“学科育人”视角下的《函数的概念》教学设计

孙书刚

[摘 要]函数是中学数学最基本的概念之一，函数在高中数学有着极其广泛的应用.“学科育人”视角下的《函数的概念》的教学设计，以“问题导学”新授课教学模式为基础，践行思维育人、史料育人、审美育人和活动育人，以问题串的形式开展教师主导下的学生自主合作探究学习.

[关键词]学科育人;问题导学;函数的概念

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）29-0001-05

为了更好地落实数学学科育人目标，我们尝试以思维育人、史料育人、审美育人和活动育人四个维度为抓手，在数学教学各个环节努力挖掘学科育人的内涵，努力使数学教学从形式到内容都有“立德树人”目标的引领.下面以《函数的概念》这一节课为例，谈谈笔者的思考与实践.

一、新课引入

“新课引入”是一节新授课的开始，它的内容与形式对调动学生学习的积极性具有很重要的作用.新课引入效果的好坏影响整节课学生的关注度和参与度.本课以数学史为切入点，融入中外数学家关于函数的经典数学故事，让学生深入了解函数的发展史，以史料育人.

“函数”有着漫长的发展史，函数的概念是在几代数学家不懈的研究和精益求精的追求之中逐步形成并完善的.最早提出函数（function）概念的是17世纪德国数学家莱布尼茨，最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂.以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标.1718年，莱布尼茨的学生约翰·贝努利（BernoulliJohann，瑞士，1667-1748） 在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量.”意思是凡变量x和常量构成的式子都叫作x的函数，他强调函数要用公式来表示.1755年，欧拉（L.Euler，瑞士，1707-1783） 把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数.”并给出了沿用至今的函数符号.1821年，柯西（Cauchy，法国，1789-1857） 给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫作函数.” 在柯西的定义中，首先出现了“自变量”一词.1822年，傅里叶（Fourier，法国，1768-1830）发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把人们对函数的认识又推进了一个新的层次.1837年，狄利克雷（Dirichlet，德国，1805-1859） 认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓展了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y叫作x的函数.”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受.至此，函数概念和函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义.等到康托尔（Cantor，德国，1845-1918）创立的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中教材里用的了.

中文数学书上使用的“函数”一词是一个翻译词，它是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的.中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，因此李善兰给出的函数定义是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量，“变化”之意偏重初中数学描述性定义，而“包含”则更多蕴含高中数学对应思想.

设计意图：函数是高一学生在学完集合后的第一个也是高中数学最抽象、最重要的概念.函数在高中数学中的地位很重要，高中数学中的导数、不等式、方程、数列、取值范围等很多模块都可以用函数思想来解决.从函数概念的起源开始，用大量的史料引入，让学生了解函数的发展史，使数学教学与数学学习不枯燥、不乏味，既开阔了学生的视野，又提高了学生的学习热情，同时增强了数学课堂的文化体验.加入史料教学可以使学生不走前人走过的弯路，可以让学生更深刻地理解教材中的知识点以及文化内涵，了解自己解决不了的问题跟前人不解的问题的一致性，从而不惧怕数学，进而以史怡情、以史料育人.

二、概念形成

“概念形成”是一节新授课的重点，它对学生构建自身的认知結构起关键作用.这一环节的重要任务就是让学生理解概念形成的合理性.本环节通过六个问题的层层推进，让学生体会发现问题、思考问题、解决问题的过程，逐步加深学生对函数概念的理解和感悟.

学生在初三时已学过函数，从学生认知的最近发展区入手，可以让学生自然而然地由已知得到新知，可以有效培养学生的知识迁移能力和用已知解决未知的思维习惯，这对于高中生解决传统文化题和数学创新题很有帮助.

问题1：同学们在初中已学过函数，初中函数是怎么定义的？初中都学过哪些函数呢？

生： 在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就称y是x的函数，其中把x称为自变量，把y称为因变量.

生：初中学过常值函数、一次函数、二次函数、反比例函数.

设计意图：通过复习初中函数的定义，重温学生对于函数的记忆，从学生认知的最近发展区入手，便于本节课基于集合与对应思想的高中函数的概念及其思想方法的学习.最近发展区有利于发展学生的思维品质，培养学生的知识迁移能力，引导学生从新的角度看问题，培养创造性思维.

问题2：初中的这四类函数的自变量和因变量的取值范围是确定的吗？可以用我们刚刚学过的集合来表示吗？这些集合的公共特征是什么？它们可以是空集吗？从集合与对应关系的角度怎么描述函数的概念呢？

生：四类函数的自变量和因变量的取值范围都是确定的，都可以用集合来表示，而且这些集合都是实数集或者其真子集，而且都不是空集.

生：函数可以视为非空数集A到非空数集B的一种对应关系，这种对应关系需要满足集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.

设计意图：把初中函数的概念和四类重要函數基于集合与对应关系的视角加以二次理解，提升学生用新知深入研究和理解旧知的能力，提升学生的数学思维品质，培养学生独立思考和批判性思维的能力.

问题3：请同学们认真阅读教材17页的三个实例，它们之间的共同点和不同点是什么？

师：对实例1，你能得出炮弹飞行1 s、5 s、10 s、20 s 时距地面多高吗？其中t的变化范围是多少？

生：能.t的范围在0到26之间.

师：对实例2，你从图中可以看出哪一年的臭氧空洞面积最大？其中t的取值范围是什么？

生：由图可以直观看出1993年、1998年、2000年和2001年的臭氧空洞面积最大. t的取值范围在1979到2001之间.

师：对实例3，恩格尔系数与时间的关系是否和前两个实例中的两变量之间的关系相似？它们的共同点是什么？如何用集合与对应关系的语言描述这一对关系？

生：三个实例十分相似，都是在一定范围内的任意一个数值，都对应另外一个唯一确定的数值，也就是说对于数集A中的每一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素与之对应.

师：三个实例的不同点呢？

生：实例1的对应关系是以函数解析式的形式表达的，实例2的对应关系是以图像的形式表达的，实例3的对应关系是以表格形式表达的.

设计意图：教材是很宝贵的学习资源，它是几代人集体智慧的结晶，值得好好研究、利用.通过问题串的形式引导学生观察、分析、思考、对比三个实例，落实思维育人和活动育人，提升发现问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生数学抽象、数学直观和数据分析核心素养.分析三个典例的不同点目的是为下一节《函数的表示》的学习埋下伏笔.

问题4：集合与对应关系视角下的初中函数与三个实例的共同点是什么呢？能否从集合与对应关系的角度给函数一个全新定义呢？

生：都有两个非空数集，两个非空数集之间都有一种确定的对应关系，这种对应关系都能实现把一个数集中的任意一个数变成另外一个数集中的唯一数.

师：如何从集合与对应关系的角度给函数一个全新定义呢？

生：对于任意两个非空数集A、B，如果按照某种确定的对应关系，集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么我们就把从集合A到集合B的这种对应关系叫作函数.

设计意图：从全新视角，对初中函数的集合与对应关系进行全新理解.结合教材丰富的三个不同的实例，挖掘现象背后的数学本质，发现数学视角下的共同点，找到独具魅力的特殊对应关系，也就是函数关系.通过“抽丝剥茧”般的引导，可以提升学生的数学思维品质，提高学生的数学抽象核心素养.

问题5：数学有几种语言？数学的独特魅力主要通过哪种语言来体现？函数一词用英语该怎么说？

生：数学有四种语言：文字语言（也叫自然语言）、图形语言、符号语言和肢体语言.这几种语言可以相互转化.符号语言是数学独有的语言，它具备简洁美、和谐美、对称美等美学特征.

生：函数在英语中翻译为function.

师：看来数学与英语不分家，在学过的知识中，还有没有这样的例子呢？

生：自然数在英语中翻译成Nature，自然数集写成N;实数在英语中翻译为Real，实数集写成R，这样的例子还很多，数学与英语真的不分家呀！

设计意图：通过提问提升学生的思维品质和学科整合能力，引导学生回忆已有知识中的跨学科知识，洞察科学文化知识是一脉相承的.在学生对若干规定的跨学科知识理解之后，豁然开朗地理解符号的本真意义，不由得感叹自然科学发展的完美和规范.为学生理解函数相关概念的符号语言打下基础，为跨学科融合奠定基础.

问题6：怎么用规范的数学语言给函数一个完美定义呢？

生：对于两个非空数集A、B，如果对于某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数[f（x）]和它对应，那么就称[f ：A→B]为从集合A到集合B的一个函数，记作[y=f（x）]，[x∈A].

师：函数的其他相关概念呢？

生：x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合[f（x）x∈A]叫作函数的值域.

设计意图：培根说过 “数学使人周密”，指的是数学可以用规范的符号语言和文字语言来准确描绘抽象化的科学世界，引导学生充分体验数学独有的美学价值和独特魅力，培养学生用数学语言规范表达的习惯和能力，为数学学习的良性循环发展奠基.同时，充分照顾学生认知需要螺旋上升的特征，逐步补充完善内容，在一步一步地引导中让学生自然而然地总结出函数的概念以及相关知识，引导学生体会数学的严谨性.

三、概念深化

“概念深化”是一节新授课的灵魂，它直接影响学生思维品质的培养，直接影响学生对数学核心概念理解的高度、深度和灵活度，直接决定学生从数学本质上理解核心概念的程度.这个环节要善于挖掘概念的内涵和外延，要加强对学生数学核心素养的培养.

问题1：函数概念中的关键词可以用哪几个字进行高度概括？函数关系[f ： A→B]可以实现集合A中的一个数对应集合B中的多个数吗？

生：浓缩成“非空数集，任意唯一”这八个字.也就是说函数必须是非空数集之间的一种对应关系，它只能把一个集合中的每一个实数变成另一个集合中的唯一一个实数.

师：函数可以把一个实数变成多个实数吗？

生：根据函数的定义，函数可以把一个实数变成一个实数，也可以把多个实数变成一个实数，但不可以把一个实数变成多个实数.

设计意图：通过提炼函数概念中的核心关键词，让学生学会提炼和概括主旨和要义，便于学生迅速抓住知识的核心和要点，便于学生精准记忆.通过“函数可以把一个实数变成多个实数吗？”引发学生思考可能出现的几种可能性，从而培养学生的发散性思维能力和批判性思维能力，提升学生的思维品质.

问题2：函数[f ： A→B]的定义域是非空数集A吗？函数的值域是非空数集B吗？

生：根据函数概念中的这段描述，我们知道自变量x的取值范围A叫作函数的定义域，函数值的集合[ f（x）x∈A]叫作函数的值域，因此函数的值域[ f（x）x∈A?B]，也就是说值域是集合B的子集，但是定义域就是集合A.

生：不是.因为由题意x的取值范围为空集，而函数必须建立在非空数集上.

设计意图：通过函数概念的关键词语的解读，引导学生学会多角度地思考和理解概念的本质特征，引导学生找出微小的不同点加以分析，这对培养学生思维的深刻性有着很高的训练价值.通过让学生独立思考函数的值域是否为非空数集B，培养学生的逻辑推理和数学抽象学科核心素养，避免学生出现想当然地认为“值域就是集合B”的先入为主的错误，从而培养学生思维的深刻性.通过比较、分析、概括，学生对函数概念的关键属性理解得更加深刻.

生：两函数对应法则分别为f和g，因此它们是两个完全不同的函数.

设计意图：符号语言是数学的独特语言，是数学学科区别于其他学科的独具魅力的核心特征，只有深入理解数学符号语言的意义才能规范准确表达.问题3的设计目的是夯实数学架构的根基，培养学生数学抽象核心素养，并通过规范的符号语言锻炼理性思维能力，同时通过研究[f（a）]的意义，引导学生加强对含参数问题的研究，强化分类与整合思想.

问题4：[y=f（x）]与[u=f（v）]是同一个函数还是两个函数呢？

师：这两个函数的三要素均相同，所以它们是同一函数，尽管自变量和因变量分别用不同的英文字母表示，但是它们的定义域、对应法则和值域都相同，因此研究函数就要研究函数的本质.

设计意图：此问题突出培养数学抽象核心素养，引导学生通过观察分析表面现象研究表象背后的本质问题.

问题5：类比数轴的三要素，函数有几个要素呢？函数的要素之间有没有必然的某种关系？怎么判断两个函数是同一个函数？

师：数轴有三要素：原点、正方向和单位长度，那么函数有几个要素呢？

生：函数有定义域、对应法则、值域三个要素，三者缺一不可.

师：如果两个函数的定义域和对应法则相同，那么它们的值域相同吗？

生：值域一定相同.

师：如何判断两个函数是否为同一函数？

生：只需看它们的三要素是否相同即可.

设计意图：运用类比的方法研究函数的三要素，可以有效提升学生的知识迁移能力.从学生的最近发展区着手进行数学问题的设计，有利于发展学生的思维品质，培养学生的知识迁移能力，培养学生的创造性思维和创新能力.

设计意图：突出函数、方程、不等式三位一体思想，培养一切尽在函数的图像中的解题意识，让学生在研究方程的解的问题、不等式的解集的问题时学会用函数的图像来解决.强化数形结合和转化化归思想，落实逻辑推理和直观想象核心素养培养.

四、应用探索

“应用探索”是一节新授课的关键.该环节的根本目的是培养学生的学以致用能力，通过对典型题目的典型分析、思考、解析、反思，促使学生学会灵活运用所学知识解决数学问题和实际问题.这一环节要教会学生从正确的解题思路中总结数学思想和数学方法，从而提高学生对数学思想和方法的理解和运用能力.

设计意图：通过例1和练习1的训练，可以强化学生对函数概念的理解和运用，特别是加深对函数概念的核心关键词“非空数集、任意唯一”的理解，为以后函数更深入的学习奠定良好的基础.

设计意图：通过判断，理解“关键词”“函数构成要素”“值域是集合B的子集”等难点知识.函数概念属于概念性知识，进一步引导学生通过把握概念的关键词及概念内涵，加强理解.

设计意图：目的是加强对定义域、函数值等的理解和运用，重点强化定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，比如分母不为零、偶次方数非负等.练习3是一道经典易错题，学生很容易先化简再求定义域，而恰恰是化简改变了函数的定义域.只有学生经历了解題的完整过程，特别是给足学生犯错的机会，才能提高解题能力，实现数学教学的知行合一，达到数学课堂的实践育人.

设计意图：让学生理解函数概念的本质，强化关键词集合A中的任意一个元素中的“任意”的理解，强化在集合B中都有唯一确定的元素与之对应的理解.本练习突出分类思想，只要做到统一标准、不重不漏，就可以完美解决问题，从而落实数学运算、数据分析学科核心素养培养，培养学生思维的严谨性.

五、总结归纳

“总结归纳”是一节新授课的升华，它对学生能否深入理解新知识的重点和关键，能否构建起知识网络，起着十分重要的作用.教师要精心设计课堂总结，让学生真正得到提高和升华，在课堂教学中产生充实和愉悦的感受.

师：同学们，今天我们站在数学先贤的肩膀上，在回顾初中函数的基础上，从集合和对应关系的角度学习了函数的概念.我们了解了函数近三百年的发展史，了解到函数的概念是在莱布尼茨等几代数学家的不懈研究和精益求精的追求之中逐步形成并完善的.我们还知道了清代数学家李善兰对于函数的翻译做出的巨大贡献;我们还合作探究概括出了集合与对应角度上的函数的概念，深入挖掘了“非空数集、任意唯一”的意义，深刻理解了函数概念的内涵和外延，对函数的概念有了一个比较全面的理解和掌握.

设计意图：通过回顾函数近三百年的发展史，复习初中函数知识，引入集合与对应视角下的函数的概念，深入剖析函数概念的要义，让学生感受到科学知识来之不易，感受到数学家追求真理、献身科学的锲而不舍的精神，感受到数学四种语言特别是符号语言的独特魅力，让学生在回味无穷中结束这节课的学习，在迫不及待中迎接下一节课的学习，从而践行四维育人，落实学科核心素养的培养目标.

[   参   考   文   献   ]

[1]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]  教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2020.

[3]  黄河清.高中数学“问题导学”教学策略[M].南宁：广西教育出版社，2019.

[4]  何志奇.高中数学新课标案例解读[M].北京：北京师范大学出版社，2020.

（责任编辑 黄桂坚）