偏序集上的相对理想及其分解

刘小资，姜广浩，刘东明

（1.淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北235000；2.汕头大学 数学系，广东 汕头515063）

0 引言

无论是站在基础数学理论研究对整个数学领域研究具有的奠基作用的角度上看，还是站在计算机科学对整个人类现代文明进步的促进作用的角度上看，具有数学和计算机科学双重背景的Domain理论都是数学工作者以及计算机程序语言开发者所热衷的对象.也正是因为Domain理论可以跨学科跨分支研究的广泛性和交叉性，所以Domain理论一直是众多中外学者研究的热点［1-5］.作为Domain理论中最为重要概念之一的理想，它对于Domain理论的发展的意义不言而喻，对理想概念推广的研究工作是学者研究的热门课题.潘美林等［6-7］在偏序集上引入弱理想并对弱理想的性质进行研究，得到丰富的结果.文献［8］和文献［9］首次引入局部极大理想和滤子极大理想的概念.近年来，众多学者在这方面做深入研究和推广，并得到一些重要的研究成果［10-12］.作为对定向集这个经典概念的推广，文献［13］引入一致集和一致连续偏序集的概念.文献［14］利用相对的思想引入相对定向集的概念，随后作者更进一步探讨相对连续偏序集相关性质［15-16］.沿着一致集和相对定向集的这个研究思路，本文首先在偏序集上引入一致理想和相对理想的概念，研究它们的性质，讨论理想、相对理想和一致理想三者之间的关系.此外，在偏序集上引入局部极大相对理想的概念，并证明其存在性.最后，给出一个相对理想的分解定理.综合得到的各个结果可以看出，本文在偏序集上所定义的相对理想、极大相对理想以及局部极大相对理想不仅广泛存在而且性质丰富.

1 预备知识

设P为 偏 序 集，记↓X={y∈P:∃x∈X,y≤x}，↑X={y∈P:∃x∈X,x≤y}，↓x=↓{x},↑x=↑{x}.X⊆P，称X为下集当且仅当X=↓X；X为上集当且仅当X=↑X.设P为偏序集，X⊆P,X≠∅，若∀x,y∈X，∃z∈X使得x,y≤z，则称X是P的定向子集.

定义1［2］设P是偏序集，X⊆P，X为理想当且仅当X为既是下集又是定向集.记P所有的理想构成的集合为Idl(P).

定义2［2］设P为偏序集，若对于任意定向子集D，supD存在且supD∈D，则称偏序集P是定向完备的.简记为DCPO.

定义3［13］设P是偏序集，S⊆P，若∀x,y∈S，存在z∈P使得x≤z,y≤z，则称S为P的一致集.

定义4［14］设P是偏序集，S，T⊆P，S≠∅，T≠∅，若∀x,y∈S，存在t∈T，使得x≤t,y≤t，则称S为偏序集P相对于T的定向集.当T给定时，简称S为相对定向集.

设P为偏序集，集合T⊆P，T≠∅，记Ir(T)={↓S:S为相对于T的定向集}，U(T)={S:S为相对于T的定向集}.本文用“⊆”和“⊂”分别表示集合之间的包含关系和真包含关系.

2 相对理想与一致理想

定义5设P是偏序集，I，T⊆P，I≠∅，T≠∅，若I相对T定向且I为下集，则称I是偏序集P相对T的理想，当T给定时，简称I为相对理想.记RIdl(T)={I:I为相对T的理想}.

定义6设P为偏序集，任意I⊆P，若I为一致集且为下集，则称I为P上的一致理想.记UIdl(P)={I:I为P的一致理想}.

注1理想不一定是相对理想，相对理想也未必是理想.

注2理想必为一致理想，但一致理想未必为理想.

注3相对理想必为一致理想，但一致理想未必为相对理想.

例1如图1所示.设P={a,b,c,d,e,f}，令T={b,d,e,f}，I={c,d,e,f}，易证I既为相对理想，又为一致理想，但I不定向，故I不是理想.

图1 偏序集P的Hasse图

例2如图2所示.设Q=M⋃N，其中N=[0,1]⋃{a}⋃{b}，规定Q中的序：若∀x,y∈M，则x≤y当且仅当x=y；若x∈N,y∈M，则x≤y；若∀x,y∈N，则按图2中的序.令T=[0,1]⋃{b}，I=N，则I为一致理想，但I不为理想，且I也不为相对理想.

图2 偏序集Q的Hasse图

引理1［14］设P是偏序集，I,T⊆P,I≠∅,T≠∅，若I=T则I是相对定向集当且仅当I为定向集.

定理1设P是偏序集，I,T⊆P,I≠∅,T≠∅，若I=T,I∈RIdl(T)当且仅当I∈Idl(P).

证明设P是偏序集，I为下集，由引理1可得到，I相对T定向当且仅当T自身定向.故I为理想当且仅当I为相对理想.

引理2［14］设P是偏序集，I,T⊆P，T≠∅，若T=P，则I是相对定向集当且仅当I为一致集.

定理2设P是偏序集，I,T⊆P,I≠∅,T≠∅，若T=P，I∈RIdl(T)当且仅当I∈UIdl(P).

综合得到，理想、一致理想、相对理想三者的关系如图3所示.

图3 理想、相对理想和一致理想的关系

定理3设P为偏序集，T⊆P，T≠∅，则RIdl(T)=Ir(T).

证明任意取I∈RIdl(T)，即I相对T定向且I为下集，从而↓I=I，故I∈Iu(T)，所以RIdl(T)⊆Ir(T).任意取I∈Ir(T)，则存在S∈U(T)，使得I=↓S，从而I为下集.下证I相对T定向.任意 取x,y∈I=↓S，存 在a,b∈S使 得x≤a,y≤b，又S∈U(T)，进 而 存 在t∈T使 得a≤t,b≤t，即x≤t,y≤t，故I∈U(T)，所以I∈RIdl(T)，从而Ir(T)⊆RIdl(T).综上可得RIdl(T)=Ir(T).

定理4设P是偏序集，I，T⊆P，T≠∅，I为下集且I≠∅，若supI∈T，则I∈RIdl(T).

证明因I为下集，故只需要证I相对T定向.∀x,y∈I，有x≤supI∈T，y≤supI∈T，I相对T定向，所以I为相对T的理想.

由定理4立刻得到2个推论.

推论1设P是偏序集，∀x∈P，每个主理想↓x∈RIdl({x}).

推论2设P是含有最大元1的偏序集，∀S⊆P，S≠∅，若S为下集，则S∈RIdl({1}).

引理3［14］设P为偏序集，T⊆P，T≠∅，I1,I2∈U(T)，若T定向，则I1⋃I2∈U(T).

定理5设P为偏序集，T⊆P，T≠∅，若I1,I2∈RIdl(T)且T定向，则I1⋃I2∈RIdl(T).

证明设I1,I2∈RIdl(T)，则I1，I2为下集且I1,I2∈U(T)，从而I1⋃I2是下集，再由引理3得I1⋃I2∈U(T)，进而I1⋃I2∈RIdl(T).

定理6设P为偏序集，T⊆P，T≠∅，若Iλ∈RIdl(T)，λ∈Λ，Λ为任意指标集，若T定向，则

推论3设P为偏序集，T⊆P，T≠∅，若T定向，则RIdl(T)为并半格.

推论4设P为偏序集，若P定向，则UIdl(P)为并半格.

3 极大相对理想

定义7设P是偏序集，T⊆P,T≠∅，M∈RIdl(T)，若M在任意相对于T的理想中极大，则称M为P中相对于T的极大理想，当T给定时，简称极大相对理想.

下面定理说明极大相对理想的存在性.

定理7设P为偏序集，T⊆P，T≠∅，则必存在相对于T的极大理想.

证明设RIdl(T)={I:I为相对T的理想}，可见RIdl(T)为关于集合的包含关系”⊆”的一个偏序集.设RIdl(T)*为RIdl(T)的一个全序子集，令下证M∈RIdl(T).因I为相对T的理想，故I为下集，从而M为下集.另一方面，任意取x,y∈M，则存在I1,I2∈RIdl(T)*使得x∈I1,y∈I2，又因为RIdl(T)*是全序集，故有I1⊆I2或I2⊆I1成立.不妨设I1⊆I2，则x∈I2，又I2为相对T的理想，从而I2相对T定向，进而存在t∈T，使得x≤t,y≤t，即M相对T定向，故有M∈RIdl(T).由Zorn引理得，RIdl(T)必存在极大值，即偏序集P中必然存在相对于T的极大理想.

命题1每个极大相对理想都为一致理想.

定理8设P为偏序集，T⊆P，T≠∅，若T定向，则↓T∈RIdl(T)且为极大相对理想.

证明∀x,y∈↓T，存在a,b∈T，使得x≤a且y≤b，又T定向，故存在t∈T，使得a≤t且b≤t，从而↓T∈U(T).因↓T为下集，进而↓T∈RIdl(T).下证↓T是极大的.设∀I∈RIdl(T)，只需要证I⊆↓T.∀u∈I，存在u*∈T使得u≤u*，进而u∈↓u*，即u∈↓T，故I⊆↓T成立，从而↓T为P中的极大相对理想.

推论5设P为偏序集，∀x∈P，若T={x}，则↓x为极大相对理想.

证明由推论1得,↓x∈RIdl({x})，∀I∈RIdl({x})，则I⊆↓x.事实上，若I⊈↓x，则存在a∈I，使得a∉↓x，从而a≰x，由I∈U({x})知，a≤x矛盾.

推论6设P为偏序集，若I∈UIdl(P)，则I为相对自身的极大理想.

4 局部极大相对理想

定义8设M是偏序集P的真相对理想，如果存在元素x∈PM，使得M在不含x的所有相对理想中极大（x∉M⊇I蕴涵M=I），则称M是P的关于元素x的极大相对理想，简称偏序集上的局部极大相对理想.

注4偏序集上的极大相对理想都是局部极大相对理想，但反之未必成立.

例3如图1所示，在偏序集P中，{c,e,f}，{d,e,f}是P的相对T={c,d,e,f}的极大理想，且分别是关于点b和a的极大相对理想；但是{f}是P的关于点e的极大相对理想，却不是极大相对理想；而{e,f}既不是极大相对理想，又不是局部极大相对理想.

下面定理说明局部极大相对理想的存在性.

定理9对偏序集P的真相对理想I及任意元素x∈PI，必存在关于x的极大相对理想M，使得x∉M⊇I.

证明设α={J:J}是L的真相对理想，且x∉J⊇I.由条件可得，I∈α，故α≠∅，且α是关于包含关系“⊆”的偏序集.设β是α的任一全序子集，令下面证明C∈α.一方面，设a,b∈C，则存在J1,J2∈β使a∈J1,b∈J2.但β是α的任一全序子集，故J1⊆J2或J2⊆J1.不妨设J1⊆J2，那么，a∈J2.因为J2是L的真相对理想，不妨设J2是相对于P的子集T的理想，从而存在t∈T，使得a≤t,b≤t，故C为相对定向集.又C为下集，由定义5可知，C是L的相对理想.易知，x∉C⊇I，故C∈α.由Zorn引理，α中必有极大元.该极大元就是满足要求的关于x的极大相对理想.

5 相对理想的分解

定理10设P是偏序集，则其每一个真相对理想都可以表示成若干个相对局部极大相对理想的交.

证明设I是P的真相对理想，那么对于任意的x∈PI，由前面定理9，它都存在关于x的极大相对理想Mx，从而使x∉Mx⊇I.令，下面只要证明I=J即可.任意取y∈PI，因为y∉My，则，即PI⊆PJ.于 是J⊆I，又 因 为I⊆J，所 以I=J，所 以

定理10不但给出偏序集中相对理想的分解，而且还可以由此得到局部极大相对理想的又一等价条件.

推论7设P是偏序集，并且I是P的真相对理想，那么I是P的局部极大相对理想当且仅当对于任意多个相对理想Iα（α∈Γ），如果，那么必存在α0∈Γ，使得I=Iα0.

证明必要性.设I是P的关于元素x的相对极大理想，并且，所以必然存在α0∈Γ，使得x∉Iα0⊇I，但是I是P的关于元素x的相对极大理想，则I=Iα0

充分性.假设I不是P的局部极大相对理想，则由定理9可以知，I能表示为局部极大相对理想的交，用公式表示在这里Mx(x∈PI)是P的局部极大相对理想，但是I不是P的局部极大相对理想.对于任意的x∈PI,I≠Mx，而这与前面的已知条件必存在x0∈Γ，使得I=Mx0相矛盾，所以I是P的局部极大相对理想.

定义9设P是偏序集，如果P的相对理想不存在无限升（降）链：I1⊂I2⊂I3⊂…(I1⊃I2⊃I3⊃…)，则称P满足相对理想升（降）链条件.

定理11在满足相对理想降链条件的偏序集P中，每个真相对理想可以表示成为有限个局部极大相对理想的交.

证明假设存在真相对理想I，不能表示成有限个局部极大相对理想的交，取x1∈PI，由定理9，必存在关于x1的极大相对理想Mx1，使得x1∉Mx1⊇I.令N1=Mx1，那么由假设知，N1⊃I.又取x2∈N1I，那么再由定理9，必存在关于x2的极大相对理想Mx2，使x2∉Mx2⊇I.令N2=N1⋂Mx2，那么N2⊇I，再由假设知，N2⊃I，并且由x2∈N1,x2∉N2知，N1⊃N2.因为I不能表示成有限个极大相对理想的交，以上做法可以无限重复下去，所以得到一个严格无限降链N1⊃N2⊃N3⊃…，矛盾.

注5从上面的讨论可以得出，偏序集上的局部极大相对理想不仅具有良好性质，而且能够给出偏序集上的相对理想分解定理.