境导入

首先通过庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭”（图3）引入数列极限的朴素思想;之后，介绍刘徽的“割圆术”（图4），由此引出极限在实际中的应用，激发学生对极限的学习兴趣。

2.直观分析

结合线上学习情况，安排提問环节（图5），以“选人”的方式解决这一问题，由此给出数列极限的直观定义。

3.严格定义与推理

5.学习总结

回顾数列极限的直观定义、精确定义及几何意义（图8）;强调利用定义证明数列的极限基本步骤，同时指出可适当放大不等式求取N。

6.知识拓展

借助芝诺悖论（图9）引导学生进一步思考极限的概念，体会有限与无限之间的辩证关系，引导学生课下自主学习相关内容。

总结数列极限的发展历程，融入课程思政。从公元前三世纪左右极限的萌芽到十八世纪第二次数学危机，再到十九世纪数学家柯西、维尔斯特拉斯等人在前人所积累的大量成果（包括许多失败的尝试）的基础上，给出极限的精确定义，建立起微积分的理论基础，这中间经历了两千多年的时间。极限概念的发展历程充分说明任何事物的发展都不是一帆风顺的，都是遵从否定之否定的发展规律;因此，我们在日常的学习和工作中要想取得一些成绩一定要敢于质疑，勇于否定，同时也要沉得住气，持之以恒。

布置相关作业及下节预习内容。如何根据数列极限的严格定义给出函数极限的严格定义呢？二者有什么不同呢？以此巩固学生本节课学习的知识，引出下节的学习内容，培养学生学习知识的迁移能力。

三、总结与反思

本次课基于线上、线下的混合式教学方式能够让学生积极主动地分析、解决问题，通过课堂提问、练习，能够全面地、有效地了解学生们的学习掌握情况，根据反馈情况及时地调整教学内容。

从授课情况来看，大部分学生理解了数列极限的严格定义，能用定义严格地证明数列的极限，达到了教学目标。但是也发现少部分基础较弱、学习主动性不强的学生跟不上课堂的节奏，学习起来比较吃力，所以在后续的教学过程中将对如何调动这一部分学生学习的积极性，如何更好地进行分层教学作进一步的探讨。

参考文献：

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作者简介：

包云霞（1979年3月-），女，汉族，山东省海阳市人，硕士研究生，讲师，研究方向：贝叶斯统计。