从“真问题”出发，寻找教学的“另一种可能”

储冬生

摘要：教学《负数的初步认识》一课，尝试直面学生的真实起点，充分暴露学生的思维过程，从他们的真实问题、思维障碍出发，努力让学习真正发生，让学生成为课堂的主人，并彰显对话的特质，凸显负数的本质;同时，融入对“温度计素材怎么用”“数轴内容怎么教”“有关的数学史怎么评价”“正负号的数学规定怎么理解”等问题的思考，由此寻找教学的“另一种可能”。

关键词：《负数的初步认识》;认知起点;思维过程;学生主体;数学本质

《负数的初步认识》一课，很多名师都有过精彩的演绎。备课过程中，我学习了十多个典型的课例。我发现，很多课例都把学生的认知起点设为未知，试图在教师的“引导”下逐步揭示负数的概念。事实上，学生在课前就对负数有不少的了解，于是，他们只能在课上“懂装不懂”地“配合”老师。

面对这种状况，我尝试直面学生的真实起点，充分暴露学生的思维过程，从他们的真实问题、思维障碍出发，努力让学习真正发生，让学生成为课堂的主人，并彰显对话的特质，凸显负数的本质;同时，特别关注教学主线之外的一些素材与内容，由此寻找教学的“另一种可能”。

一、教学过程

（一）揭题：把握起点

师孩子们，在过去的学习和生活中，你看到过或者听说过负数吗？

生我在温度计上看见过，有-10 ℃和-20 ℃。

（掌声。）

生我在地下停车场看到过，电梯上面有-1层、-2层。

生我看到有一些会员卡扣钱的时候，就会显示负多少钱。

生我在资料上看到，吐鲁番盆地的海拔也是一个负数。

生欠款的时候也是负数。

生介绍角度的时候，比如，往上调是+10°，往下调就是-5°。

……

师知道得真多！大家觉得，你们说得这么好，老师开心吗？

生不开心。

师为什么？

生因为我们都会讲啊。

（笑声。）

师太了解我了！我辛辛苦苦从江苏跑到广东来给你们上课，想带大家一起认识负数，结果大家好像都已经认识了，今天的课还怎么上呢？

生走程序啊！

（笑声。）

生继续学，更深入地学。

生做点关于负数的题目。

生假装不知道，再上一次。

（笑声。）

生换个老师再上一次。

（笑声。）

师分析大家给的这些建议，我觉得有两个是真心为我考虑的：一个是可以更深入地了解负数，一个是可以做一些关于负数的练习。好，我们的课就从一个小练习开始，一起更深入地了解负数。

[设计意图：引入新课的这段谈话，帮助学生调取有关负数的已有经验，为接下来的学习做好准备。关于这节课应该怎么上的讨论，激活了学生的学习动力，也为后面学习方式的选择做好铺垫，让师生形成初步共识。]

（二）分类：了解形式

师（在黑板上贴上10张数字卡片）大家都已经认识负数了，你能把这些数中的负数快速挑出来吗？谁来试一试？

（一位学生上黑板挑选，结果如图1所示。）

师你挑完了为什么盯着老师看？你应该看看同学们有什么反应。

生（上黑板的学生）你们同意我的意见吗？有什么想问我的吗？

生为什么你认为这些数都是负数呢？

师问得好！

（掌声。）

生（上黑板的学生）因为它们前面都有减号。

生不对，这个叫作负号。

师沒上学的时候，它就叫“横线”;后来学了加减法，它就叫“减号”了;从今天开始，它写在负数的前面时，我们就叫它“负号”。会读这些负数吗？大家一起读一读。

（学生齐读。）

师孩子们，事物往往是一分为二的，有负数就有正数，谁能把这些数中的正数也挑出来？

（一位学生上黑板挑出数字卡片：+48、+5、+3。）

师你们有不同的意见吗？

（另一位学生挑出数字卡片：+48、+5、+3、12、106。）

生（先上黑板的学生）带有负号的是负数，带有正号的就是正数。

生（后上黑板的学生）其实这些都是正数，因为正数前面的正号可以省略不写，所以这些数虽然看起来有一些不一样，但是其实都是正数。

师正数前面的正号可以省略不写，12就是+12，106就是+106。掌声鼓励一下两位“小老师”。一上课，你们就告诉我认识负数了，通过刚才这一段讨论，大家的认识有没有更深入一些呢？

生更深入了。

师不仅是负数，我们对正数的认识也更全面了。

[设计意图：这里，基于学生的认知起点，进一步梳理了学生对负数形式的认识，尤其是基本的读法、写法等。学生的学习由真实的认知冲突开始，在自主的讨论和交流中完成。另外，对负数的学习，也进一步加深了学生对正数的认识，使得学习的过程真正成为一个深化认识的过程。]

（三）表征：明晰意义

师其实，认识一个数不能只是从形式上认识它，更重要的是理解它表达的意思。就以-2为例，你知道-2到底代表什么意思吗？我们一起来看大屏幕，大家自己试一试。

（课件出示：“请大家以-2为例，用自己看到的例子，以自己喜欢的方式，在白纸上表示出它的意义。你可以画图、列式、写话……”学生尝试表达自己理解的-2的含义。）

师我们一起来欣赏几位同学的作品。

生我的想法是，在电梯里会看到-2层，这个-2就表示地下2层，比如停车场在-1、-2层。

师老师回家也会按电梯，我按的是2，你们知道老师家住几层吗？

生地上2层。

师他说明白了，老师就不重复了。

生5-7=-2，7比5多2，5比7少2，5减去7不够，所以是-2。

生试卷上面的-2，可以直接表示扣2分。

生银行卡里支出2元钱，就是-2元，收入是正的，支出就是负的。

生温度零下2度就是-2 ℃，如果是零上，就是正的。

师大家太厉害了！现在回头来看这里，（指着板书记录的学生对-2的理解，如图2所示）大家又有什么发现呢？

生每一组都是相反的。

师都是相反的，除此之外，大家还有什么想说的？

生正数和负数是相对的，0就像一条分隔线，分开了正数和负数，上面有一个正数，下面就有一个对应的负数。

师我刚才看到有同学画了温度计，我这儿也带来了一个。（课件出示图3）要确定温度是零上或者是零下，哪个点最重要？

生0最重要。

师刚才有同学说，0在这里是分隔线，简单地说，就是起分界的作用。那我们以前碰到过0吗？

生我们学数数的时候，就数过0，那时0表示没有的意思。

生后来我们学测量的时候，拿尺子量东西，尺子开头也有0，这个0表示开始。

师今天这里的0又有了一个新的作用，就是同学们刚才讲的“起分界的作用”。现在我想再问一下：你觉得这会儿你对负数的认识比刚上课的时候有进步吗？

生有进步。

[设计意图：这个环节的教学主要是帮助学生建构负数的意义，真正理解“意义相反”的内涵。首先让学生基于已有经验实现自主建构，然后让学生在集体讨论中深化认识、提炼要点。而关于0的讨论，进一步明晰0的意义和作用，凸显了0对于负数意义建构的独特价值所在。]

（四）排序：深化理解

师你们更厉害了！我想再问一个问题：你们能把黑板上的这些数按照从小到大的顺序排一下吗？

（一位学生上黑板排序，结果如图4所示。）

生（上黑板的学生）大家同意我的排列吗？有什么问题想问我吗？

生你为什么这样排呢？

生（上黑板的学生）因为负数要比正数小，而且负数减得越多，就越小。所以减得最多的，就是最小的，也就是-13，接着到-9，到-5，再到-3，到-2，然后剩下的就是3、5、12、48、106，就可以了。

（掌声。）

生我就是不明白为什么-13比-9还要小呢？

生（上黑板的学生）因为负数是负得越多反而越小的，你明白吗？

生是不是-2离正数更近一些，所以它更大？

师-13比-2小，有人受不了，你有什么辦法能让他更真切地感受到-13比-2小呢？

生看温度就知道了，-2 ℃和-13 ℃哪个更冷？-2 ℃更接近0 ℃，所以更暖和，-13 ℃离得远，所以更冷。越往上就越热。

生（上黑板的学生）负数和正数不一样，因为意义相反，所以负号后面跟的数字越大，那么这个负数就越小。

生0就像一个对称轴，负数和正数在对称轴的两边，分别对称。

师同学们，到这里为止，今天要学的内容就差不多了，但是还有两个数，老师一直没拿出来。（出示数字卡片）这个0可以放进去吗？放在哪呢？

（一位学生上黑板尝试。）

师这个0算正数还是负数呢？

生它既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线。

（掌声。）

师看来，有时候事物还能一分为三呢！还有一个数，我不知道它是多少，（将括号卡片放在黑板上的-9和-5之间）但我想它应该放在这个位置上。你知道括号里的这个数可能是多少吗？

生我觉得可能是-6、-7、-8。

师只有这三种可能吗？

生也可能是-8.5。

师-8.5可以吗？如果-8.5可以，-8.55可以吗？

生（齐）也可以。

师那这里可能填多少个不同的数呢？

生（齐）无数个。

师今天这节课的研究，我们一直是以整数为例的，实际上负数也有负的小数。就像刚才大家说的那样，正数、负数和0就像轴对称图形，既然有正的小数，就有负的小数与它“对称”。0就像对称轴，所以它既不能算正数，也不能算负数。（将括号卡片放在黑板上的-13前面）如果我把这个数放在-13的前面，它有可能是多少？有多少种可能？

生有无数个，都比-13小。

师（将括号卡片放在黑板上的106后面）如果移到这里，放在106的后面，它又可能是多少？有多少种可能？

生有无数个，都比106大。

师这一排数既没有最小的起点，也没有最大的终点，但有一个重要的分界点，就是0，所有的负数都比0小，所有的正数都比0大。这就是今天老师跟大家一起进一步研究的——认识负数。你们觉得认识负数难吗？

生不难。

师虽然现在看，负数并不难，但人类认识负数的过程却是曲折的。（课件出示图5、图6）中国人虽然较早提出负数的概念，但是一直没有能够很好地用一种数学符号来表示它。（课件出示图7）直到400多年前，法国数学家吉拉尔首次用正负号来表示正负数。

[设计意图：通过对负数大小的辨析，学生突破已有认知，深化对负数意义的理解。以温度为例，帮助学生在收获知识的同时，也获得学习方法的积累。通过数学史料的介绍，进一步拓宽学生的视野，也给学生一种文化的熏陶。]

（五）练习：拓展外延

（教师出示练习1，见图8。）

1.填空：一个人的体重增加1.2千克记作+1.2千克，那么体重减轻0.5千克记作（）千克;向东走10米记作（）米，那么向西走14米记作（）米。

生体重增加1.2千克记作+1.2千克，那么，体重减轻0.5千克记作-0.5千克;向东走10米记作+10米，那么向西走14米记作-14米。

师我想问一个问题：如果我将向东走10米记作-10米，向西走14米记作+14米，可以吗？

生可以。

师体重的增加和减少通常是固定的，增加为正，减少为负。但是，方向的向东和向西可以根据研究问题的需要，灵活地确定谁为正，谁为负。

（教师出示练习2，见图9。）

2.辨析：你认为有可能，则打“√”;你认为不可能，则打“”。

（1）某地的海拔为-155米。（）

（2）我的手机话费余额为-15.45元。（）

（3）体育老师将小明的身高表示为-3厘米。（）

师第一小题，某地的海拔为-155米，可能吗？

生我觉得有可能，因为这里的-155米应该是指低于海平面155米，吐鲁番盆地就低于海平面155米。

师（课件出示图10）有时候，不说话真的比说话还厉害，你看到这幅图，就更清晰了。第二小题，我的手机话费余额为-15.45元，可能吗？

生我认为，手机话费余额为-15.45元，其实就是欠费了，欠了15.45元。

师在学习负数之前，我们看到余额，心里就开心，但是从现在开始，我们就要多留个心眼，看看余额到底是多少，如果是负的，其实就是欠钱了。知识越来越多，我们看问题的深度也会不一样。第三小题，体育老师把小明的身高记成了-3厘米，有可能吗？

生不行，这就相当于一点高度都没有了。

生不可能。

生有可能，可能是对整个班的平均身高而言，如果平均身高为150厘米，小明的身高是147厘米。

师看看小帅哥说的有没有道理。（课件出示图11）明白体育老师什么意思了吗？

（学生点头，并发出惊叹声。）

师你们的“哦”是什么意思？

生全国11周岁儿童身高的正常范围是140厘米到160厘米，小明的身高是157厘米，他比正常范围的最高值160厘米少3厘米。

师所以就记成了-3，这里是以160厘米为标准的。把人的身高记成负的，有人心里觉得不舒服，你能把这位同学的身高记成一个正数吗？

生以140厘米为标准，记为+17厘米。

师同样是小明的身高，怎么一会儿正，一会儿负？这不乱了吗？

生那是因为参考的标准不一样，+17厘米是以140厘米为标准的，-3厘米是以160厘米为标准的。标准不同，记录的结果就不同啊！

（掌聲。）

生就以地平面为标准，直接记作157厘米，也可以的。

师所以，负数表示的量的多少，不能只看数值，还得关注标准。我有一个梦想：如果能以姚明的身高为标准，把我记成-3厘米，那该多好！ -3不一定就是很少、很矮，也可能很多、很高呢！关键看标准。

[设计意图：这里的两组练习，第一组重在基础，第二组重在拓展，体现了一种特有的层次性。此外，这两组练习将前面的新授教学中没有充分关注的典型问题做了补充说明，从而进一步帮助学生完善已有认知，形成新的知识结构，也彰显出一种特有的针对性，具有查漏补缺的功能。]

（六）回顾：提炼总结

师孩子们，最后我再给大家提一个问题：你能用最简洁的语言说说负数是怎样的数吗？只说一句话。

生负数是比0小的数。

师（板书：大小）从大小看，负数是比零小的数。

生负数是不稳定的数

师它为什么会不稳定？

生负数是基于一个特定标准的数。

（教师板书：不稳定。）

生负数和正数意义相反。

师（板书：意义）从意义看，它是和正数意义相反的数。

生负数是重要的数，因为如果没有负数的话，很多意思就表达不出来了。

生负数是带有负号的数。

师（板书：样子）如果你们能这样从样子、大小、意义、标准等角度去思考，我觉得你们对负数的认识就真的比刚上课的时候厉害了。现在，你们觉得认识负数了吗？

生认识。

师但是，我要遗憾地告诉你，今天还只是初步认识，以后还要花很长的时间去研究它。对于事物的认识真的是可以不断深入的。

[设计意图：利用一个开放的问题引导学生回顾全课，然后根据学生的回答，及时提炼要点、形成板书，是一个有效的课堂总结方法。这里，利用这一方法，帮助学生从形式、数量、意义和标准等角度对负数的知识做了比较全面的建构。]

二、教学思考

（一）对整节课教学路径与方法的思考

本节课整体的教学思路是，从学生的“真问题”出发，引发“真探究”，收获“真成长”。由此引出了以下几点思考：

1.如何基于学生的真实起点展开教学？

基于学生的真实起点展开教学，首先是意识和观念的问题。只有基于学生的真实起点展开教学，才能让学生的学习真实发生;否则，学生的学习要么重复而无效，要么脱节而难懂。就像挠痒或止痛要作用在正确的部位才能起到应有的效果一样，教学也要针对学生学习的“痒处”和“痛点”。学生常常都不是以“一张白纸”的状态进入课堂的，因此，教师不能简单地假设学生“不懂”，而要设法了解学生的真实起点。本节课，我的第一个问题是：“你在哪儿看到过或者听说过负数？”这个问题就是试图了解学生的已有经验，从而基于学生的真实起点展开教学。然后，要尽可能地将学生已经知道的和能够解决的交给学生自己处理，要充分利用学生之间的差异化资源，教在学生还不知道和不能解决的地方。

2.如何充分暴露学生的思维过程？

只有充分暴露学生的思维过程，才能更好地把握学生的真实起点，尤其是分析出学生思维障碍的症结所在（学习的“痒处”和“痛点”）。如何充分暴露学生的思维过程？首先要有一个容错的环境，让学生能够坦然地说出“我不懂”。但是，很多时候，学生只是知道自己不懂，却不能说清楚自己是哪里不懂——因为明白的人都是相似的，而不明白的人常常各有各的困惑。所以，教师还需要提供一些素材或任务作为载体或抓手，让学生充分暴露自己的思维过程。本节课，我设计了12张卡片，让学生分类、排序等，就是想通过外显的活动将学生的思维障碍呈现出来，从而让后续的学习更加聚焦。在将正、负数分类的环节，学生对正数认识的纠结充分暴露;而在将正、负数排序的环节，学生对负数大小判断的矛盾心理一览无遗……为什么可以清晰地看到学生的问题？这些卡片就是暴露学生思维过程的重要载体。

3.如何让学生真正成为学习的主人？

新课改背景下，很多教师都知道要让学生成为学习的主人，但又常常做不到。问题的症结在于我们缺乏有效的实施策略，又担心教学沦落为“放羊”。对此，我以为，教学应当从“学以备用”逐步走向“以用带学”。所谓“学以备用”，指的是教学中，教师常常会有一种潜意识，要尽快把学生教会，然后让他们运用所学知识解决问题。为了尽快把学生教会，教师通常会扮演最厉害的、最权威的角色，这时，学生要成为学习的主人就显得比较困难了。所以，我们要逐渐树立“以用带学”的观念：给学生一些基本的理念、核心的思想，然后让他们运用这些看似粗糙的、不周密的认识去探索、去尝试。这时，学生会遭遇一些问题，很自然地就需要合作、讨论、求助、争辩……在这个过程中逐渐成了学习的主人。为什么要教一些基本的、核心的东西？因为教学必须聚焦这些关键要素。为什么只能教一点点？因为教学需要留足学生探究的空间。也就是说，学生既不可能探究自己完全不知道的东西，也不可能探究那些完全知道的东西，探究一定发生在知与不知之间。本节课，我就尝试让学生“以用带学”：了解了学生已有的知识经验后，就开始让他们运用这些认识解决问题，在运用中不断深化认识。

4.如何进一步凸显数学概念的本质？

概念内涵是对事物本质的抽象。数学概念教学要凸显数学概念的本质，引导学生透过现象看到本质所在，这是显而易见的道理。数学教师在教学中通常是重视数学本质的，甚至有些过于强调数学本质，让数学失去了起码的生活气息和文化气息。那么，如何恰当地关注数学概念的本质呢？人们常说，掌握了本质才可能“举一反三”，反过来，“举一反三”似乎也成了掌握本质的显性标志之一。对此，我想说的是，从结果导向的角度看，凸显本质需要聚焦“举一反三”能力的培养;但是从过程导向的角度看，凸显本质不必急于“举一反三”，“举一反三”的前提应该是“举三反一”。只有经历“举三反一”的过程提炼出来的“一”（数学本质）才更具有生长性，教学首先应该凸显这个由“三”提炼出“一”的过程。本节课，我引导学生先呈现负数在电梯、算式、账单、温度等诸多情境中的意义，再提炼“与正数意义相反”这个本质，目的就是让学生在充分感知的基础上建构概念。有了充分的、具体而直观的经验作为支撑，学生才能真正建构意义相反的概念，才能运用这种观念分析和解决问题。如果在简单呈现之后就急于要求学生“举一反三”，学生的学习很可能停留在机械模仿、生搬硬套的层次上，很难形成真正意义上的理解。

（二）对部分相关教学素材与内容的思考

本节课核心的教学内容当然是负数的形式、意义、外延、内涵等，它们属于教学的主线。除此之外，我还对一些相关的教学素材与内容做了思考，由此寻找教学的“另一种可能”。

1.“温度计”这个素材怎么使用？

常用的几个版本的教材都将温度计作为引入负数的第一个素材。使用温度计的好处显而易见：其上正数、负数、0都有，似乎就是一个数轴的雏形。但是，从理解负数意义的角度看，温度计作为第一个素材是否合适，还值得讨论。负数本质上表达的是与正数意义相反的量。然而，温度计上的意义相反却是“人造”的：人们先规定了正常大气压下淡水结冰的温度为0 ℃，然后才有了高于0 ℃为正，低于0 ℃为负。所以，教学中经常有学生（常常是那些爱琢磨的学生）纳闷：倘若不对0 ℃做这样特殊的规定，不就不需要负数了吗？从学生理解意义相反这个角度看，温度计不一定是揭示负数意义的首选素材。在教学中，从一些自然状态下的意义相反进入，或许更利于学生理解意义相反的内涵。这也是本节课中，学生自主探索后，我有意先呈现电梯的地下层、算式的不够减、银行卡的付款等素材，最后才呈现温度计这个素材的原因所在。这里，我使用温度计这个素材，重点是帮助学生理解0的意义和作用。可见，教学中素材的使用可以进一步甄别和讨论，而面对学生的自主探究活动，教师的主导作用常常就是通过这样的“选材”和“立序”来实现的。

2.“数轴”这个内容怎么教学？

研究这部分教材内容时，经常有教师会问：在这里，数轴要不要教、能不能教？之所以这样问，是因为这个内容似乎到初中才正式接触。对此，我的观点是：不能简单地回答“要教”或“不要教”、“能教”或“不能教”，问题的关键是为什么教，通过什么样的方式教。如果目的是明确的，方式是恰当的，那就可以教。本节课，我看似没有教数轴，其实通过贴在黑板上的那一串数（如图4所示），再加前后的省略号，差不多已经将数轴的相关要素都表达出来了。记得布鲁纳曾说过，任何学科都能够用在智育上正确的方式，有效地教给任何发展阶段的任何儿童。我想，这也是我想要表达的——关键是要找到与学生同频率的方式。

3.“中国是最早认识和使用负数的国家”这一史实怎么评价？

苏教版教材在这部分内容后的《你知道吗》栏目中，介绍了一些相关史料，其中明确指出：“中国是最早认识和使用负数的国家。”很多教师在介绍这段史料时，都想充分激发学生的民族自豪感，这是可以理解的。但是，过于强调这一点，如通过这段描述来说明我们的民族是最智慧的，那就值得商榷了。其实，我们可以更辩证、更全面、更客观地看待这段历史，分析这段史料。西方早期不认可负数存在的合理性与他们对“负负得正”算理的理解、对方程“负根”的认识等紧密相关，这种不认可不能简单地被认为是落后。而我们较早认可负数存在的合理性可能与两方面的文化因素有关：一是我们的数学研究重视实用，只要对生产实践有帮助，我们就容易认同;二是我们的文化特别崇尚对称，有了正数，再来一个负数，我们也容易接受。由此，我们要传递给学生一种更理性的民族自豪感，不能簡单、片面地肯定或否定。

4.“正号可以省略，而负号不可以省略”这一规定怎么理解？

之前的一次教学中，我说：“正数的正号可以省略。”一个学生提问：“负数的负号能不能省略呢？”我的回答是：“那不行，这样正、负数就混淆了。”学生的反应让我措手不及：“那正数的正号不省略，负数的负号省略，可以吗？”我无奈地说：“好像都可以啊，但是前人早就规定了……”后来，询问身边的同事，很多人都说：“还是省略正号合理，因为数学是求简的，正号有两笔，而负号只有一笔。”当我咨询一位大学老师时，他的回答让我很受启发：“从形式上看，的确是省略正号或负号都可以，但是从生活的角度来分析，我们就会发现省略正号是一种更智慧的选择。试想一下，倘若选择了省略负号，而不省略正号，我们的生活会是什么样呢？虽然给了一个规则，可以省略负号，但是平时基本上享受不到这个‘优惠。生活中处处都有正数，我们就得不断书写正号。”有了这样的认识，我想，再有学生问我这个问题的话，我可以很好地说服他了。遗憾的是，本节课，没有学生提出这个问题，所以，我也没有专门陈述这个观点。我始终觉得，教师要充分备课，但不是备到的就一定要在课上讲出来。课堂的容量毕竟是有限的，教学还是要聚焦重难点，突出主题。有些问题，学生提出来了，我们要能够直面;学生不提，我们还要能够忍住不讲。从某种意义上看，一课一得，足矣。