矩阵相似变换的性质和方法及其在考研数学中的应用

许伟志 蒋凌云

【摘要】线性代数是大学数学教育中的重要组成部分，是考研数学中的核心板块之一.该学科抽象，概念多，定理多，性质多，这使得对基础概念与解题方法不熟练的学生无从下手.近年来，线性代数考研题的跨度比较大，一个题目在解答时可能涉及多个章节的知识点，这给考生复习带来了困难和阻力.但是，线性代数的题型和解题方法相对固定，有规律可循.为此，本文统计分析了近十年（2010—2020）全国考研数学三中关于求相似变换矩阵的相关考题，分析总结了三类典型的出题模式及不同的解题方法与相应注意事项，以期对考研中教师辅导和学生复习应考有所帮助.

【关键词】考研数学;相似矩阵;特征值与特征向量;可逆矩阵;正交矩阵

矩阵相似与矩阵对角化[1]一直是考研的重要考点，其中求相似变换矩阵一直备受出题人的青睐[2].本人对近十年（2010—2020）全国研究生入学考试数学三试题中关于此知识点的出题情况及相关题型进行了分析和归类，给出了解题的应对方法和思路，以方便教师辅导和学生备考时更好地掌握和渗透此知识点.

一、求相似变换矩阵的题型总体可以分为三类

第一类为已知矩阵A，B相似，且A，B都为一般型矩阵（非对角阵，非对称矩阵），求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵，即为表1中的（1）类，属于常规题型.

第二类为已知矩阵A，B相似，且A，B都为一般型矩阵，求可逆矩阵P，使P-1AP=B，这类题型计算量一般会大于第一类，表1中记为（2）类.

第三类为用正交矩阵将实对称矩阵相似对角化的题型，这是考研的重点题型，出题频率很高，因为二次型的矩阵为实对称矩阵，所以这类题型就演变成了用正交变换化二次型为标准型的问题，表1中归为 （3）类.

求相似變换矩阵一般以大题形式出现，分值都为11分，学生备考时应加以重视.

三、几点建议

1.从近十年数学三考研真题来看，矩阵相似以及相似对角化出题比较频繁，有大题也有小题，但对于求相似变换可逆矩阵P的题型一般以大题形式出现，综合性强.这就要求学生对于基础知识中的相似矩阵的性质、求特征值、求特征向量、特征值与特征向量所具有的性质，以及相似的过程变换都需要熟练地掌握，并理解透彻.因此，笔者建议同学们首先要打牢基础，对于基本题型要多加练习，只有做到熟练掌握相关公式、性质和方法，对基础题型训练有素，才能很好地应对各种题型的变化.

2.求相似变换矩阵的题型中，一般计算量都比较大，要求学生在掌握方法技巧的基础上，准确、迅速地运算出每一步的结果.所以，笔者希望同学们在平时的学习中要养成动手计算的习惯，不能盲目地追求方法技巧而忽视运算能力.复杂的运算能力是考研大纲中对考生的基本要求，这种能力的提升只有靠平时多加练习才能获得.

3.学会知识的融会贯通.以2020年的第20题为例，很多同学考完试后就感叹这一年的线性代数出题不常规.其实在老师看来，这题再常规不过了，只要你平时对每一个知识点的基础题型训练到位，同时在做题后能养成一个归纳分析的习惯，那么像这类既涉及二次型，又需要对相似的两个矩阵对角化的综合题，解决起来思路自然会很清晰，并且在出题人将矩阵降到了二维的基础上，计算也自然会很顺畅.所以，笔者建议考生在备考的强化阶段一定要自主归纳知识体系，在掌握基础知识点、基础题型后要学会思考每一章节知识点间的联系，对考试大纲进行分析，梳理知识点，归纳重要考点的典型考题的多种解题思路与方法，形成自己的数学思想方法，这样不仅能应付各类题型的变换，而且可以简化计算，提高速度.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.线性代数：第六版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]李永乐.线性代数辅导讲义[M].西安：西安交通大学出版社，2010.