学生数学运算中的“乘法分配律泛用”问题探微

王小梅 汤强

【摘要】学生在学习数学运算时一般会不自觉地将乘法分配律迁移过来，造成运算错误，教师往往采用特殊值法进行验算后便不再进行深入分析，这便错过了一次改进教学和帮助学生学习的机会.本文对学生的错误进行深入分析，总结出这类运算错误的原因有：对数学概念理解不深刻;对数学符号认识不充分;对数学的符号或形式认识比较单一.所以，在教学中应该重视数学概念的本质，有意识地加强数学符号教学.

【关键词】乘法分配律;数学运算;负迁移

一、问题提出

学生在运算过程中经常出现以下几种错误：（a+b）2=a2+b2，am+n=am+an，loga（M+N）=logaM+logaN，sin（α+β）=sin α+sin β，教师往往仅通过特殊值法或者数形结合法验证以上运算是错的，没有对其进行深入分析，这种做法简单易操作，成效大，但是，这只是暂时解决了当前的问题，没有从根本上分析学生为什么会出现这类错误，那么今后学生还会出现类似错误.例如，已知a是非零向量，且b≠c，求证：a·b=a·c a⊥（b-c）[1].很多学生直接利用乘法分配律求证，在没有证明（a+b）·c=a·c+b·c时直接拿来用，虽然结果是正确的，但是这种做法是极其不严谨的，向量与实数有本质上的区别.我们知道，在人教版中向量的内容在必修4，函数在必修1，学生是先学函数再学向量，经过多次纠正，学生可能在函数中不会出现错误了，但是在向量中又会犯类似的错误，这说明学生并未认识到错误行为产生的根本原因，因此，我们很有必要对其进行深入研究.

二、问题分析

1.对数学概念理解不深刻

《数学辞海》中分配律的定义：乘法对加法（或减法）的分配律，简称乘法分配律.两个数的和（或差）与一个数相乘的积等于被加数（或被减数）和加数（或减数）分别与这个数相乘，所得的积的和（或差），即（a±b）c=ac±bc[2] .这里，涉及的是乘法与加法或减法的运算，但是（a+b）2不仅仅涉及加法运算，还有乘方，同理，其他错误也是一样的道理.从另一个角度分析，乘法分配律中涉及的字母本意是数，而sin（α+β），loga（M+N）中涉及的是sin，log，是一种运算符号，并不能代表数，所以不能进行迁移.

2.对数学符号认识不充分

首先，我们对学生的错误进行分析，抽象出共同特征，如下图.

从图中可以发现，学生在运算时，把a（b+c）=ab+ac 与f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）人为地强行联系起来，在实数的运算与函数运算性质间建立了非实质性联系，这不是一种有意义的学习，相反，是一种机械学习.

进一步分析，最终原因是学生对数学符号认识不充分，错把f当成a，同样是字母，但是所代表的意义不一样，在f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）中，“f”是一种运算符号，表示按某种规定进行运算的符号称为运算符号，例如，加、减、乘、除、开方、幂、sin、log、行列式等，

而a（b+c）=ab+ac中“a”是一种元素符号，表示数和几何图形的符号称为元素符号[3]，在a（b+c）=ab+ac中，“a”代表的是数.因此，在教学过程中要加强数学符号的教学，明确符号所表示的概念，防止概念与符号之间脱节.

再补充一点，从上图中我们可以看到，满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）性质的函数是正比例函数y=kx，同样的，我们对幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的运算性质进行抽象，发现不同函数有不同的特征，具体内容见表1（表中抽象函数一列采用的符号是x和y，与前面符号不一致，因为在考试中经常遇到的抽象函数表达式中用的是x和y），而学生错误地将所有函数的运算性质的抽象形式归结于f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）.

3.对数学的符号或形式认识比较单一

从上述分析中可以看出，a（b+c）=ab+ac 与f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）虽然形式差不多，但是内容相差很大，而抽象函数与特殊函数，比如，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）与y=kx从形式上看起来毫无联系，但本质是一样的.从更特殊的角度看，甚至有些形式或符號完全一样，但可以用多种数学语义解释，比如，a2+b2最基本的含义是a2+b2的算术平方根;在直角三角形中，可以表示以a，b为直角边的斜边;在直角坐标平面内，可以表示点（a，b）到原点（0，0）的距离;在复数域中，表示复数（a+bi）的模[4].反过来，同一数学内容也可以用不同的数学符号表示，例如，两条直线垂直关系在中学数学里就有多种表达形式：在平面几何中，两直线 l1和l2垂直指的是两直线的夹角是90°，表示为l1⊥l2;在三角形中，如果α+β=90°就有sin α=cos β;在解析几何里，如果两直线方程用点斜式表示，即y1=k1x1+b1和 y2=k2x2+b2k1k2≠0，那么两直线的垂直关系就是k1k2=-1[5].

综上可知，数学中的同一个数学表示形式可以做不同的语义解释，同一种数学语义的内容可以用不同的数学语言形式表示.而学生往往只认识到符号或形式的一种含义，没有意识到符号在不同内容中有不同的意义，这也说明了数学符号的意义是发展的、变化的，不是绝对不变的.符号意义的变化发展实际是其所代表的概念意义的变化发展，因此，我们应该用发展的眼光看待数学符号.

三、问题解决

1.重视数学概念的本质

数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式[6]，数学概念学习是其他内容学习的基础，学生对于数学概念理解的准确程度直接影响后续学习的效率.前面分析到学生不自觉地将乘法分配律移到数学运算中是因为对乘法分配律概念理解不到位，如果学生理解到乘法分配律中只涉及加法、减法、乘法，不涉及其他运算，就不会随意地将其迁移到其他数学运算中去.另外，三角函数是刻画客观世界中周期变化规律的数学模型，如果学生头脑中有三角函数的图像，并且知道sin（α+β）其实指的是两个角的和的正弦值，可能就不会简单地将a（b+c）与sin（α+β）建立非实质性联系.所以，教师在教学中要花时间和精力去揭示数学概念的本质，阐明数学概念的来龙去脉，而教学中“掐头去尾烧中段”的做法看似效率高，实际上是对短期目标的追求，忽视了长期目标，不利于学生数学核心素养的提升.