聚焦核心概念，让方法的教学“有根”

于萍 刘克臣

【摘 要】“分数和小数的互化”一课通常不是教师心目中的“大课”，一方面它不属于概念的起始课，另一方面从掌握方法的角度看其内涵并不复杂。甚至在有的版本教材中并没有安排特定的例题，而是“藏”在练习中一带而过。本文通过“课前思考”系统分析了这节课的内容价值，在“课中实践”部分，翔实反映实施效果，最后以“课后评析”促实践者再思考，呈现了一个“聚焦核心概念进行方法教学”案例研究的全过程。

【关键词】核心概念 沟通联系 数学素养

一、课前思考

思考一：上一节“技能课”还是“概念课”？

立足单元整体目标分析，本课的教学重点不应仅是探索分数和小数互化的方法，让学生掌握技能，更要对“分数和小数为什么互化”“互化背后的本质是什么”等问题进行深入探究，让本课从单纯的“技能课”转向“概念课”，更好地聚焦核心概念，让方法的教学因深刻而灵动。

思考二：除了掌握方法，还有哪些价值？

突出用联系的眼光看问题——理解“同”。小数的本质是十进分数，因此和分数有着密切的联系。“小数的初步认识”及“小数的意义”的教学内容都是借助分数认识小数。此后，因其十进计数的特征，使得小数的运算与整数运算方法一脉相承，而分数的运算方法则与其有显著差异。形象地说，初识小数时，它和分数的关系十分紧密;在此后较长时间的学习中，二者却相对独立;在“分数和小数的互化”一课中它们再一次“密切接触”。应让学生把握分数和小数相同的本质，进而理解各自运算方法的相通。通过互化，让分数和小数可在彼此的世界里“畅通无阻”，实现运算方法、运算定律的有效推广。

突出用对比的方法想问题——感受“异”。我们要帮助学生感受分数和小数各有各的特点和价值，这种独特性表现为：分数具有简洁而精准的应用特点，但由于它的分数单位可以是任意的，因此其大小不容易被感知。而小数具有应用广泛和近似的特点，且采用十进位值制计数法，其大小更容易被感知。此外，分数除了可以表示具体数量，还能够清晰、简洁地表达两个量之间的关系。

二、课中实践

（一）问题引入

1.提问

师：这节课我们来研究“分数和小数的互化”（板书课题），你理解“互化”这个词的意思吗？

生：就是互相转化的意思。

师：你有什么问题或想法吗？

生1：分数和小数能不能转化？

生2：分数和小数怎么互化？

生3：分数和小数为什么要互化？什么情况下互化？

2.追问

师：既然是“互化”，你能试着将第一个问题问得更具体些吗？

生：分数怎样转化为小数？小数怎样转化成分数？

师：很多时候，我们思考问题、研究问题，就是要通过这样的追问，让问题变得更具体、更清晰。

师（小结）：前两个问题提得很好，第三个问题提得更好。一说学习“分数和小数的互化”，大家比较容易想到“怎么互化”这种指向方法的问题，但能够想到“为什么要互化”的同学，思考得更深刻。好问题往往是好研究的开始。这节课我们就围绕同学们提出的这些问题展开讨论。

设计意图：学起于思，思起于疑。用课题引导学生主动思考“学什么”和“为什么学”，这两个问题分别指向方法和价值。教师要抓住机会培养学生的问题意识。

（二）探究方法

1.算一算，感受联系

师：有一根3m长的丝线，如果将它平均分成4份，每份有多长呢？试着列式解决这个问题。

（生列式并汇报计算结果，根据除法与分数的关系可以得到分数结果;根据小数除法的计算方法也可以算出小数结果）

[板书：3÷4=0.75（m），3÷4=3/4（m）]

师：同一个除法算式，计算的结果既可以是个小数，还可以是个分数。你能得出什么合理的推论吗？

生（异口同声）：0.75=3/4或3/4=0.75。

师（小结）：看来小数和分数之间的确有密切的联系，只有在相等的情况下才能够相互转化。

设计意图：调动已有的认知经验，通过推理发现分数和小数的联系，明确“转化”的前提是“相等”。

2.想一想，探寻方法

尝试解决下面的问题：

（1）活动要求：先独立完成，再小组4人交流研究成果，最后提出问题或总结方法。

（2）作品反馈：

方法一：

师：你能看懂这名同学的方法吗？这个方法的价值是什么？

生：将分数和小数比较的问题转化成了整数间的比较，這个方法很好。

方法二：

师：这种方法你能看懂吗？这样做的道理是什么？

生：将分数化成小数，再比较两个小数的大小。

师：他是如何将分数转化成小数的？

生：用分子除以分母。

（师板书分数转化小数的方法）

方法三：

师：这种做法你能看懂吗？这样做的道理又是什么？

生：将小数化成分数，再比大小。

师：你认为在这个方法中哪个数的出现很关键？

生（异口同声）：4 /5 。

师：怎么就想到这个分数了呢？

生：一位小数就是十分之几，两位小数就是百分之几……所以0.8就是4/5 。

师：你能试着概括一下将小数转化成分数的方法吗？

生：先根据小数部分的位数，直接写成十分之几、百分之几、千分之几……的分数，再化简。

师（小结）：我们对小数很熟悉，丰富的经验让我们把一位小数和十分之几、两位小数和百分之几、三位小数和千分之几……之间建立起紧密的联系。现在，这些经验帮助我们解决了新的问题，看来找到分数和小数之间的联系是进行相互转化的关键。

设计意图：在解决问题过程中，学生充分调动已有的认知经验，将新问题转化为旧问题。方法虽不相同，但都是先统一形式再进行比较。学生通过调动已有认知经验，探索出了分数和小数互化的方法。

3.练一练，巩固方法

师：经过刚才的交流，大家对分数和小数之间的互化方法有所了解。接下来，请按要求做一做下面两道练习题，并分别说说方法，看看你有什么新发现或新问题。

1.将下面的小数化成分数。

0.70.060.125

2.将下面的分数化成小数。

31 —100  31 —10 11 —4  1 —3

学生对练习题1的反馈：

0.7=7 —10

0.06=6 —100 =3 —50

0.125=125 —1000 =1 —8

学生对练习题2的反馈：

31 —100=0.31       31 —10 =3.1

11 —4  =1.251  —3  ≈0.3

生：循环小数或无限不循环小数怎么转化成分数？

师：这个问题非常有价值。我们要有全面思考的意识，既然要探讨分数和小数的互化方法，就要将小数的各种类型都考虑到，不能只想到常见的小数类型。关于这类小数如何转化成分数，谁能说说自己的猜测？

生：我猜想可以一位一位地转化，最后统起来。

师：你的想法很有道理，化整为零，逐位突破也许是种有效的方法。看来大家对“无限”的情况都很好奇，就像浩瀚无垠的星空，因为“看不到边，望不到头”，所以总是深深地吸引着人们不断地去发现。数学的无限有很多，也同样吸引着我们去研究。一节课中，我们难以解决所有的问题。但这类情况却可以引发我们深入思考。刚才总结的方法为什么不能转化无限小数呢？难在了哪儿？

生：因为无限小数的小数部分有无数位，无法确定分数的分母，也就是无法确定分数单位。

师：可见，在将小数转化成分数的时候，最关键的是什么？

生（齐）：确定计数单位。

师：你们真是善于透过现象看本质。你们认为分数和小数之间的互化，“化”的是什么？

生：转化的就是计（分）数单位。

师（小结）：同学们紧紧抓住了小数与分数的联系、分数与除法的联系，找到了二者相互转化的方法，还理解了方法背后的道理。

设计意图：练习中涉及各种类型的分数和小数，既巩固基本方法，也促进学生主动思考。每个数的转化都离不开计数单位，这种认识在无限小数面前被“放大”，学生自然而然地想到“怎么将无限小数转化为分数”。面对这个问题，理解“为什么”比习得“怎么做”更有价值，教师通过“难在了哪儿”的追问，促进学生理解数概念的本质。

（三）感受价值

师：大家通过努力找到了分数和小数互化的方法，你们就像是分数和小数的翻译家。从此，分数在小数的世界里可以“加减乘除”，小数也可以在分数的世界中“畅通无阻”了。你们想过吗，什么时候该互化呢？

生：不是总要互化的，只在需要的时候才互化。

师：这里有两条信息，请你按下面要求做。

生：“信息一”中，1 27/50米转化成小数是1.54米。将身高转化成小数后，更清楚，光看分数都不知道亮亮到底有多高，变成小数就更有感觉了。

师：就是因为小数的计数单位都是十分之几、百分之几、千分之几……这样有规律的，所以我们才会对小数有种“很熟悉”“很清楚”的感觉。那么，分数的单位是怎样的呢？

生1：是各种各样的，任何非0整数都可以作分母。

生2：“信息二”中的分數不需要化成小数，因为生活中没有听说过“0.125决赛”“0.25决赛”或“0.5决赛”，太别扭了。

生3：化成小数后也听不出有多少人参加比赛、胜出多少了。

师：看来分数也有自己的优势，它不仅能表示数量，还能清晰地表达量与量之间的关系。

设计意图：结合生活，学生在阅读中理解数据的含义，互化后再进行对比，感受分数与小数各自的特点，以此深化对数特征的理解。

三、课后评析

随着学生一起经历了心潮澎湃的课堂学习全过程后，内心迸发出一种惊喜：枯木逢春。为何有这样的感受呢？

课也是有生命的，用心思考、精心设计、巧妙实施，课堂就会焕发出生机。一节大家公认“已经没有研究价值”的“死课”被于老师重新设计、精彩演绎，重新焕发了生命力。

（一）“枯”于技能

技能作为一种程序性知识，熟练程度更多依靠训练量的多少。多少年来，“分数与小数的互化”一课被视为一种技能课，学生只需掌握转化的方法即可，应用也多局限于数学内部的比较、分数和小数的混合运算等。因此，教师对于此内容的教学更多的是采取强化训练，目的是使学生熟练掌握转化的方法。

（二）“发”于概念

概念相对于技能的内涵更加丰富，概念需要建立、理解、运用，需要从内涵和外延的角度全方位建立概念系统。就像于老师在“课前思考”中提到的，小数和分数通过互化，可以在彼此的世界里“畅通无阻”。这样的思考将教学的重点引向对分数和小数的本质的关注，看似是在研究方法，本质是在促进学生对两种数的深刻理解和认识。此时，互化变成打通两数世界的桥梁。

（三）“长”于价值

学生有时 “十分可爱”，那就是教师讲什么就听什么、让做什么就做什么。他们内心真的满足了吗？未必！关于分数和小数的互化，他们的内心始终有这样一个疑问：分数和小数的互化就是为了比较大小和计算吗？不光学生有这样的疑问，教师内心深处也会有这样的疑问存在。于老师关注到了、想到了，关键是努力解决了。课结尾的活动，真正让学生感受到分数和小数互化的价值。课到此，眼前犹如看到了一棵树的根不断扎向泥土深处，正在发芽、结果，这不就是我们想要的课堂吗？

枯木逢春，希望有越来越多的课焕发出青春，让学生在茂密的数学森林中漫步、寻根、赏花、摘果！