浅谈辅助线在全等三角形证明中的应用

孙凤阳 刘君

【摘要】证明三角形全等是初中几何学习中的一种重要的解题方法，在证明三角形全等时有时需添加辅助线，这对学生而言，往往是难点.教师应当善于归纳总结一些常见的辅助线作法，从中找出解题规律，进而有效解决问题.

【关键词】全等三角形;辅助线;解题方法

一、引 言

添加辅助线是平面几何问题求解的重要手段，通过添加辅助线可以将复杂的问题简单化，对于不同情形的几何问题，应当选择适当的方法予以解答.下面介绍证明三角形全等时常见的六种辅助线作法以及相关例题，分别是截长补短法、倍长中线法、作平行线法、补全图形法、角平分线法、作垂线段法.

二、截长补短法

对于求线段和差的类型题，当题中没有明显的等量关系式时，我们可以将较长的线段截短，或者将较短的线段延长，从而获得相等的线段，为三角形全等的判定增添条件，通过证明三角形全等，进而得出线段的和、差、倍、分关系.

图1例1 如图1，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC=AB.

分析 题中不能直接得出AD+BC=AB，所以需要构造相等的线段.在AB上取一点H，使AD=AH，证明 △DAE≌△HAE，得到∠EHA=∠EDA，进而证明△BEH≌△BEC，得到BH=BC，从而证明AD+BC=AB.

证明 在AB上截取AH=AD，连接EH.

∵AE平分∠PAB，

∴∠DAE=∠HAE.

在△DAE和△HAE中，

AD=AH，

∠DAE=∠HAE，

AE=AE，

∴△DAE≌△HAE（SAS），

∴∠ADE=∠AHE.

∵AD∥BC，

∴∠ADE+∠C=180°.

∵∠AHE+∠EHB=180°，

∴∠EHB=∠C.

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBH=∠EBC.

在△BEH和△BEC中，

∠EHB=∠C，

∠EBH=∠EBC，

BE=BE，

∴△BEH≌△BEC（AAS），

∴BC=BH，

∴AD+BC=AH+BH=AB.

總结 截长补短法是证明线段和、差、倍、分关系的有效方法，通过将线段截长或补短，构成相等的线段，从而构造全等三角形，再利用三角形全等的有关性质证明结论.

三、倍长中线法

在几何问题中，若已知条件中涉及中线或线段中点时，将三角形中线延长一倍，通过两个三角形全等，将各条线段转化到同一个三角形中，利用三角形的三边关系进行分析和判断，得出证明结果.

图2例2 如图2，在△ABC中，D为BC的中点.

（1）求证AB+AC>2AD;

（2）若AB=5，AC=3，求AD长的取值范围.

分析 将中线AD延长一倍至点F，证明然后△ACD≌△FBD，得到BF=AC，从而将AB，AC和2AD转化到△ABF中，从而得出结论.

证明 （1）如图2，延长AD至F，使DF = AD，连接BF.

∵D是BC的中点，易证△ADC≌△FDB（SAS），

∴AC=BF.

∵在△ABF中，AB+BF>AF，

即AB+AC>2AD.

解 （2）在△ABF中，AB-BF<2AD

∵AB=5，AC=3，

∴5-3<2AD<5+3，

∴1

总结 对于含有中线或线段中点的三角形问题，通过“倍长中线” 可以构造出两个全等的三角形，进而在求解线段之间的关系时，转化成三角形的三边关系，这为我们解决线段之间的关系问题提供了有效方法.

四、作平行线法

通过作平行线法将相等的角转化，与等腰三角形中两个相等的底角构成等量关系，形成新的等腰三角形，达到对应角相等的目的，构造全等三角形，为解决问题提供技巧.

图3例3 如图3，在△ABC中，点D在AB上，E是AC的延长线上一点，BD=CE，DE交BC于点F，DF=EF，求证：AB=AC.

分析 通过作DP∥AC，易证△DPF≌△ECF，得到DP=CE，又由BD=CE等量代换得到BD=DP，即△DBP为等腰三角形，则有∠B=∠DPB=∠ACB，可得AB=AC.

证明 作DP∥AC交BC于P.

∵DP∥AE，∴∠FDP=∠FEC，∠DPB=∠ACB.

在△DFP和△EFC中，

∠DFP=∠EFC，

DF=EF，

∠PDF=∠CEF，

∴△DFP≌△EFC（SAS），∴DP=EC.

又∵BD=CE，∴DB=DP，

∴∠B=∠DPB=∠ACB，

∴AB=AC.

总结 作平行线法可以将已知角转化成相等的角，构造两个三角形全等，或通过全等构造相等的角.作平行线法经常应用于以等腰三角形或等边三角形为背景的题目中，通过作平行线构造相等的角，从而构造全等三角形.

五、补全图形法

在一些三角形的证明问题中，将某两条线段（边）延长并相交于一点，构成一个完整的图形，便于我们找到更多的相等关系，从而构造全等三角形，通过进一步证明解决要求证的问题.

图4例4 如图4，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于点D，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，求证：BD=2AE.