例谈核心素养下的数学运算

李金亮

【摘要】在新一轮课程改革中，特别提到了要重视学生数学核心素养的培养，而数学运算素养是核心之一.对一道习题的解答，是简单呈现最后的结果，还是让学生思考碰壁后再讲解？笔者选择了后者.在核心素养下的数学教学中如何提高学生的运算素养值得我们深思.

【关键词】核心素养;运算;反思

题目1 在平面直角坐标系中，以坐标原点O和A（5，2）为顶点作等腰直角三角形ABO，使∠B=90°，求点B和AB的坐标.

解 设B点坐标为（x，y），则OB=（x，y），AB=（x-5，y-2）.

∵OB⊥AB，

∴x（x-5）+y（y-2）=0，即x2+y2-5x-2y=0. ①

又∵|OB|=|AB|，

∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2，即10x+4y-29=0. ②

由①②解得……

此时下课铃声响起来了，我说答案明天上课时公布.

第二天上课，居然没有一个同学能解出来，这可是尖子班，很出乎我的意料.后来想想也在情理之中，他们在初中可没解过这么复杂的方程组.为什么算不出来呢？后来有学生说，他消元之后，数字较大，不好计算.

我在黑板上边写边讲解如下过程，用时不过3分钟.

x2+y2-5x-2y=0， ①10x+4y=29. ②

①×2，得2x2+2y2=10x+4y=29， ③

由②，得4y=29-10x，

两边平方，得16y2=292-2×29×10x+100x2， ④

③×8，得16x2+16y2=29×8， ⑤

把④代入⑤，得116x2-2×29×10x+292=29×8. ⑥

由⑥约去29并整理，得4x2-20x+21=0.

当我写到这，全班响起了雷鸣般的掌声，接下来用十字相乘法就迎刃而解了.整个过程没有分数计算，几乎每一步都可以口算.所以，在计算过程中我们要充分观察、对照和分析，留意数、式之间隐含的特殊关系，尽量不要带分母运算，并预计可能重复的运算对象，不纠缠复杂的数值运算.

教后反思 很多学生一遇计算就不经思考，不细心观察，直接计算，如上题就想着代入消元，而由②式解出y要用除法，就出现了分数计算，接下来就复杂得让人崩溃.

有数学就有计算，不管你学了什么高明的方法，如果你计算能力很差，那些方法就像是没装子弹的高级手枪，毫无“杀伤力”.武行里流行一句话：“练武不练功，到老一场空.” 这里解题方法就是“武”，计算能力就是“功”，合起来才叫“武功”，才有威力.所以教师要重视对学生计算能力的培养.

计算不仅仅是四则运算，还包括代数变形能力.什么是代数变形能力？它其实就是你的基础计算达到熟练程度以后，所产生的一种敏锐判断力和实用技巧.计算是要动脑的，有时硬算、蛮算是很难算出来的.

再如，在椭圆标准方程的推导过程中，由（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a往下推導可有如下三种思路.

思路一：对等式两边直接平方，但计算量过大，不可取.

思路二：移项，得到（x+c）2+y2=2a-（x-c）2+y2，再两边同时平方，以使得数据更加优化，整理后再两边同时平方，这是教材提供的推导方法.

思路三：令（x-c）2+y2=a-d，（x+c）2+y2=a+d，因等式是等差中项结构，故具体推导如下：

两边平方，得（x-c）2+y2=（a-d）2 ①，（x+c）2+y2=（a+d）2 ②，

①+②整理，得x2+y2=a2-c2+d2 ③，

②-①整理，得ad=cx ④.

到此时不要直接解出d=cxa，因为代入③又出现分数式的计算，而应把④式两边平方，得a2d2=c2x2 ⑤，观察对比③式，可由③式两边同时乘以a2，得a2x2+a2y2=a4-a2c2+a2d2 ⑥，此时再把⑤式代入⑥式整理，得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），令b2=a2-c2，再两边同时除以a2b2，得x2a2+y2b2=1，即为所求的标准方程.

利用等差数列处理这一问题恰好符合了必修5在前选修在后的安排，其承前启后的作用得以体现.而这种想法在解决高考的一道压轴题和填空题中也发挥了很大的作用.

题目2 若AB=2，AC=2BC，则△ABC面积的最大值为.

【解法一】因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为x轴、其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），由AC=2BC，可得（x+1）2+y2=2×（x-1）2+y2，化简，得（x-3）2+y2=8，即C在以（3，0）为圆心、22为半径的圆上运动.所以S△ABC=12·AB·yc=yc≤22.

【解法二】（恒等关系）由题目条件，知c=2，b=2a，

由余弦定理，得cos A=b2+c2-a22bc=a2+442a，

而面积S=12bcsin A=2asin A，所以sin A=S2a，

所以sin2A+cos2A=S2a2+a2+442a2=1，

整理，得16S2=-a4+24a2-16=-（a2-12）2+128≤128，

所以当a2=12，即a=23时，（S2）max=8，故△ABC面积的最大值为22.

题目3 已知椭圆C过点A1，32，两个焦点为（-1，0）和（1，0）.

（1）求椭圆C的方程.

（2）设E，F是椭圆C上的两个动点.

① 如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明直线EF恒过定点;