存在性问题的探究策略

韩学奎

【摘要】存在性问题也称探索性问题，是高考中的热点问题，也是难点问题.解决这类问题的基本方法是：猜证法找到肯定结论;正面探求肯定结论;逆推反证得出否定结论;归纳、猜想、推理寻求肯定结论 .

【关键詞】探究性;问题;解决;策略

存在性问题是给出了问题的结论，但使问题结论成立的元素是否存在尚不确定，从而需要解答者予以探求的一种题目.此类问题的解决需要较高的思维品质和分析解决问题的能力，故一度成为高考中的热点、难点问题.下面就通过几个例子谈一下解决这类问题通常用到的策略.

一、猜证法找到肯定结论

探究一个满足条件的参数或几何图形是否存在可以根据已知条件大胆猜想，然后对自己的猜想予以合理的证明，从而事半功倍地解决问题.

例1 如图1所示，已知四面体E-ABCD中，四边形ABCD是正方形，AC交BD于O，EC⊥平面ABCD，F为BE的中点.

（1）求证：DE∥平面ACF.

（2）若AB=2CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，试确定G点的位置;若不存在，说明理由.

（1）证明：如图2所示，连接OF，因为四边形ABCD是正方形，O是AC与BD的交点，所以点O为BD的中点.又因为F为BE的中点，所以OF∥DE.故有DE∥平面ACF.

解法一 （2）猜想存在满足条件的点G为EO的中点.

证明如下：连接CG，因为EC⊥平面ABCD，故EC⊥AC，三角形OEC为直角三角形，又因为AB=2CE，所以CO=22AB=CE，所以三角形OEC为等腰直角三角形，故CG⊥OE.

又因为EC⊥平面ABCD，所以BD⊥EC，又四边形ABCD是正方形，

所以BD⊥AC，又EC∩AC=C，所以BD⊥平面ACE.

而CG平面ACE，所以CG⊥BD.

又OE∩BD=O，所以CG⊥平面BDE.

所以存在点G，使CG⊥平面BDE，且G为EO的中点.

该解法根据图形的特征大胆地猜想满足条件的点G是线段EO的中点，然后证明该点满足条件从而轻松解决了问题.

二、正面探求肯定结论

对存在性问题给出一个肯定答案最简单的方法就是发现这个结果，用胜于雄辩的事实说明探求的元素是存在的.

上述例1（2）还可以有下面两种解法.

解法二 （根据其他条件直接作图探求）

因为EC⊥平面ABCD，所以BD⊥EC;又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.因为EC∩AC=C，所以BD⊥平面ACE.故有平面BDE⊥平面ACE.故过C垂直于交线EO的直线必垂直于平面BDE，因此作CG⊥EO于G，则CG一定垂直于平面BDE.

又因为EC⊥平面ABCD，故EC⊥AC，三角形OEC为直角三角形.又AB=2CE，所以CO=22AB=CE，所以三角形OEC为等腰直角三角形，由此可知G为EO的中点.

解法三 如图3所示建立空间直角坐标系，设CE=2，则C（0，0，0），D（22，0，0），B（0，22，0），E（0，0，2），O（2，2，0），EO=（2，2，-2）.

假设EO上存在点G，使EG=tEO（0

由于CG⊥平面BDE，所以有CG·EB=0，

CG·ED=0，

得4t-4+4t=0，

4t-4+4t=0， 解得t=1[]2.

即EG=1[]2EO，故在线段EO上存在点G使CG⊥平面BDE，且G为EO的中点.

例2 若函数 g（x）=ex-mx-1.

（1）讨论g（x）的单调性.

（2）是否存在实数m，使g（x）在区间[-2，3]上单调递减？

解 （1）g′（x）=ex-m，x∈R.

当m≤0时，由于g′（x）=ex-m>0，故g（x）在R上单调递增.

当m>0时，由ex-m≥0，得ex≥m，x≥ln m.由ex-m<0，得x<ln m，

所以，当m≤0时，g（x）在R上单调递增，当m>0时，g（x）在区间[ln m，+∞）上单调递增，在区间（-∞，ln m）上单调递减.

（2）假设存在m∈R使g（x）在区间[-2，3]上单调递减，则g′（x）=ex-m≤0在x∈[-2，3]时恒成立，即m≥ex在x∈[-2，3]时恒成立，只需m≥（ex）max .又因为ex在[-2，3]上单调递增，所以（ex）max=e3，故m≥e3.

所以存在实数m∈e3，+∞，使g（x）在[-2，3]上单调递减.

由上面的例子可以看出，我们可以用作图等方法直接寻找满足条件的元素（如例1解法二），也可以假设探寻的元素存在构造方程（如例1解法三）求出满足条件的元素的值，或构造不等式（如例2）求出其取值范围，得出肯定的结论.

三、逆推反证得出否定结论

要说明一个问题的结论是不存在的，往往很难找到一个着眼点，这时常用逆推反证的策略推出矛盾，从而说明结论不存在.

例3 已知函数f（x）=loga（3-ax）（a>0且a≠1）.

（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围.

（2）是否存在这样的实数a，使函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，求出a的值;如果不存在，请说明理由.

解 （1）设t（x）=3-ax，则t（x）是关于x的一次函数，