数学建模在初中教学中的应用举例

张志强

摘 要：随着课程改革的深入开展及新课标的颁布，数学教学也由注重学生的学习结果向关注学生的活动转变，教师应倡导学生主动学习、自主探索、合作探究、体会数学再发现的过程，新课标对学生提出了数学学习的总体目标，其中数学六大核心素养之一“数学建模”就很好地诠释了“运用数学的思维方式去观察和分析现实社会”这一理念。笔者从用数学建模解决实际问题、通过典型建模考题的解读促使学生形成数学建模意识、对数学再建模归纳出优秀的解题模型，解决同系列多层次的数学问题、数学再建模进行精准命题等四个方面举例谈谈数学建模在初中教学实践中的应用。

关键词：数学建模;初中;教学

一、 解决实际问题——初中数学建模意识形成的主阵地

在初中数学范围内针对实际问题可以建立的数学模型有：数与式模型、方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等。也就是说，在实际情境中的现实问题用数学语言来描述，从而形成了含有一定的数学已知条件，及一个或几个需要解决的数学问题的命题。这是数学建模最为关键的一步，把实际问题转化成了纯数学问题来解决。下面以人教版九年级数学下册中数学实践活动——学校旗杆高度的测量为例，谈谈利用数学实践活动培养学生的数学建模理念的一些方法。

【建立模型一】其实，本实践活动最早在八年级学习勾股定理时就涉及了，利用升旗用的绳子，先沿旗杆拉直到旗杆底部，测出多出部分绳子的长度a米，再将整条绳子拉直到与升旗台等高处，测量该处与旗杆的距离b米，这时建立了一个直角三角形的模型，已知一直角边的长（BC=b）及斜边与另一直角边的长度差（AC-AB=a），求直角边的长。

问题解决：设AB=x米，根据勾股定理，AB2+BC2=AC2，则x2+b2=（x+a）2，解方程可求得旗杆AB的高度。

【建立模型二】利用相似的知识及阳光是平行光，构建相似模型，在同一时刻的阳光下，取一支1m长的标杆，垂直地面放置在阳光下，分别测出标杆的影长a米与旗杆的影长b米。

问题解决：由于同一时刻实物与影长比相等，得1a=xb，解方程可求得旗杆AB的高度。

【建立模型三】利用平面镜反射的入射角等于反射角原理，建立相似三角形模型，将一平面镜放置在人与旗杆之间，测量出镜子与旗杆的距离a米、人与镜子的距离b米、人的目高c米。

问题解决：利用有两角对应相等的三角形相似的判定，相似三角形对应边成比例得ab=xc，解方程可求得旗杆AB的高度。

【建立模型四】利用相似三角形的预备定理，建立相似三角形模型，准备2支标杆与皮尺，分别为1米长与1.2米长，然后将2支标杆与旗杆放置在同一水平面上且在同一直線上，测量出两支标杆的距离a米，再测量出旗杆与较近标杆的距离b米。

问题解决：平行于三角形一边的直线所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形对应边成比例得aa+b=1.2-1x-1，解方程可求得旗杆AB的高度。

【建立模型五】学习了三角函数后，建立直角三角形形模型，准备测角仪、一支1米长的标杆与皮尺，在离旗杆a米处，在垂直于地面的标杆上测出旗杆顶部的仰角为θ。

问题解决：利用正切函数的定义得tanθ=xa，解方程可求得旗杆AB的高度。

大家至少可以先在室内商定出五种不同的建模方式，然后进行实地测量、汇报、交流与纠偏。当大家都沉醉于成功的喜悦之中时，教师可适时提出一个新的问题：这个旗杆是底部可以到达的物体，如果遇到要测量的物体的底部不能到达呢？怎么办呢？例如，山的高度、金字塔的高度等。这时就又提供了一个数学建模解决新问题的机会，大家又投入了新的思考中。

【建立模型六】利用三角函数建立直角三角形模型，准备测角仪、一支1米长的标杆与皮尺，在远处某地垂直于地面的标杆上，测出物体顶部的仰角为α，然后在同一直线上往前m米处垂直于地面的标杆上测出物体顶部的仰角为β。

问题解决：利用正切函数的定义得x-1tanα-x-1tanβ=m，解方程可求得物体的高度。

可以建立许多数学模型来解决测量旗杆高度的问题，这就大大地激发了学生的学习兴趣与动手热情，同时学生也积极开动了脑筋，无意之间就形成了数学建模的意识与理念。

二、 解读典型建模考题——促使学生形成数学建模意识

原题：

模型建立：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E。求证：△BEC≌△CDA。

模型应用：

（1）直线l1=43x+4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2，求l2的函数解析式。

（2）矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标。

（一）首先，要在“模型建立”上下功夫。往往模型建立就是最简单的解题方法，但容易被忽略，没有认真分析模型，包括模型的背景特征、条件与结论、构建模型所用的几何元素及代数元素、所涉及的元素、构建模型时的顺序等，从而导致无法解后面的小题。

本题中，模型的背景特征：等腰直角三角形;

条件：过直角任意作一条不与直角边重合的直线，并过斜边的两个端点向该直线作垂线段;

结论：所构成的两个新直角三角形全等，故而得到对应直角边相等。

（二）学生应该要“立”起来，能“走”，即在大脑中确立正确的、清晰的模型、简约的模型，以至于在新的图形环境中能认得出来。

如本题中，模型可简约成“45°→等腰直角三角形→一线三直角”，这样就可以拿着走了，学生只要看到45°，就有了序列模型化的思考。