中日数学教科书中立体几何内容的比较研究

杨毅 张景斌 胡凤娟

【摘 要】 近年来各国都强调创新型人才培养，而立体几何内容对于锻炼学生空间想象能力、逻辑推理能力尤为重要.本文通过对中日两國数学教科书进行研究，发现我国教科书立体几何内容知识广度以及深度皆低于日本教科书，同时两国教科书的各自特点为：我国数学教科书在立体几何部分内容设置比较基础，偏重直观与逻辑且注重数学文化渗透;日本数学教科书在立体几何部分内容设置较深，重视数学活动，知识呈螺旋上升式的递进，小学、初中、高中过渡自然.

【关键词】 教科书;内容广度;内容深度;立体几何

1 问题提出

21世纪以来，日本无论是从诺贝尔获奖人数还是重大科研成果的产出，在全世界范围内都取得了令人瞩目的成绩，数学作为自然科学的基石，为日本科学的发展奠定了良好的基础.诚然，最新的PISA测试我国早早位居前列，但“钱学森之问”依然敲响了我国教育尤其是数学教育的警钟.如何对外开放，善于摄取他国教科书的优秀经验到我国的数学教科书中，将是未来面临的迫切选择.

现有研究关于中日两国数学教科书的比较以某一学段的具体内容为对象进行分析居多，如《中日高中数学教科书圆锥曲线内容的比较研究——以人教A版和东京版为例》[1]《中日初中数学教科书中“勾股定理”内容的比较》[2]《中日小学数学教科书中分数例题难度比较研究——以“人教版”和“东京版”为例》[3]等，贯穿小学、初中、高中数学课程的比较分析还有待完善.本文以“立体几何”为研究对象比较分析中日两国小学、初中、高中数学教科书的相应内容.中日两国数学教科书在“立体几何”部分都围绕着立体图形、空间中的点线面、空间向量三条主线展开，可见两国数学教科书有一定相同之处.

那么，中日两国“立体几何”存在哪些差异？产生这些差异的原因是什么？我们能从中汲取什么？本研究力图回答这些问题，以期在我国未来数学教科书中“立体几何”的完善和发展提供可借鉴之经验.

2 教科书内容比较

教科书是一套广义的知识体系，或智识体系，往往采取和运用多种形式来建构，如文字、图画、音符、表格、案例、实验、练习形式等[4].本研究中特指中小学数学教学的学生用书.

本文的研究对象是人民教育出版社2012年发行的小学及初中数学教科书、2019年发行的人教A版高中数学教科书与日本东京书籍株式会社2019年发行的小学算数教科书、启林馆出版的2019年开始使用的初中及高中数学教科书.

为了直观比较两国数学教科书中的“立体几何”，本部分将从广度和深度来研究两国的教科书内容设置差异.内容广度是指所涉及范围或领域的广泛程度[5]，通常可以用知识点进行测量;内容深度指课程内容需要达到的思维深度[6]，这里指对教科书知识点要求的高低.

2.1 知识广度

为了刻画两版教科书所涉及的知识广度，本部分从三个学段各自涉及到的知识点数量来进行评价（教科书中数学概念或数学命题算为一个知识点）[7].

2.1.1 定量分析

通过图1可知，我国教科书“立体几何”的知识点比日本教科书少22个.且从知识点分布来看，我国教科书中知识点数量从小学的16个下降到初中的5个，最后又激增的高中的33个，知识数量分布折线呈V字型;日本教科书中知识点数量从小学的15个平缓上涨到初中的19个，最后上升到高中的42个，知识数量分布呈现连续上涨的趋势.

2.1.2 各学段内容广度差异分析

小学阶段：

（1）中日两国小学数学教科书知识点数量大体相同，我国教科书比日本教科书多了三视图的应用、柱体切面以及柱体与锥体体积关系;日本教科书比我国教科书多了展开图的应用、立体图形要素、球的概念及元素.

（2）日本数学教科书在小学阶段设置的知识内容与我国不同，不仅仅让学生直观认识立体图形，还注重抽象上理解立体图形，为后面的学习打好基础.同时在这个阶段，两国处理知识的方式也不同，中国教科书偏向学生对于不同立体几何图形的综合性把握，故设置了“不同立体图形的关系”这一知识点;日本教科书则偏重深入理解某一具体立体几何图形，设置了“立体图形构成”、“立体图形的展开”等内容.造成上述差异的主要原因是我国小学教科书初探立体图形的定位在于观察，将“观察物体”作为学习立体图形章节的标题，而日本教科书有关于立体图形的章节标题更突出“做”字.

初中阶段：

（1）两国教科书在此阶段知识点数量相差较大，日本教科书已将立体图形的概念、性质以及度量呈现完毕，并且将空间中的线线、线面、面面之间的位置关系做了详细介绍.我国教科书“立体几何”在初中阶段呈现不多，主要分为两部分——立体图形、投影与视图，分布在两个年级.对于“立体图形”做了简单的梳理，将重点放在“投影与视图”，尤其是三视图、投影图与空间图形之间的联系.

（2）《中学校学习指导要领·数学篇》[8]（以下简称“初中要领”）强调空间中的直线与平面的位置关系，是研究空间图形的基础，也是分析空间图形必不可少的，在这一方面显然日本数学教科书做得更为详细且具体，由于《义务教育数学课程标准（2011年版）》[9]（以下简称“标准2011”）的安排，有关空间中的点、线、面的位置关系要在高中数学教科书中呈现.在“标准2011”要求下，我国教科书关于立体图形也并未在初中阶段做太多涉及.“初中要领”与“标准2011”要求的不同，造成了两国初中数学教科书在该阶段知识点数量上的巨大差异.

高中阶段：

（1）我国教科书将“立体图形”（6个知识点）、“空间中的点线面”（12个知识点）“空间向量”（15个知识点）依次呈现在教科书中，日本教科书由于已经在初中将“立体图形”总结完毕、故在高中阶段大体上只涉及“空间中的点线面”（5个知识点）、“空间向量”（19个知识点）.值得一提的是，在这个阶段日本涉及的知识内容要多于我国，例如增加了定积分求体积、三垂线定理、球面方程与平面方程、向量外积等.

（2）由于在初中阶段我国并没有详细介绍立体图形，例如柱体、锥体、球体等的性质及计量，所以在高中阶段，两国在基本立体图形方面所占比重不同（日本教科書已在初中阶段进行总结）.此外，在日本课程进度中，“空间中的点、线”已经在小学以及初中阶段有了初步呈现，高中则是在这个基础上进行深化，并且引入了一些如“三垂线定理”等的内容，我国由于仅仅在初中阶段教给学生一些初步概念，所以在高中阶段的教科书用将近50页的篇幅对“空间中的点线面”做了详细系统的阐释.

2.2 知识深度

根据上述公式，可以得到两国教科书“立体几何”内容深度（见表1）.

2.2.1 定量分析

由表1的统计表明，在中国和日本数学教科书“立体几何”内容中，A层次的知识点分别占各自知识点总数的9%和5%;B层次的知识点分别占28%和34%;C层次的知识点分别占59%和39%;D层次的知识点分别占4%和21%.

同时，日本教科书在A层次上的知识点较我国教科书少了4个百分点;在B层次，日本比我国多了6个百分点;在C层次比我国少了20个百分点;在D层次比我国多了17个百分点.

另外，日本数学教科书与我国数学教科书的知识深度加权平均分别为2.76和2.44，可见日本教科书在“立体几何”的知识深度要大于我国教科书.其原因是我国教科书大部分知识点的深度在C层次，更多要求学生以“掌握”为主;日本教科书在D水平的知识点占比要远远大于我国教科书.

2.2.2 各学段内容深度差异分析

小学阶段，中日教科书在“立体图形”的学习目标主要以A层次与B层次为主，在初步认识立体图形时以“了解”为主要目标，在进行立体图形表面积与体积的计算时以“理解”为主要目标.但日本教科书在基本立体图形的学习上会进行拓展延伸，例如在四年级下《位置的表示方法》一节中，除了让学生学习如何在平面上用坐标表示方位，还会将这部分内容与长方体联系起来，探究长方体的各个点的如何用坐标表示（涉及空间坐标），行为目标达到了C层次.

初中阶段，我国教科书把立体图形作为平面图形的延伸去呈现，将立体几何作为“几何图形”这一章的一部分，仅涉及三个知识点，行为目标在A层次;在九年级下册设置了“投影与视图”，行为目标在B层次.日本教科书则将立体几何作为独立的一章呈现，除了整理总结小学学习的各种基本立体图形，还将立体图形与平面图形紧密联系起来，展示了立体图形的动态形成过程，这部分内容需要学生有较强的空间观念以及综合分析能力，行为目标达到了D层次;除此之外，“直线与直线、平面与平面、直线与平面的关系”学习目标已经达到了C层次，即能掌握“平行与垂直”的位置关系.

高中阶段，日本教科书在立体图形的计量上增加了“积分法求体积”，且该部分的学习目标大都为D层次，例如在日本高中数学教科书《数学Ⅲ》[11]第六章第二节，关于定积分求体积公式的推导与《数学分析》[12]中相应内容并无太大差别，此部分内容深度较高，需要学生有较强的理解能力以及对知识进行证明、推导、灵活使用.此外，在空间向量部分，增加了“向量的外积”“球面方程”“平面方程”等知识点均要求较高层次的掌握.

3 研究结论与启示

3.1 结论

结论一：日本教科书“立体几何”的知识广度和深度都要大于我国教科书.

结论二：两国教科书立体几何内容各具特点.日本教科书立体几何内容与其他知识相互联系;小学、初中、高中具有衔接性;重视数学活动在教科书中的地位.我国数学教科书立体几何内容设置突出基础，偏重直观与逻辑且注重数学文化渗透.

3.2 启示

3.2.1 教师教学应重视课堂“活动”的作用

数学教学具有创造性的特征，这种创造性主要体现在数学教师对教材的创造性加工和对教学方法和教学手段的创造性运用[13]，教师应科学运用教科书，合理布置的课堂活动.学生能否学好数学关键在于是否对数学有兴趣，通过数学活动来提出生动具体的问题或者布置新奇有趣的实验，都能够调动学生在课堂学习的注意力，尤其是在“立体几何”的学习中，锻炼培养学生的空间想象能力或者是空间观念，宜设置以活动为导向的课程，日本立体几何课程给学生较多的使用空间语言和认识空间图形的实践活动，丰富了学生利用头脑感知空间图形的表象，进而形成较强的空间感知能力.因此教师在教学时，不应仅仅局限于知识内容的掌握情况，应该跳出知识本身的束缚，去探索如何以一种更有效的方式让学生接受知识.

3.2.2 教科书的编写应重视知识间的联系

数学知识尤其是立体几何知识是一个整体，所以教科书编写必须要考虑小学、初中、高中知识之间的过渡，将高年级要学习的内容以一种更恰当、更易接受的方式呈现给低年级学生，是教科书体现衔接性的重点;同时要兼顾引入的过程要联系之前所学习的内容，做到承前启后.数学学习是整体性的学习，如果仅仅将某一块内容放在某一学段学习，会造成学生的碎片化记忆，这不利于学生整体性思维的养成.如果学生在各阶段学习的内容都可以在低年级阶段找到“影子”，那么数学学习就变得“水到渠成”.

但知识之间的衔接要把握好“度”，教科书应避免给低学段的学生呈现不符合认知规律的知识，如何做到衔接自然，且符合学生原有的认知基础，是教科书编写要考虑的问题.

3.2.3 合理设计教科书深度与广度

石鸥在其书《教科书概论》写道：“教科书关系学生的发展，关系一代人的素养，关系民族文化的传承与创新，所以教科书编写是一件最具价值的工作.但与此同时，教科书编写又是一件难度极大的工作.”[4]因此，随着时代的发展，教科书应做到与时俱进，我们应清楚地认识到教科书总会带着一种时代的局限性.虽然教科书是按照课程标准严格编写，但课程标准仍是相对宏观的课程内容系统，没有办法具体操作，这就需要教科书编写具有一定的创新性.

在教科书知识广度与深度的设计上，我国教科书中“立体几何”的知识点分布的合理性有待进一步思考，小学、初中、高中知识点数量折线呈V字型，这也意味着初中阶段几乎无“立体几何”的知识，而高中阶段又显得知识数量过多，所以笔者建议可以考虑将高中一部分“立体几何”内容移至初中，充实初中阶段“立体几何”的学习.同时随着信息化时代的到来，学生的认知手段也日渐丰富，故在教科书知识深度的设计上，可拓宽知识发生与呈现的渠道，酌情加大难度，或者在教科书的拓展部分加入立体几何综合应用的内容.

4 结束语

自1979年第一次中日數学教育研讨会召开以来，中日数学教育交流已经进行了四十余年，正如铃木正彦所说“在改革开放后，中国的数学教育引入了现代化内容，但并不是单纯的模仿国外，而是根据国家目标，吸取过去的经验教训和国外优秀成果.因此，教科书重视现代数学思想，并以数学思想发展和人类认识规律为基础，编写了学生容易理解，具有逻辑性的教材.”[14]近几十年来，通过一代代教育工作者的努力，我们已经取得了一定成果，但还需要在现有基础上继续完善我们的工作，编制具有中国特色、符合时代特点的数学教科书。

参考文献

[1]王秀春，代钦.中日高中数学教科书圆锥曲线内容的比较研究—以人教A版和东京版为例[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2020（3）：117-124.

[2]张冬莉，代钦.中日初中数学教科书中“勾股定理”内容的比较[J].数学教学，2019（5）：5-10.

[3]尹梅，代钦.中日小学数学教科书中分数例题难度比较研究—以“人教版”和“东京版”为例[J].内蒙古师范大学学报（教育科学版），2019，32（3）：88-92.

[4]石鸥.教科书概论[M].广州：广东教育出版社，2019.

[5]王建波.中美澳三国初中教材统计内容的比较研究[M].上海：上海教育出版社，2016：36-37.

[6]宋丹丹，曹一鸣.高中数学课程标准中函数内容的国际比较研究[J].数学通报，2014，53（12）：1-7.

[7]孙成成，胡典顺.知识团视角下中美高中数学教材的比较研究[J].教学与管理，2017（3）：87-90.

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[9]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[10]李淑文，史宁中.中日两国初中几何课程内容的比较研究[J].全球教育展望，2012（1）：82-85.

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[12]华东师大数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[13]刘晓玫，等.中学数学教学研究[M].北京：教育科学出版社，2016.

[14]铃木正彦.实践性数学教育发展概论—以比较教育学观点考察第二次世界大战后的日本数学教育发展[M].北京：教育科学出版社，2006.

作者简介 杨毅（1997—），男，天津人，硕士研究生，研究方向：数学教育.