一道2020 年高考不等式题的探究与教学思考

1 考题呈现

2020年高考数学全国卷Ⅲ文、理科数学第23 题：设a,b,c∈R,a＋b＋c＝0,abc＝1.（Ⅰ）证明：ab＋bc＋ca＜0；（Ⅱ）用max{a,b,c}示a,b,c的最大值，证明：max{a,b,c}≥34 .

2 考题溯源

3 证法探究

4 教学思考

4.1 遵循教纲

不等式选讲是高考的选考内容，由于不等式的证明题往往涉及多种变形方法和变换技巧，因此这类问题对学生的能力有着较高的要求.有的学校不讲这部分内容，要求学生只选做极坐标与参数方程问题，导致学生知识的缺失.

不等式证明问题，可以有效考查学生对不等式知识、几种常见的不等式证明方法的理解和掌握情况；有效考查学生分析问题和解决问题的能力，以及学生的个性品质.在不等式证明问题的复习过程中，教师应该力求理清不等式知识的相关联系，讲清探究获得证明方法的思维过程，让学生清楚证明方法的来龙去脉，以达到举一反三、触类旁通的目的，引导学生学会思考、学会探究.

4.2 夯实基础

上述考题的第（Ⅱ）问的证明过程涉及的数学知识、思想方法相当丰富.学生要想熟练地给出证明，需要对不等式的相关性质和常见的证明方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等熟练掌握，切实把握每一种证明方法的变形方法和技巧，知道基本不等式、柯西不等式、贝努利不等式等经典不等式在各种不同条件下的变形应用，做到融会贯通、游刃有余.

4.3 立足教材

教材是课程标准指导下实施教学的基本遵循，是高考命题的源头活水.每年有大量的高考试题源于教材，另外高考试题涉及的知识、思想方法都在教材中.因此无论是新课教学还是高考复习，都应该充分地挖掘教材中典型例题和习题的潜在价值，发现它们在知识、方法及其所蕴涵的数学思想方法等方面的联系，以期提高学生的发散思维能力，增强学生透过现象看本质的能力，提升学生的数学素养.

4.4 培养习惯

不等式证明难，但再难的题都有章可寻、有法可依.培养学生的数学能力，应该在平时的教学过程中，注重引导学生进行审题，发现待证结论与已知条件之间的联系，探究如何变形才能让它们走向统一的方法和策略，注重对证明思路或解题思路的分析和探究，努力发现一题多解、多题一解的可能性.长期坚持反思和联系的良好习惯，终将转化为学生的解题能力和证明能力.