类比思想引路，数学软件辅助

李习凡 朱胜强

摘要：“球的表面积和体积公式”的教学通常采用直接告知结论（至少是直接提示方法）的方式。实际上，这一内容的教学能够采用引导探究结论（推导公式）的方式：引导学生基于类比思想，根据推导圆的周长公式的方法，想到“水平等角或等距切割成若干层‘小圆片，近似看作圆台或圆柱求侧面积或体积和，再考察极限逼近准确值”的方法;运用数学软件，处理推导过程中具体而复杂的计算。

关键词：类比思想;数学软件;探究教学;球的表面和体积公式

“球的表面积和体积公式”是高中数学的传统内容。这一内容在《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中的学习要求是：“知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。”它从属于“几何与代数”主线，并处于这一主线中知识逻辑链条的末端，不会对其他内容产生明显的影响。因此，从高中数学课程内容选择的基础性（发展性）原则来看，这一内容的教学通常不受重视。

就学生推导球的表面积和体积公式而言，虽类比推导圆的面积公式的方法，采用“指向球心分割成若干个‘小锥体，近似看作棱锥求体积和，再考察极限逼近准确值”的方法，不难建立球的表面积和体积的关系，由此实现球的表面积和体积公式的互推，但是在球的表面积和体积公式都不知道的情况下，想到合适的方法推出其中任何一个都比较困难。因此，从高中数学课程内容选择的可行性原则来看，这一内容的教学通常采用直接告知结论（至少是直接提示方法）的方式。例如，人教A版高中数学新教材[依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写]先直接给出球的表面积公式，再基于球的表面积公式推出球的体积公式;苏教版高中数学新教材先直接提示倒沙实验和祖暅原理，给出“一个底面半径和高都等于R的圆柱挖去一个以上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥后所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等”的结论，得到球的体积公式，再基于球的体积公式推出球的表面积公式（这样做改变了两个公式的学习顺序）。

我们知道，直接告知结论的方式，实际上不利于学生厘清知识的来龙去脉，感悟其中的数学思想，从而发展数学核心素养。因此，新课改提倡引导探究结论的方式。那么，这一内容的教学能够采用引导探究结论（推导公式）的方式吗？学生会遇到什么困难？如何才能在方法上想到？又如何才能在技术上做到？

一、教学思路分析

数学探究需要基于已有知识，利用一些具有概括性和普遍性的数学思想方法（数学核心素养其实就是最上位的一些数学思想方法）作为指引，通过一些具体的数学技术手段（本质上也属于数学学习策略）来实现。

采用倒沙实验或依据祖暅原理推导球的体积公式，其关键是发现（猜想）与半球体积相等的几何体，而学生几乎不可能凭空发现这样的几何体（苏教版教材只能直接给出这样的几何体）。因此，这样实际上只能让学生验证球的体积公式，不能让学生发现球的体积公式。此外，作为“思想方法”，倒沙实验与祖暅原理也缺少一般性，不符合学生的已有基础和发展需要。

那么，如何让学生想到推导球的表面积或体积公式的方法？我们知道，立体几何问题通常是平面几何问题的升级，可以与平面几何问题进行类比，而类比是一个重要的数学思想方法。因此，可以让学生从圆到球进行类比迁移，根据推导圆的周长或面积公式的方法，探究推导球的表面积或体积公式的方法。

显然，如前所述，根据推导圆的面积公式的方法，探究推导球的体积公式的方法，只能得到球的表面积和体积的关系。因此，先要让学生根据推导圆的周长公式的方法，探究推导球的表面积公式的方法。

不过，学生在小学是通过具体测量归纳的方法得到圆的周长公式的，并没有通过一般公式演绎的方法推导。而在高中推导球的表面积公式，一是无法具体测量归纳（因为球面无法变成平面），二是需要一般公式演绎（这样才更理性、更可信，更有“数学味”）。对此，可以介绍我国古代数学家刘徽曾经采用的计算演绎的方法，即“割圆术”（这也是一种数学文化的渗透）。由此，可以引导学生采用“水平等角或等距分割成若干层‘小圆片，近似看作圆台或圆柱求侧面积和，再考察极限逼近准确值”的方法推导球的表面积公式。其实，作为“思想方法”，这种方法体现了“分割、求和、逼近”（即“以直代曲，无限逼近”）的微积分思想，更具有一般性，也更符合学生的已有基础和发展需要：在小学推导圆的面积公式时使用过，后续学习定积分时又会接触到。

但是，采用上述方法推导球的表面积公式时，学生会遇到表示圆台或圆柱的侧面积，尤其是求和时技术上的一些障碍，导致很难完成推导过程（这可能是人教版教材干脆直接给出球的表面积公式的重要原因）。对此，可以利用一些数学软件强大的计算功能，帮助学生处理推导过程中具体而复杂的计算（我们身处信息技术的时代，信息技术的应用无处不在）。由此，学生也可以大胆设参数、列式子，并重点体验数学探究的过程，获得思想方法的感悟;同时，感受信息技术的神奇，认识信息技术的价值（让数学探究“柳暗花明”），提升应用信息技术的意识与能力，发展时代素养。

二、教学过程设计

（一）引导学生推导球的表面积公式

在学生发现球的表面积不能分割或展开成平面图形来求之后，教师可以引导学生类比圆的周长的求法。为此，教师可以先介绍刘徽的“割圆术”：把圆周等分成若干段，近似看作线段求长度和，再考察极限逼近准确值——注意，这里只要介绍“割圆术”的总体思想，不要介绍“割圆术”的具体过程，除了因为后续探究中具体的计算都可以交给数学软件之外，还因为刘徽在计算线段的長度时用到了递推的方法，比较复杂。由此，学生可以想到把球面等分成若干块，近似看作直边图形求面积和。随即，又会遇到球面面积密铺等分的困难。这时，教师可以举出生活中一圈圈地削苹果的事例。由此，学生可以想到把球面水平等弧（等角）或等高（等距）分割成若干层，近似看作圆台或圆柱侧面求侧面积和（如图1所示）。

这时，教师可以引导学生根据球的对称性考虑半个球面进行简化处理，基于轴截面，以一种情况（如等弧分割成n层，近似看作圆台）为例来计算各个部分的侧面积和：如图2，设球的半径为R，从下往上，第i个圆台的下、上底面半径分别为Rcos（i-1）π2n、Rcosiπ2n，母线长为2Rsinπ4n，因此侧面积Si=πRcos（i-1）π2n+cosiπ2n·2Rsinπ4n，侧面积和S=S1+S2+…+Sn。

然后，教师可以引导学生在GeoGebra软件中输入不同的n的值，计算S的表达式除以2πR2这一固定的公因式后的值。学生可以发现，当n不断增大时，算出的值不断趋近于1。考虑到n越大，各个圆台的母线长就越短，侧面积与球表面对应部分的面积就越接近，学生可以猜想球的表面积公式为S=4πR2。

（二）引导学生推导球的体积公式

教师可以引导学生采用教材给出的方法，基于球的表面积公式推出球的体积公式。同时，可以引导学生继续运用推导球的表面积公式的方法：如图2，从下往上，第i个圆台的高为Rsiniπ2n-Rsin（i-1）π2n，因此体积Vi=π3R3siniπ2n-

sin（i-1）π2ncos2（i-1）π2n+cos（i-1）π2ncosiπ2n+

cos2iπ2n，体积和V=V1+V2+…+Vn;在GeoGebra软件中输入不同的n的值，计算V的表达式除以π3R3这一固定的公因式后的值，可以发现，当n不断增大时，算出的值不断趋近于2，从而可以猜想球的体积公式为V=4π3R3。

实际上，有了GeoGebra软件帮助处理具体计算，学生便不再有“是否易于求和”的顾虑，从而可以尝试更多的分割方法。比如，学生可以尝试采用如图3所示的“指向球心分割成若干个‘小锥体”的方法推出球的表面和体积公式——虽然列式麻烦一些，但是计算可以交给GeoGebra软件。

参考文献：

[1] 史宁中，王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读＼[M＼].北京：高等教育出版社，2018.

[2] 孙四周.还原祖冲之——我是如何在中学讲割圆术的＼[J＼].教育研究与评论，2016（6）.