复合函数形式的冲激函数相关运算探讨

陈 静，张汝峰，郭宝军，康宪芝，项 璟，金 钰

（沧洲交通学院 电子与电气工程学院，河北 黄骅061100）

0 引言

普通函数描述的是自变量与因变量之间的数值对应关系，如果要考察某些物理量在空间或时间坐标上集中于一点的物理现象，如质量集中于一点的密度分布、作用时间趋于零的冲击力、宽度趋于零的电脉冲等，普通函数的概念就不够用了，作为信号与线性系统分析中描述这类物理现象和过程的重要数学模型［1］，单位冲激函数的引入使得函数间断点处导数存在成为可能，掌握它的应用是现代科技工作者必备的基础.冲激函数的物理含义和性质前人研究颇多，而复合函数形式的冲激函数及其相关运算在各种版本的教材和相关辅导资料中却很少涉及和讨论.

本文采用常规函数的计算方法，从广义函数定义出发，对复合函数形式的冲激函数及其微分、积分和卷积积分运算进行了分析和推导，最后通过验证得出一般性的结论.

1 冲激函数δ(t)的广义函数定义

如果把普通函数y=f(t)看成是对定义域中的每个自变量t，按一定的运算规则f指定一个数值y的过程，则可以把广义函数g（t）理解为是对试验函数集｛φ（t）｝中的每个函数φ（t），按一定运算规则Ng分配或指定一个数值N［gφ（t）］的过程.广义函数g（t）的定义为

按广义函数理论，冲激函数δ(t)可定义为，即冲激函数δ(t)作用于检验函数ϕ(t)的效果是给它赋值ϕ（0）.若将一幅度为n2，宽度为2n的矩形脉冲看作广义函数，则有，当n趋向于无穷大时，在(-1n，+1n)区间上ϕ(t)≈ϕ（0），因此

2 复合函数δ[ϕ(t)]及其相关运算

2.1 ϕ(t)=at+b为一次函数

证明一：根据冲激函数δ(t)的尺度变换性质，由换元的思想可知，δ(at+b)=δ[a(t+

图1 信号变换图

2.1.2 复合函数δ(at+b)的积分运算

2.1.3 复合函数δ(at+b)的微分运算

2.1.4 复合函数δ(at+b)与普通函数f(t)的卷积积分

由冲激函数卷积积分性质［5］f(t)∗δ(t-t0)=f(t-t0)，则

2.2 ϕ(t)为二次函数或高次函数

证明：设ϕ(t)=0有n个互不相等的实根tk(k=1，2，…，n)，则在任一单根tk附近足够小的邻域内，ϕ(t)可展开为泰勒级数，考虑到ϕ(tk)=0，并忽略高次项，有ϕ(t)=ϕ(tk)+ϕ'(tk)(t-tk)+0.5ϕ″(tk)(t-tk)2+…≈ϕ'(tk)(t-tk)［6］.式中ϕ'(tk)表示ϕ(t)在t=tk处的导数.由于t=tk是ϕ(t)的单根，则ϕ'(tk)≠0，所以在t=tk附近，根据冲激函数的尺度变换性质，δ[ϕ(t)]可写为因此若ϕ(t)=0的根均为单根，即t=tk处ϕ'(tk)≠0，则若ϕ(t)=0有重根，δ[ϕ(t)]没有意义.

2.2.2 复合函数δ[ϕ(t)]的积分运算

2.2.3 复合函数δ[ϕ(t)]的微分运算

由复合函数导数［7］求解，则δ'[ϕ(t)]=

2.2.4 复合函数δ[ϕ(t)]与普通函数f(t)的卷积积分

证明一：由卷积积分的定义［8］可知则du=即上式卷积的结果可写为设ϕ(t)=0有n个互不相等的实根tk(k=1，2，…，n)，则当τ=tk时u=0，由冲激函数取样性［9］f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，则

3 验证与结论

根据上述分析，验证当ϕ(t)分别为一次函数和多次函数时，结论是否一致.

本文对复合函数形式的冲激函数δ[ϕ(t)]及其相关运算进行了证明和计算，做出了一般性的分析与归纳，最终得到相应的结论，为后续相关物理现象和过程的研究和分析奠定了基础.