类比思想引路,数学软件辅助

2021-09-28 15:27李习凡朱胜强
关键词:类比思想探究教学

李习凡 朱胜强

摘要:“球的表面积和体积公式”的教学通常采用直接告知结论(至少是直接提示方法)的方式。实际上,这一内容的教学能够采用引导探究结论(推导公式)的方式:引导学生基于类比思想,根据推导圆的周长公式的方法,想到“水平等角或等距切割成若干层‘小圆片,近似看作圆台或圆柱求侧面积或体积和,再考察极限逼近准确值”的方法;运用数学软件,处理推导过程中具体而复杂的计算。

关键词:类比思想;数学软件;探究教学;球的表面和体积公式

“球的表面积和体积公式”是高中数学的传统内容。这一内容在《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中的学习要求是:“知道球的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题。”它从属于“几何与代数”主线,并处于这一主线中知识逻辑链条的末端,不会对其他内容产生明显的影响。因此,从高中数学课程内容选择的基础性(发展性)原则来看,这一内容的教学通常不受重视。

就学生推导球的表面积和体积公式而言,虽类比推导圆的面积公式的方法,采用“指向球心分割成若干个‘小锥体,近似看作棱锥求体积和,再考察极限逼近准确值”的方法,不难建立球的表面积和体积的关系,由此实现球的表面积和体积公式的互推,但是在球的表面积和体积公式都不知道的情况下,想到合适的方法推出其中任何一个都比较困难。因此,从高中数学课程内容选择的可行性原则来看,这一内容的教学通常采用直接告知结论(至少是直接提示方法)的方式。例如,人教A版高中数学新教材[依据《普通高中数学课程标准(2017年版)》编写]先直接给出球的表面积公式,再基于球的表面积公式推出球的体积公式;苏教版高中数学新教材先直接提示倒沙实验和祖暅原理,给出“一个底面半径和高都等于R的圆柱挖去一个以上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥后所得几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等”的结论,得到球的体积公式,再基于球的体积公式推出球的表面积公式(这样做改变了两个公式的学习顺序)。

我们知道,直接告知结论的方式,实际上不利于学生厘清知识的来龙去脉,感悟其中的数学思想,从而发展数学核心素养。因此,新课改提倡引导探究结论的方式。那么,这一内容的教学能够采用引导探究结论(推导公式)的方式吗?学生会遇到什么困难?如何才能在方法上想到?又如何才能在技术上做到?

一、教学思路分析

数学探究需要基于已有知识,利用一些具有概括性和普遍性的数学思想方法(数学核心素养其实就是最上位的一些数学思想方法)作为指引,通过一些具体的数学技术手段(本质上也属于数学学习策略)来实现。

采用倒沙实验或依据祖暅原理推导球的体积公式,其关键是发现(猜想)与半球体积相等的几何体,而学生几乎不可能凭空发现这样的几何体(苏教版教材只能直接给出这样的几何体)。因此,这样实际上只能让学生验证球的体积公式,不能让学生发现球的体积公式。此外,作为“思想方法”,倒沙实验与祖暅原理也缺少一般性,不符合学生的已有基础和发展需要。

那么,如何让学生想到推导球的表面积或体积公式的方法?我们知道,立体几何问题通常是平面几何问题的升级,可以与平面几何问题进行类比,而类比是一个重要的数学思想方法。因此,可以让学生从圆到球进行类比迁移,根据推导圆的周长或面积公式的方法,探究推导球的表面积或体积公式的方法。

显然,如前所述,根据推导圆的面积公式的方法,探究推导球的体积公式的方法,只能得到球的表面积和体积的关系。因此,先要让学生根据推导圆的周长公式的方法,探究推导球的表面积公式的方法。

不过,学生在小学是通过具体测量归纳的方法得到圆的周长公式的,并没有通过一般公式演绎的方法推导。而在高中推导球的表面积公式,一是无法具体测量归纳(因为球面无法变成平面),二是需要一般公式演绎(这样才更理性、更可信,更有“数学味”)。对此,可以介绍我国古代数学家刘徽曾经采用的计算演绎的方法,即“割圆术”(这也是一种数学文化的渗透)。由此,可以引导学生采用“水平等角或等距分割成若干层‘小圆片,近似看作圆台或圆柱求侧面积和,再考察极限逼近准确值”的方法推导球的表面积公式。其实,作为“思想方法”,这种方法体现了“分割、求和、逼近”(即“以直代曲,无限逼近”)的微积分思想,更具有一般性,也更符合学生的已有基础和发展需要:在小学推导圆的面积公式时使用过,后续学习定积分时又会接触到。

但是,采用上述方法推导球的表面积公式时,学生会遇到表示圆台或圆柱的侧面积,尤其是求和时技术上的一些障碍,导致很难完成推导过程(这可能是人教版教材干脆直接给出球的表面积公式的重要原因)。对此,可以利用一些数学软件强大的计算功能,帮助学生处理推导过程中具体而复杂的计算(我们身处信息技术的时代,信息技术的应用无处不在)。由此,学生也可以大胆设参数、列式子,并重点体验数学探究的过程,获得思想方法的感悟;同时,感受信息技术的神奇,认识信息技术的价值(让数学探究“柳暗花明”),提升应用信息技术的意识与能力,发展时代素养。

二、教学过程设计

(一)引导学生推导球的表面积公式

在学生发现球的表面积不能分割或展开成平面图形来求之后,教师可以引导学生类比圆的周长的求法。为此,教师可以先介绍刘徽的“割圆术”:把圆周等分成若干段,近似看作线段求长度和,再考察极限逼近准确值——注意,这里只要介绍“割圆术”的总体思想,不要介绍“割圆术”的具体过程,除了因为后续探究中具体的计算都可以交给数学软件之外,还因为刘徽在计算线段的長度时用到了递推的方法,比较复杂。由此,学生可以想到把球面等分成若干块,近似看作直边图形求面积和。随即,又会遇到球面面积密铺等分的困难。这时,教师可以举出生活中一圈圈地削苹果的事例。由此,学生可以想到把球面水平等弧(等角)或等高(等距)分割成若干层,近似看作圆台或圆柱侧面求侧面积和(如图1所示)。

这时,教师可以引导学生根据球的对称性考虑半个球面进行简化处理,基于轴截面,以一种情况(如等弧分割成n层,近似看作圆台)为例来计算各个部分的侧面积和:如图2,设球的半径为R,从下往上,第i个圆台的下、上底面半径分别为Rcos(i-1)π2n、Rcosiπ2n,母线长为2Rsinπ4n,因此侧面积Si=πRcos(i-1)π2n+cosiπ2n·2Rsinπ4n,侧面积和S=S1+S2+…+Sn。

然后,教师可以引导学生在GeoGebra软件中输入不同的n的值,计算S的表达式除以2πR2这一固定的公因式后的值。学生可以发现,当n不断增大时,算出的值不断趋近于1。考虑到n越大,各个圆台的母线长就越短,侧面积与球表面对应部分的面积就越接近,学生可以猜想球的表面积公式为S=4πR2。

(二)引导学生推导球的体积公式

教师可以引导学生采用教材给出的方法,基于球的表面积公式推出球的体积公式。同时,可以引导学生继续运用推导球的表面积公式的方法:如图2,从下往上,第i个圆台的高为Rsiniπ2n-Rsin(i-1)π2n,因此体积Vi=π3R3siniπ2n-

sin(i-1)π2ncos2(i-1)π2n+cos(i-1)π2ncosiπ2n+

cos2iπ2n,体积和V=V1+V2+…+Vn;在GeoGebra软件中输入不同的n的值,计算V的表达式除以π3R3这一固定的公因式后的值,可以发现,当n不断增大时,算出的值不断趋近于2,从而可以猜想球的体积公式为V=4π3R3。

实际上,有了GeoGebra软件帮助处理具体计算,学生便不再有“是否易于求和”的顾虑,从而可以尝试更多的分割方法。比如,学生可以尝试采用如图3所示的“指向球心分割成若干个‘小锥体”的方法推出球的表面和体积公式——虽然列式麻烦一些,但是计算可以交给GeoGebra软件。

参考文献:

[1] 史宁中,王尚志.普通高中数学课程标准(2017年版)解读\[M\].北京:高等教育出版社,2018.

[2] 孙四周.还原祖冲之——我是如何在中学讲割圆术的\[J\].教育研究与评论,2016(6).

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