线性代数教学中创新思维培养：实然困境与应然对策

宓 颖

（辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州121001）

0 引言

习近平总书记指出：“创新始终是推动一个国家、一个民族向前发展的重要力量.人才是创新的根基，创新驱动实质上是人才驱动，谁拥有一流的创新人才，谁就拥有了科技创新的优势和主导权.”陈宝生部长在2021年全国教育大会上的讲话指出：创新在我国现代化建设全局中具有核心地位，要扎实推进新工科建设，加快培养理工农医类专业紧缺人才，加强创新型人才培养.地方工科院校承担着为社会培养大批应用型工程技术人才和管理人才的任务［1］.现代工程科技要求工科大学生应具备扎实的数学基础理论和数学应用能力［2］.线性代数是高等院校工科学生的一门必修课程，而且为解决复杂工程问题提供必备的数学基础，在工程、计算机科学与技术、经济等领域有着广泛的应用.因此，线性代数教学在培养创新人才中发挥着不可或缺的作用，学生受益面大，是基础课创新教育的重要组成部分.

近年来，研究者对线性代数教学改革、课程建设等方面做了很多探讨，目前线性代数教学研究主要关注探讨线性代数教学方法.例如，如何合理、有效地借助几何直观帮助学生理解和掌握抽象的理论知识［3］.采用理论联系实际的教学方式，联系应用背景，应用线性代数知识解决实际问题［4］.如何在线性代数课堂教学中应用项目教学法［5］.有研究者指出线性代数教学中，教学方法的改革是实施创新人才培养的保证.线性代数课堂除了传授学生数学知识，更重要的是培养学生的思维能力和创新能力［6］.对已有的文献梳理发现，线性代数教学中，对于如何培养创新能力、创新思维未做系统的研究和阐述.研究者仅仅关注某种教学理念、教学模式对于培养创新思维的影响.例如：有研究者探讨了以教师为中心在培养学生创新能力方面存在的缺陷，探讨了以学生为中心在培养学生能力方面的优势［7］.有研究者在线性代数教学中提出了构思、设计、实现、运作的教育理念，对于贯彻创新教育思想，培养高素质创新人才具有重要的意义［8］.

有研究者指出目前我国高等学校数学教学过分追求数学理论的严密性和完整性，注重呈现知识点、讲解计算方法、引导学生练习，但缺乏探讨数学思想，忽视学生创新思维的培养［9］.新工科建设对学生创新能力的培养提出了更高的要求，传统的线性代数教学已不能满足新工科人才培养的需要.我们需要分析线性代数教学中创新思维培养面临的困境，更应根据线性代数学科特点和教学实践探索培养创新思维的路径.

1 线性代数教学中创新思维培养的实然困境

创新思维被界定为：“提供新颖的和有价值的思维成果的心理过程.它既有其他思维一样分析、综合、比较、抽象、概括，又是多种思维形式协调活动的综合体”［10］.相异性、发散性、综合性是创新思维的主要特征［11］.根据自己多年从事线性代数教学的经验，培养创新思维所存在的问题主要表现在以下几方面.

1.1 教学内容：重视理论轻视应用

线性代数课程主要的研究对象是矩阵、线性空间结构及线性变换，该课程的主要特征是抽象，而且与高等数学的微积分与高中数学有一定的关联不同，该门课程与高中数学关联不大.教师在教学中重视公式定理的证明，但是轻视其应用价值.很多教师在教学中忽视对概念与理论的背景和应用介绍，而概念的形成过程以及定理公式的发现过程都被忽略了，这种教学方式遮蔽了数学活动所蕴含的创新思维.学生缺乏对于线性代数所需背景概念的理解.而且以学生的水平很难找到可以将线性代数用于解决问题的情境.学生在这些情境中更容易理解概念，解决问题.在新工科背景下，工程、计算机科学等领域科学技术快速发展；而与此相比，线性代数的教学内容明显陈旧滞后.尤其体现在线性代数教学缺乏数学实验环节，很少涉及到数学计算软件MATLAB的使用.大部分学生学习线性代数的表现是：学习解线性方程组、计算矩阵的乘积时都没有太大的困难，但是当学到线性空间、线性相关性时，就束手无策了.抽象性和形式化的概念，是学生学习线性代数困难的主要原因［12］.学生普遍认为该课程：内容枯燥、抽象、定义太多，缺乏与以前所学数学知识的联系.

1.2 教学模式：重视讲解轻视互动

教师在课堂教学中普遍采用“以教师为中心”的教学模式.教师习惯采用复习引入，概念、定理讲解，例题、习题讲解，总结的流程.教师对所教的专业对线性代数知识的需求知之甚少，没有建立线性代数内容与专业课程内容之间的联系.线性代数教学存在着注重运算技巧忽视思维创新，注重逻辑推导证明忽视探究发现的现象.教师课堂教学的“满堂灌”现象非常严重.在师生互动方面，教师主要采用课堂提问，但是大多数提问都集中在复习引入环节，问题以识记、回忆性问题为主，属于简单型问题，缺乏创新.教师为了实现教学目标，完成教学任务，通常对课堂教学进度掌控很严.学生课堂的大部分时间都在听老师讲解，在课堂教学中几乎没有与教师讨论、研讨的机会，学生无法深度参与到课堂教学中，几乎没有机会提出不同的见解和想法，没有机会提出有挑战性、创新性的问题.课堂气氛缺乏活力，即使学生提出创新型的问题或者独创性的解答，老师也无法给学生提供更多的时间和机会，去启发和鼓励学生阐述自己的见解和理由.相异性是创新思维的基本特点之一［11］.在目前线性代数的教学模式下，学生的创新思维就被淹没了.

1.3 教学评价：重视结果轻视过程

以培养创新型人才为目标的研究型教学方法改革需要与之相适应的评价方法［13］.评价不仅能够制约教学，而且，科学合理的评价能够衡量学生创新思维的发展水平，引导学生创新思维的发展.目前线性代数课程考核评价主要采用“平时成绩加期末成绩”的形式，期末成绩所占比重较大，平时成绩主要由随堂作业和课堂发言组成.期末试题主要包含填空、计算、证明，侧重考查学生对于基本概念、定理的掌握情况，考查学生的运算能力和逻辑思维能力.试题主要是封闭性试题，应用性、开放性问题所占比重小，几乎不涉及创新性试题.学生通过机械地套用公式、定义、定理就能够解决问题，往往局限于固定的模式套路，墨守成规，思维僵化.这种考核评价形式的优势在于强调了考核评价的客观公正，容易操作；但是以结果为主的评价方式具有一定的偶然性，而且也会使学生养成重结果轻过程，重记忆轻创新的学习习惯.发散性是创新思维的重要特征之一，思维的发散强调在提出问题与解决问题时，不能拘泥于一种方式或套路［11］.综上，目前线性代数的考核评价方式，容易造成学生僵化、静止的看待问题、思考问题，而忽视了学生创新思维的检测.线性代数学习中，很多学生对基础知识、公式掌握比较扎实，但是遇到综合、创新型的问题便束手无策.

2 线性代数教学中培养创新思维的应然对策

“学生创新意识、创新思维的培养是长期的目标，因此改革教学方法和手段，转变教师教学观念，真正将学生放在教学的主体地位，是今后教学的主要任务”［14］.结合我校线性代数教学的实际，从如下几个方面提出培养学生创新思维的策略.

2.1 优化教学内容，渗透数学建模思想与数学软件的使用

我们主要从数学建模和数学软件对线性代数的教学内容进行改进.

第一，数学建模.线性代数在工程技术等方面有着广泛地应用.随着计算机的日益普及与广泛应用，现代许多工程问题的解决最终转化为线性代数知识内容的求解.在教学内容中，将数学建模思想融入线性代数的教学，使抽象的线性代数教学理论变得更形象、具体、直观，加深学生对教学内容的理解与掌握.例如，线性代数第二章第二节矩阵运算中矩阵的乘法，教材中以线性变换引入，给出乘法的定义.学生学习时，感觉比较抽象，只是能死记硬背公式，并且对实际应用无从了解.我们可以从以下产品成本实际背景入手，建立数学模型，进而给出矩阵乘法的定义.

某公司生产A，B，C三种产品，每种产品的原料、劳动力、以及管理费用的单位成本如表1所示.

表1 三种产品原料、劳动力及管理费用的单位成本 元

三种产品每个季度产量如表2所示.

表2 三种产品各季度产量 件

怎样求解该公司三种产品关于原料、劳动力及管理费用的各季度总成本？首先，将表1，表2数据分别矩阵表示

公司产三种产品分别关于原料、劳动力以及管理费用的第一季度总成本分别为：

同理可得三种产品在其余三个季度关于原料、劳动力及管理费用的总成本.

以公司产品关于原料、劳动力及管理费用的各季度总成本作为列元素构成矩阵

可以看到，Q是一个3×4矩阵，其第i行第j列的元素是矩阵M的第i行元素与矩阵P的第j列对应元素乘积之和.我们将矩阵Q称为矩阵M与P的乘积，记作Q=MP.由此，给出矩阵乘法的定义.

第二，数学软件.数学软件具有数据可视化的特点，在数据分析、数值分析等方面有广泛的应用.基于数学软件的优势，我们将处理数学问题的计算机软件应用于线性代数课程的教学之中，既可提高学生的数学能力，又能加强学生对抽象的教学内容的掌握，提高解决实际问题的能力.

例如，求解线性方程组是线性代数的重要教学内容，课堂中教师通过例题讲解求解的方法与步骤，在学生掌握基本原理的基础上，再利用MATLAB软件编程求解.这样，不仅能够加强学生对所学知识的理论方法的掌握与理解，更能加强其实际应用能力.

2.2 改革教学模式，注重师生交流与研讨

教学方法对于创新思维的培养至关重要.我们在教学模式方面主要做了如下工作：

第一，在传统课堂教学模式方面，注重采用问题驱动教学.问题驱动教学是“以问题为中心，在老师的引导下，学生通过独立思考、讨论、交流等形式，对教学问题进行思考、探索、求解、延伸和发展”［15］.我们在问题驱动教学的基础上，以思考题为辅助和延伸，培养学生的创新思维.例如，在逆矩阵的讲授中，可以通过如下方式得到方阵可逆的定义：从初等数学中倒数引入，引导学生将此知识与矩阵相关运算进行比较，提出问题：对任意一个方阵A，是否存在其倒数A-1，使得A⋅A-1=E.

，

线性代数很多教学内容逻辑严密，系统性较强.在采用问题驱动教学模式时，可以根据教材内容的关联性，以学生已经学习过的知识为出发点，通过对已学知识的再次复习加深而获得新的知识，培养学生的创新思维.例如：线性代数第三章第二节矩阵的秩与第四章第三节向量组的秩在定义方式以及计算方法上相类似.通过矩阵秩的学习，在学习向量组秩时，教师引导启发学生，对这两个内容加以比较学习，使其更易掌握向量组秩的抽象概念，学生学习的积极性、主动性更高.

第二，尝试采用混合教学模式.有研究表明，混合教学与单纯的在线教学和课堂教学相比，有效性更大［16］.混合教学模式已经成为推进教育教学课程改革的重要趋势［17］.我们在线性代数教学中，积极探索线上线下混合教学模式，弥补传统教学模式的不足.通过将在线教学与传统课堂教学优势有机整合统筹，可以为学生提供更多的与同伴交互以及自主学习和自我管理的机会，有效提高学生运用恰当的学习策略进行创新学习的能力，培养学生的创新思维［18］.

在教学内容上，我们将一些基本概念、性质，以及基础的运算作为线上教学的内容.如矩阵的概念，常用的行列式计算，线性方程组求解，克莱姆法则等作为线上教学的内容.对于一些复杂抽象、难度大的，例如：向量组线性相关性、二次型、向量空间等内容，仍然采用线下课堂教学的方式.在线下课堂教学之前，我们督促学生充分利用慕课，超星教学平台，手机APP等开展线上自学，并要求搜集查阅具有一定创新性的资源.课堂教学中，教师在平台发送问题，学生抢答，讨论，展开互动；检验学生线上学习的效果，鼓励学生表达自己的学习见解.例如，在讲授行列式按行列展开知识点时，在平台发布问题“余子式与代数余子式有什么特点？它们之间有什么联系？”“行列式计算的方法通常有哪些？”在讲授矩阵计算的知识点时，设置“矩阵乘法满足交换律吗？”“矩阵的行列式运算规律有哪些？”课后，教师可增加前沿领域的相关介绍和联系生活实际的数学问题，培养学生的创新思维.

2.3 健全考核评价机制，强调过程考核

考核评价对于教学而言是不可或缺的，同时是衡量教学效果、提高教学质量的重要手段.教师可以通过评价检验学生创新思维的现状水平以及发展状况，也能够激励学生创新思维发展.鉴于目前线性代数的考核评价机制不利于创新思维的培养，我们从如下方面完善了目前线性代数课程的考核评价机制.

首先，在考核评价方式上，注重过程性考核.原有考核方式为平时成绩占30%，包括作业、阶段测试，期末卷面成绩占70%.这种考核方式单一，造成学生仅仅以通过考试为目的，不能对线性代数所学内容深入掌握，更不能考查学生的创新思维.在考核评价上，可通过增加考核方式，来改进原有考核评价的局限.例如，通过超星平台，加入课堂随机测试，使学生随堂掌握所学内容，而非期末突击复习.重视过程性考核，注重考核学生在线性代数学习中的表现.鼓励并为学生创造机会，让他们参与到思考、探索、猜测、验证的全过程，尤其是鼓励学生表达自己对问题的不同观点与见解.通过教学中引入数学软件，加入上机编程求解实际问题建模后有关线性方程组的测试，加深学生对理论知识的掌握，同时加强其创新思维的培养.鼓励学生采用数学软件完成老师平时布置的作业.

其次，在考核内容上，重视学生创新思维的考查，有效发挥考核评价的“指挥棒”功能.减少考试题目中机械记忆、模仿，或者与往届题型重复的试题所占的比重.根据学生的实际情况，可以尝试设置一定比例的开放性、探索性问题，鼓励学生从多个角度思考问题，培养学生的发散思维和创新思维.由于开放题的特征是条件开放或者结论开放，学生在解答开放题的过程中必然会积极探索寻求问题的各种答案，这对于培养学生的创新思维是至关重要的.教师对书本例题和习题的进行适当的修改，如改变某些条件，得到开放题.例如学生对于纯数字系数的线性方程组的求解已经很熟悉，我们可以在学生掌握该类型问题的基础上，在系数中设置参数，考查学生的创新思维.以下面这道试题为例进行说明：当a，b(a，b∈R)为何值时，线性方程组

有唯一解？无解？无穷多组解？并在有无穷多解时求出其通解.教师评价开放题或创新性试题时鼓励学生在问题解决过程中展示创新思维.