同体积长方体棱长及表面积变化规律

刘代云

在小学数学中，时常会遇到判断同体积长方体表面积大小的问题.例如，用12个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体，拼得的这个长方体表面积是多少？解答这一问题的关键在于搞清楚当长方体体积一定时，其表面积随棱长变化的规律.否则，就很容易误认为只要遮住最大的面，表面积就最小，于是得出：新长方体长5厘米、宽4厘米、高3厘米×12=36厘米；表面积（5×4+4×36+36×5）×2=688（平方厘米）.

粗略一看，这好像没什么问题，但事实并非如此！要使拼得的长方体表面积最小，只考虑被遮住的面大还不行，必须同时考虑被遮住的面要尽量多.这样，问题就变得复杂起来，而且用于拼组的长方体个数越多情况就越复杂.倘若学生没有这方面的知识和经验，解决此类问题是非常难的.那么，我们应该如何去引导学生，使其知道所拼长方体表面积随棱长变化的规律，从而让该问题化难为易呢？现就此问题探讨如下.

假设某长方体体积为a3，则其长、宽、高与棱长总和及表面积将分别有以下几种不同情况.

因为体积a3是一定的，4a及2a2为定值，所以影响长方体棱长总和及表面积大小的关键在于“n+k+1nk，nk+1n+1k，n+1n+1，2n+1n2，n2+2n”这5个式子的值的大小.不难看出，这5个关键式子的值是随n值与k值的变化而变化的.那么，n与k的值又是怎样影响其大小的呢？

假设，当n与k各自分别增加p和s（p>0，s>0），则以上5种情形下影响长方体棱长总和及表面积大小的5个关键式子的值与原来相比，所起变化分别如下.

（1）在n+k+1nk中，

（n+p）+（k+s）+1（n+p）（k+s）-n+k+1nk

=（n+p）+（k+s）-（n+k）+1（n+p）（k+s）-1nk

=（p+s）-1nk-1（n+p）（k+s）

=（p+s）-（n+p）（k+s）-nknk（n+p）（k+s）

=（p+s）-nk+pk+ns+ps-nknk（n+p）（k+s）

=（p+s）-pk+ns+psnk（n+p）（k+s）

=（p+s）-pknk（n+p）（k+s）+s（n+p）nk（n+p）（k+s）

=（p+s）-pn（n+p）（k+s）+snk（k+s）

>0.

這表明：随着n值与k值的增加，n+k+1nk的值也在增加.

（2）在nk+1n+1k中，

（n+p）（k+s）+1n+p+1k+s-nk+1n+1k

=（n+p）（k+s）-nk+1n+p+1k+s-1n-1k

=nk+pk+ns+ps-nk-1n-1n+p+1k-1k+s

=pk+ns+ps-n+p-nn（n+p）+k+s-kk（k+s）

=pk+ns+ps-pn（n+p）+sk（k+s）

>0.

这表明：随着n值与k值的增加，nk+1n+1k的值也在增加.

（3）在n+1n+1中，

（n+p）+1n+p+1-n+1n+1

=（n+p）+1n+p-n+1n

=n+p-n+1n+p-1n

=p-1n-1n+p

=p-n+p-nn（n+p）

=p-pn（n+p）

>0.

这表明：随着n值的增加，n+1n+1的值还是一样在增加.

（4）在2n+1n2中，

2（n+p）+1（n+p）2-2n+1n2

=2n+2p-2n+1（n+p）2-1n2

=2p-1n2-1（n+p）2

=2p-（n+p）2-n2n2（n+p）2

=2p-2np+p2n2（n+p）2

=2p-2n+pn2（n+p）2×p

=2p-nn2（n+p）2+n+pn2（n+p）2×p

=2p-1n（n+p）2+1n2（n+p）×p

>0.

这表明：随着n值的增加，2n+1n2的值照样在不断增加.

（5）在n2+2n中，

（n+p）2+2n+p-n2+2n

=（n+p）2-n2+2n+p-2n

=2np+p2-2n-2n+p

=2np+p2-2n+2p-2nn（n+p）

=2np+p2-2pn（n+p）

>0.

这表明：随着n值的增加，n2+2n的值仍然在不断增加.

综上所述，随着n值与k值的增加，影响长方体棱长总和及表面积大小的那5个关键式子的值都会越来越大；反之，便都会越来越小.而n与k的值越小就代表其形状越接近正方体.这就是说，当长方体体积一定时，其形状越接近正方体，它的棱长总和与表面积就越小.至此，本文开头所述题目即可解答如下.

分析 因所拼长方体的体积是原长方体体积的12倍，所以新长方体的长、宽、高分别相当于原长方体的长、宽、高各扩大了12的因数倍.又由于原长方体长、宽、高本身很接近，故，12应该是三个比较接近的因数的积.

解答 ① 求所拼长方体的长、宽、高.

12=2×2×3.

长：5厘米×2=10厘米；

宽：4厘米×2=8厘米；

高：3厘米×3=9厘米.

因为新长方体的长、宽、高要尽量接近，所以12的较小的因数应该与原长方体较长的棱长相乘；较大的因数应该与原长方体较短的棱长相乘.

② 求所拼长方体的表面积.

（10×8+8×9+9×10）×2

=（80+72+90）×2

=242×2

=484（cm2）.

答：所得到的这个长方体的表面积是484 cm2.

这里还有一个关键，就是必须明白12不一定就是2，2，3这三个因数的积.譬如，若原题变为“用12个长10厘米、宽6厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最小的长方体，得到的这个长方体的表面积是多少？”

这样，原长方体长、宽、高本身不是很接近，为了让新长方体的长、宽、高尽量接近，12就不应该是2，2，3这三个因数的积了，必须做相应的调整.具体解答如下.

① 求所拼长方体的长、宽、高.

12=1×2×6.

长：10厘米×1=10厘米；

宽：6厘米×2=12厘米；

高：1厘米×6=6厘米.

② 求所拼长方体的表面积.

（10×12+12×6+6×10）×2

=（120+72+60）×2

=252×2

=504（cm2）.

答：所得到的这个长方体的表面积是504 cm2.

注意：长方体体积一定时，其形状越接近正方体，棱长总和与表面积越小，这并不意味着棱长总和越小，表面积就一定会越小.例如，甲、乙两长方体长、宽、高分别是12厘米、10厘米、1厘米和20厘米、3厘米、2厘米.其棱长总和是甲小乙大，而表面积则是甲大乙小.endprint