应用几何画板进行立体几何的探究

欧贺宏

摘 要：本文是由一道截面问题的立几题引出，运用几何画板探究并发现了一个普遍的结论：所有平行于平行六面体底面对角线的截面中，当截面经过侧棱中点时，所得截面面积最大。

关键词：正方体;长方体;平行六面体;截面;棱中点;移动点

立体几何要求学生具备较强的空间感和想象能力，尤其当立几中出现“动态”问题时，就更为复杂;利用几何画板，通过动静结合的交互演示，不但可以使立几学起来变得更直观，而且还可以探究疑难问题。

一、问题初探：一道立几题的启示

首先，我们来看一道经常出现在高中数学中的立几题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求在所有平行于平面ACD1的截面中，截面面积何时最大？

解：如图1，当截面交于DD1边时，可知截面为一正三角形，此时显然△MNP的面积比△AD1C的面积小。当截面交于边BB1时，此时，截得的平面图形为一正三角形，且其面积比△AD1C面积小。当截面交于AA1时，截面为一六边形，下面来求其面积.

设ED1=a，AA1=L，可求得EJ=FG=IH=a，

EF=IJ=HJ=（L-a）

图1如图2，作出其平面图形，易证得EF与JI

所成角为60°，△EOJ≌△ENJ≌△FLG，

四边形LGHI为平行四边形

∴S六边形EJIHGF=S△OFI+S平行四边形LGHI=（L）2+

（L-a）×a=

∴当a=时，有Smax=L2，即当点F为棱AA1的中点时，截得的平面图形的面积最大。

所以，在正方体中，所有平行于体对角面的截面中，当截在棱的中点处时，所得的截面面积最大。

二、问题的进一步探究：

猜想1：在正方体中能得出这样的结论，那么在长方体中是否也有这样的结论？

下面，笔者利用几何画板作为研究工具来探讨这一猜想：

如图3，当截面截于棱DD1，BB1时，截面为三角形，显然面积不是最大。

可以用几何画板来讨论截面截于棱AA1时的面积，下面是操作过程：

（1）利用几何画板作出一长方体，连接D一、，AC，CD1，A1C1，C1B

（2）在棱AA1上任取一点F，过F作FG∥A1B交AB于G，过G作GH∥AC交BC于H，过H作HM∥BC1交CC1于M，过M作MN∥CD1交C1D1于N，过N作NE∥A1C1交A1D1于E，连EF，并且隐藏直线FG，GH，HM，MN，EN，并用线段分别连结E，F，G，H，M，N，E点，通过计算出六边形各边的长度和各个夹角，作出一个正对着的六边形O1O2O3O4O5O6

（3）AA1取的中点O，并作出由F→O的移动按钮。

拖动F点，使截面位置不断变化，截得的图形非常直观，我们容易发现六边形面积显然大于三角形ACD1的面积，在拖动F点的过程中，当F向O点靠近时，六边形面积变大，到O点时面积最大，而这时的面积与双击移动按钮所得的六边形面积一样大。（证明见平行六面体的证明）

猜想2：在一般平行六面体中的情况又是怎样呢？

我们同样借助几何畫板来研究。作法同上：拖动F点观察六边形的面积变化，可以看出当F在Q点时面积最大，此时的面积与双击按钮时多边形的面积相等.

证明：如图5，设D1K=x，A1D1=a，AD1=m，CD1=n，AA1=c，A1B1=b，∠OQP=φ，A1K=a-x，由△A1KE∽△A1D一、得，EK=（a-x），由△A1KE∽△D1KQ得QK=。同理，利用相似三角形知识可求得：QK=EO=HG=，QI=EF=HP=，EA=HC=QD1=，OQ=m（1+），PQ=n（1+），

当截面截于AA1时：

S（X）=

当截于DD1或BB1时：S（x）=mt·ntsinφ，t为一比例系数0≤t≤1

∴当，即x=a时，有S（X）max=

同样，在平行六面体中，用平行于体对角面的平面去截平行六面体，当截面经过棱的中点时，所得的截面图形的面积最大。

三、问题的深入探讨：

猜想3：若截面平行于底面对角线时，情况又是怎样？

作法：

①.如图6，作出平行六面体ABCD-A1B1C1D1，并且有的线段要用直线代替，在棱AA1上取一点F，在棱DD1上取一点I。

②.仿上例作出一平行于面A1C1I的截面FGHJKE。

③.拖动F点，作出不同的截面XYZ，截面EFXJK，截面FGHJKE，截面RFGHJ，截面RSW，并且作出其多边形内部，并用不同的颜色涂色，选中R、F、S、G，作其多边形内部，并涂色。

④.度量出上面的多边形的面积，取AA1的中点V，作一由F→V的移动按钮。

拖动F点，可以发现当V与F重合时面积最大;变化I点的位置，再拖动F点会出现截面是平行四边形RFSJ的情况，同样是在中点处的截面面积最大。同时笔者进一步发现，无论F如何变化，平行四边形RFSJ的大小形状一直保持不变，可以看出所求的截面面积，就是平行四边形RFSJ夹在平行六面体ABCD-A1B1C1D1内部的面积，下面笔者利用这一发现来证明之。

证明：如图7，由于上下底面的距离不变，所以EK与GH之间的距离不变，

设RP=m，EK=a，FJ=b，RC=h，OB=n，则m+n=C（常数），由三角形相似可知OB=a，

∴S（X）=S平行四边形RFOJ-（S△REK+S△OHG）=bh-（ma+an）

=bh-a（m+）=bh-a≤bh-=bh-，

当且仅当m=n时，等号成立时，即R、O分别到上下底面的距离相等，此时点F为AA1的中点.

∴当c≠0时，截面为五边形或六边形，S（x）=bh-;截面为三角形时，S（X）=t·bh（0≤t≤）。

当c=0时，截面为平形四边形，S（X）=bh.，此时点F在一段以V为中点的线段上移动均可得到一完整的平形四边形，面积最大。

以上就是笔者运用几何画板得出的结论：所有平行于平行六面体底面对角线的截面中，当截面经过侧棱中点时，所得截面面积最大。

参考文献

[1]几何画板（软件），3.05版.人民教育出版社，1996.

[2]几何画板参考手册.全国中小学计算机教育研究中心，1998，10.

[3]戴佳珉、蔡纶.中学数学CAI教学软件的现状与思考.数学通报，1997，1.

[4]陶维林.学习《几何画板》积极开展数学CAI的研究.数学通报，2000，4.