新教材“数学探究”活动的教学实践与思考

【关键词】数学探究;教学策略;核心素养

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）54-0131-03

【作者简介】周洁，江苏省常州高級中学（江苏常州，213000）教师，高级教师。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程。数学探究活动是一项综合实践活动，也是高中阶段数学课程的重要内容之一，其一般步骤是：发现并提出有探究价值的数学问题;对有可能的数学结论进行合理的猜测;提出解决问题的思路或具体方案;运用所学的数学知识，通过自主探索或合作研究等方式，对提出的数学结论加以论证。

研读新课标和新教材，可以理出三条线索——“数学文化”“数学探究”“数学建模”，它们既是贯通新教材的三条“暗线”，又是学生活动的三条“明线”。在新苏教版教材中，正文部分的“探究”，习题部分的“探究·拓展”，章节末的“问题与探究”，为学生提供了丰富的探究素材。在新人教A版教材中，同样在正文部分穿插了“探究”，在习题部分安排了“拓广探索”，部分章节后设置了“探究与发现”栏目，引导学生独立思考、自主探究、合作交流。笔者在一次活动中以“用向量法研究三角形的性质”为题进行了数学探究专题课的教学实践，这里试作记述，以供参考。

一、学情与教材分析

听讲本课的学生来自一所普通高中新课程新教材实施国家级示范校，学生有扎实的学业基础和较强的学习能力，具备数学探究的积极性和主动性。

本节课所用教材为新人教A版必修第二册第六章“平面向量及其应用”，教材在章末以专题形式设置了3课时的“数学探究”专题活动，本课例为其中的第1课时。

三角形是最重要最基本的几何图形之一，三角形的性质非常丰富，是联系各种几何图形的纽带，也是培养逻辑推理能力、发展理性思维的最佳载体之一。初中阶段，学生研究过三角形的一些基本性质，但还不够深入。本章所学的向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义，因此以三角形为研究对象，用向量法对它的性质进行再研究，可以使学生在已有知识的基础上，更系统地掌握三角形的性质，同时加深理解向量法在研究几何问题中的作用，并且在这个过程中，使学生对“数学探究”活动形成较为完整的体验。

二、教学目标

发展学生的数学核心素养是高中数学教学的导向，本节课教学目标的设置正是基于这一理念。通过创设合适的教学情境来启发学生思考，引导学生从特殊到一般，归纳方法，把握本质。具体可分为以下三点：

①通过用向量法证明平面几何中已学的三角形的性质，体验向量法在证明几何图形性质中的作用;

②通过用向量法研究三角形性质的过程，归纳出用向量法研究几何问题的一般步骤，体会数形结合的数学思想;

③通过用向量法对三角形其他性质的探究，体会探究活动的价值、合作交流的意义，进一步培养学生的逻辑表达能力，提升直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学核心素养。

三、主要教学环节

课间播放3分钟自制小视频“勾股定理的证明”。

1.小试牛刀。

课前播放的小视频中，我们欣赏了古今中外证明勾股定理的各种方法，结合本节课的课题“用向量法研究三角形的性质”，你会用向量法证明勾股定理吗？（学生口答）

【设计意图】三角形是平面几何中最常见的图形之一，其中最特殊的要数直角三角形，从学生熟悉的话题出发，营造轻松的探究范围。用向量法证明勾股定理，只用到了向量的加法运算和数量积运算，学生可以初步体会到教材上的一句话——“有了运算，向量的力量无限”——的含义。

直角三角形中还有一些常用性质，例如：射影定理，斜边中线定理等，你能用向量法证明吗？

学生自主完成后，请代表上台对照实物投影讲解。

还记得用初中平面几何的方法怎样证明这两个定理吗？相比而言，你觉得向量法有没有优越性？

【设计意图】聚焦直角三角形，用向量法证明直角三角形中常用性质，对比初中证法，向量法无需添加辅助线，不需要太多定理的支撑，只要通过计算，就能得到结论，体会向量法在证明几何图形性质中的作用，激发学生探究的兴趣。

2.温故知新。

这样的例子其实我们接触了不少呢，请大家快速浏览教材第7-46页的例题和习题，找一找哪些例子也能体现用向量法研究三角形性质的优越性。请你结合课本的例题、习题，谈一谈向量法在证明几何图形性质中的作用。

【设计意图】向量是数形结合的完美载体，我们所学的各种向量运算都有相应的几何意义。例如：向量的加、减法运算遵循平行四边形法则、三角形法则，可以和平行四边形、三角形建立联系;数乘向量运算可以与直线的平行、线段的比例、图形的相似建立联系;向量的数量积运算可以与两点间距离、夹角等建立密切的联系。用“找一找”“议一议”的方式，引导学生思考在证明三角形性质的过程中用到了向量的哪些运算，各种运算的主要作用是什么。学生具有更多的选择权、自主权是探究活动区别于接受式学习的重要特点，学生从被动到主动，从跟着老师的思路走向自主选择、自主思考、自主探究，并在此基础上进行合作与交流，获得能力的提升。

思考：向量方法的意义何在？从这些例子中，你能总结用向量法研究几何问题的步骤吗？

在学生发言的基础上概括用向量方法研究几何问题的步骤：（1）转化，即用向量表示几何图形中的几何元素，如点、线段、夹角等，将平面几何问题转化为向量问题，建立“形”与“数”之间的联系;（2）运算，即通过向量运算，结合运算的几何意义，研究几何元素之间的关系;（3）翻译，即用向量运算的结果解释几何图形中的关系，得到相应几何问题的结论。

【设计意图】由于向量能够运算，因而它可以把原本较为复杂的思辨过程转化为较为直接的运算过程，降低了思考问题的难度。通过用向量法研究三角形性质的过程，掌握用向量法研究几何问题的一般方法，体会数形结合的数学思想。提升学生的数学素养，不是一句空洞的口号，而是要落实在具体的教学过程中。在数学探究活动中，学生需要充分调用已有的数学知识和方法，独立自主地建构知识体系，才能解决问题，对学生的直觉思维能力、理性思维能力的提升都有非常积极的作用。

3.巩固提升。

新人教A版第52页复习巩固第2题关注的是三角形外心、重心、垂心的向量表示。让我们聚焦三角形的“心”，我们知道垂心是三条高的交点，重心是三条中线的交点，外心是三条边的中垂线的交点，如果在同一个三角形中作出它的垂心、重心、外心，你有什么想法？

三角形的外心、重心、垂心三点共线，且重心到垂心的距离是重心到外心距离的两倍。这一观点是1765年莱昂哈德·欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出的，这条直线被后人称为三角形的欧拉线。

嘗试证明：在三角形ABC中，垂心H，重心G，外心O三点共线，且HG=2GO。

【设计意图】除了用向量方法对已证的结论进行证明，我们还可以用向量方法证明以往未加证明或自己新发现的结论。在进行数学研究时，站在新的高度或从新的角度重新审视研究对象，选择新的工具或新的方法再研究，往往可以加深对研究对象的认识，甚至可以有新的发现。在探究活动中，我们要鼓励学生克服惯性思维，乐于接受新的挑战，以持之以恒的探究精神，获得积极的情感体验，形成科学的思维方式。

4.课后探究。

布置探究作业：用向量法研究三角形的性质。方式：独立探究、小组合作。成果展示：撰写研究报告，现场汇报答辩。具体要求参看课本第65-66页。

【设计意图】鼓励学生利用课余时间开展数学探究活动，其过程包括提出数学问题、解决数学问题、得到相关结论、总结反思改进。课题研究能有效激发学生的创造潜力，对培养学生的探究意识和探究能力有着积极的作用。

四、案例反思与启示

数学家波利亚指出，学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。新教材为我们提供了丰富的开展数学探究活动的素材，如能用好这些素材，精心设计适合学生的数学探究活动，不仅能够激发学生的学习兴趣，还能培养学生的思维能力，而且对培养学生的创新意识，提升数学核心素养会起到积极有效的作用。

1.精选探究问题，引领探究活动。

作为探究载体的问题来源可以有多种途径，既可以利用现有的资源，如教科书、教学参考书、专业网站等，由教师筛选、设计、提供，还可以是动态的生成性的问题，如学生在生活或学习中提出的问题，解决已有问题后提出的拓展性问题等。教师常常以问题串的形式引领学生的探究活动，问题串的设计要有一点的难度和梯度，要有思维含量。

2.创造探究条件，指导探究方法。

除了课堂上的探究，还可以适当利用“综合实践活动”的课时，或结合学生的研究性学习，鼓励学生利用课余时间开展数学探究活动。在学生开展探究活动时，教师要注意了解学生活动的进展，并在发现值得研究的数学问题、建构探究的思路、形成解题的方法等方面加强指导。课余指导学生调用不同的数学知识解决问题，通过对问题的拓展、推广等，发现更多的数学问题，获得更多的数学结论。对于初次进行数学探究课题研究的学生，教师应在选题、开题、做题、结题等各环节进行较为具体的指导。

3.多元探究评价，巩固探究成果。

对于学生的数学探究活动，无论是评价的主体还是评价的角度都应是多元的。首先，要引导学生自我评价，尤其是对探究过程的反思与评价。其次，可以引导同伴间相互评价，通过交流与分享，修正、改进、完善探究的成果。通过多元的探究评价，可以使学生积累探究活动的经验，学会如何提出观点，如何发表意见，如何开展团队合作，从而培养学生的探究能力和数学素养，并激励学生以更加饱满的热情投入到新的数学探究活动中，提升探究效果，巩固探究成果。

【参考文献】

[1]师爱芬，张强.数学探究活动的教学策略[J].教育实践与研究，2019（26）：54-56.

[2]陈利利，张曜光.“用向量法研究三角形的性质”教学设计、教学反思与点评[J].中学数学教学参考，2020（13）：24-30.