基于常见的几种辅助函数的构造方法的思考

吴凤娇

[摘           要]  在高等数学的学习中通常会遇到一些辅助函数的构造，如何根据题目的特点巧妙地构造辅助函数对解决问题十分重要。为了说明辅助函数的构造方法，从题目类型，通过分析有效的构造辅助函数以及在教学中的思考，提高学生的自主学习能力。

[关    键   词]  高等数学;辅助函数;教学

[中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0603（2021）31-0156-02

辅助函数的构造是数学学习中的难点之一。如何巧妙地构造辅助函数对解题有事半功倍的效果，这也考查了学生独立思考的能力，能否将“抽象”的问题通过某个式子联系起来。因此，在条件“不足”的情况下，我们只有根据题目的特点以及相应的关键词等重要信息，来指引学生往“特定”的方向去思考。另外，在遇到一些比较抽象复杂的证明题时，命题人主要想考查学生能否对问题进行独立的思考、能否从题目中提取出关键的信息。众所周知，数学题目可以千变万化，解题的方法也多种多样。而教师要做的是指导学生找到解决问题的突破口，这才是关键，教会他们一种解题思路、一种方法，也就是所谓的“授之以鱼，不如授之以渔”。所以，教师通过对典型例题的分析、讲解，让学生慢慢地体会、掌握此种方法，能做到举一反三。一旦方法掌握之后，不管题目怎样变化，学生都能做出来。所以，可以这样告诉学生，这些问题都是有“套路”的，让他们从心理上不再惧怕，不要遇到这种题目就直接放弃，要鼓励他们仔细、独立地分析题干，得出有用的信息。经过长期的训练、方法的积累，学生才能更加自信地解题，这样他们也能够制订清晰的目标。本文将根据以下几种题型，通过详细的分析、完整的解答，指引学生轻松构造辅助函数。

一、关于不等式的证明

不等式的证明是一个难点，也是学生最怕遇到的一种题型。但是如果我们掌握了其中的技巧——构造恰当的辅助函数，就变得简单了。通常不等式的证明方法主要是作差法，即将不等号右边的项移到左边，使得右边变成“0”。左边的“一堆”，我们可以把它看成一个函数，然后在此基础上研究此函数的单调性，最后得出的函数在给定区间上的“最值”和“0”比较，从而得出大小关系。掌握这种方法后，不论式子多么复杂，都可以朝这个方向去思考。

二、关于存在性的证明

存在性的证明，本文只给出某个方程在给定區间内至少有一实根或者证明至少存在一个点ξ在某个区间内满足一个关于的等式的证明方法。这类题目有共同的特点：内容比较简短，条件较少，通常是以抽象函数的形式给出。这也是学生最害怕的证明题之一，学生一般会选择放弃。虽然题目看起来比较“难”，但是摸清其中的门路后，其实一点也不难。这类问题考查的内容用到的原理比较固定，即零点存在定理。而用该定理来解决的话，有两个方面要注意：（1）要构造合适的辅助函数;（2）辅助函数构造完成后，需要验证所构造的函数是否满足零点存在定理的条件。满足这两个条件后，结论自然成立。下面我们先给出零点存在定理：

设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且满足f（a）f（b）<0，则至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0。

下面分别举出方程至少有一根的实例和至少存在一个点ξ在某个区间内满足一个关于的等式的证明的例子。

例2. 证明：方程x5-3x=1在（1，2）内至少有一实根。

分析：这是一道证明方程至少有一实根的问题。要证明方程至少有一实根，根据零点存在定理，我们首先构造出合适的辅助函数，然后再验证所构造的函数是满足该定理的条件。这类问题常用的方法就是将等号的右边移到左边来，使得右边为“0”，x5-3x-1=0，而左边的“一堆”就是我们所要构造的辅助函数。即令f（x）=x5-3x-1。

证明：令f（x）=x5-3x-1

则f（x）在[1，2]上连续。而f（1）=1-3-1=-3<0，f（2）=25-6-1=25>0，

于是f（1）f（2）<0。

由零点存在定理得，至少存在一点ξ∈（1，2），使得f（ξ）=0。

即ξ5-3ξ-1=0。

故方程x5-3x=1在（1，2）内至少有一实根。

例3.设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，且0

分析：这是一道证明至少存在一个点ξ在某个区间内满足一个关于ξ的等式的例子。题目中f（x）是抽象函数，想要用零点存在定理解决，需要构造满足该定理的“函数”。由于题目中只需找出ξ是存在的即可，所以，我们将问题一般化，即将结论中的ξ换成x，然后将等号右边的移到左边来。此时等号左边的就是我们要构造的辅助函数。

证明：令F（x）=f（x）-x

由于f（x）在闭区间[0，1]上连续，因此F（x）在闭区间[0，1]上连续，且F（0）=f（0）>0，F（1）=f（1）-1<0。

也即F（0）F（1）<0。

由零点存在定理得，至少存在一点ξ∈（0，1），使得F（ξ）=0。

即f（ξ）=ξ。

三、关于中值定理的应用

中值定理是高等数学微积分中的重要内容之一，它将函数与其导数联系了起来，也是导数的一种重要应用。中值定理的应用也比较广泛，主要应用于证明一些不等式以及根的存在性问题。要求学生必须掌握，也是在研究生考试中重点考查的知识点。而我们主要讲的是微分中值定理，它主要包含罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。关于其应用，难点在于怎样构造恰当的辅助函数。下面我们以罗尔定理的应用为例，详细说明辅助函数的构造。而罗尔定理的应用，一般情况是根据乘积求导公式（uv）′=u′v+uv′的逆用来构造辅助函数。下面我们列举几种常见的构造情形：