关于McKay箭图的一点注记

侯汝臣

(烟台大学数学与信息科学学院,山东 烟台 264005)

1 引言及准备工作

“表示理论是代数学中具有根本性的问题,是当前国际上数学研究的前沿重点课题,在数学的其他分支,量子物理学以及化学等其他学科中有深刻而广泛的应用”[1]。 “群对称是数学的灵魂,而研究群对称的基本工具是群表示论”[2]。 1980 年,MCKAY引入了McKay 箭图的概念[3],它揭示了有限单群的表示和李代数、Klein 奇点等数学领域的联系,这就是经典的McKay 对应[4]。 在代数表示论中,McKay 箭图在研究 Cohen Macaulay 模的 Auslander Reiten 箭图,温驯型遗传代数的预投射代数,箭图簇,以及复杂度为2的自内射Koszul代数等多个方面起到重要作用[5-12]。

设G⊂GL(m,)=GL(V)是一个有限子群，这里V表示上的一个m维向量空间。 设 {Si|i=1,2,…,n}是G在上不可约表示的完全集。 对每一Si,将G的张量积表示V⊗Si分解为G的不可约表示的直和:群G的McKay 箭图Q=Q(G) 定义为:顶点集Q0是G在上不可约表示同构类下标的集合,从顶点i到顶点j有ai,j条箭向。 特别地,顶点i到i的箭向称为环。

一般情况下,计算McKay箭图比较困难[13]。 郭晋云利用代数表示论中的方法,即在文献[14]中利用文献[15]中外代数的斜群代数的箭图即为群的McKay箭图的方法,对有限循环群的McKay箭图进行了一般概括性刻画。 而因为有限循环群作为一般线性群GL(m,) 的子群的矩阵表现形式多样,相应的群-表示m分解为群-的不可约表示的直和的分解形式也不相同,这就使得群的McKay箭图也在变化。 关于群的不可约表示,可参阅文献[16-17]。 一般线性群GL(m,) 的其他有限子群的McKay箭图也有类似的情况。 为了研究这种现象,本文在第2节定理2 中利用群表示论中的方法精确刻画了有限循环群 的所有各类McKay 箭图。

证明因为是一个有限阿贝尔群,所以的任一不可约复表示均是一维的(参见文献[2]第一章引理4.4)。 设ρ: →GL(1,) 是 的一个不可约复表示,ρ(g)(1)=a, 则ρ(gn)(1)=ρ(g)n(1)=an,ρ(gn)(1)=ρ(1)(1)=1, 所以an=1,即a为n次单位根。

设(ρ1,), (ρ2,) 为的两个不可约复表示,ρ1,ρ2分别对应于n次单位根a和b。 设ψ为(ρ1,)到(ρ2,)的一个表示同态,ψ(1)=c。 则有ρ2ψ(1)=ψρ1(1), 即bc=ca。 所以若ψ≠0, 必有a=b, 即(ρ1,)=(ρ2,)。 所以引理1得证。

设G是一个n阶有限循环子群。 易知,在单同态意义下,G总可以看做一般线性群GL(m,) 的子群,m∈+。 而在相似等价意义下,G在GL(m,)中的矩阵表现形式有哪些,是一个值得研究的问题。 引理2对此进行了刻画。

引理2在相似等价意义下,可以以如下方式嵌入GL(m,):→GL(m,),

其中ωi(i=1,…,m)是n次单位根,并且ωi的阶数的最小公倍数是n。

证明根据文献[16]中14节命题(4)(i),g可以相似对角化,再由引理1,g的特征值为n次单位根,所以存在群同态φ:→GL(m,),

其中ωi(i=1,…,m)是n次单位根。 若要此同态为单同态,必须

且对任意p∈, 0

这就等价于要求n次单位根ωi(i=1,…,m)的阶数的最小公倍数为n。

依据GL(m,)对m矩阵乘法作用,m自然成为群G-表示。根据Maschke定理,群G-表示m可以分解为群G的不可约表示Si的直和,i=1,2,…,n。 但G在GL(m,)中的矩阵表现形式不同,所得到的m的不可约表示Si的直和分解也会不同。 下面定理1对此种现象进行了刻画。 在此基础上,自然地,在Grothedieck群意义下,以Si为基底,我们就可以得到群G-表示m的维数向量。 此向量在利用群的特征标求群的McKay箭图时也会起到重要作用。 我们回忆一下,设V是一个群G-表示,则V的维数向量定义为:dim(V)=(k1,k2,…,kn)T。

定理1设是一个以g为生成元的n阶群,则存在群单同态φ:→GL(m,)。在相似等价意义下,设

(1)此时的群-表示m有群-不可约表示分解

(2) 群-表示m的维数向量dim(m)=(d1,d2,…,dn)T。

证明根据引理2,在相似等价意义下, 设n阶循环群作为一般线性群GL(m,)的有限子群的嵌入方式为

其中ωu(u=1,2,…,m) 为n次单位根,并且ωu(u=1,…,m)的阶数的最小公倍数为n。

设j∈{1,2,…,n},则由引理1, 欲求群-表示m的不可约表示分解中, 群-不可约表示Sj的重数,只需考虑以下以k1,k2,…,km为未知量的齐次线性方程组的解空间的维数,

即

例1设为一个6阶循环群。 若嵌入GL(4,)的方式为

则此时dim(4)=(0,2,2,0,0,0)T。 若嵌入GL(4,)的方式为

则此时dim(4)=(1,1,0,1,0,1)T。

2 有限循环群的McKay箭图

定理2设是一个以g为生成元的n阶循环群,则存在群单同态φ:→GL(m,)。在相似等价意义下,设

推论1n阶循环群的McKay箭图的各个顶点有相同个数的环。

证明任取的一个McKay箭图Γ,任取Γ的顶点i,根据定理2,顶点i的环的个数是ai,i=di-i=dn, 得证。

由定理2,在不同单同态下,的McKay箭图也不同,但这些McKay箭图有一些共同的性质。

推论2设是一个以g为生成元的n阶循环群,在任一单同态下都可把看作GL(m,)的子群。 则对应的的所有McKay箭图顶点个数固定为n,箭向个数固定为mn。

证明根据McKay箭图的定义,显然的所有McKay箭图顶点个数固定为n。 从任一顶点i出发的箭向个数为ai,1+ai,2+…+ai,n,根据定理2,即为d1-i+d2-i+…+dn-i=d1+d2+…+dn=m。 而的McKay箭图顶点个数为n,所以箭向个数为mn。

现在就文献[15]中例4.3中的3个例子对定理2的应用加以说明。

例2设为一个2阶循环群。 若嵌入GL(3,)的方式为

则此时dim(3)=(2,1)T,3≅2S1⊕S2。 我们有a1,1=d2=1,a1,2=d1=2,a2,1=d1=2,a2,2=d2=1。 McKay箭图见图1(a)。

若嵌入GL(3,)的方式为

则此时dim(3)=(3,0)T,3≅3S1。 我们有a1,1=d2=0,a1,2=d1=3,a2,1=d1=3,a2,2=d2=0。 McKay箭图见图1(b)。

若嵌入GL(3,)的方式为

则此时dim(3)=(1,2)T,3≅S1⊕ 2S2。 我们有a1,1=d2=2,a1,2=d1=1,a2,1=d1=1,a2,2=d2=2。 McKay箭图见图1(c)。

图1 McKay箭图

通过和文献[15]比较我们不难发现,通过定理2的方法计算有限循环群的McKay箭图更简单。