活动引领探究 激发深度学习——以苏科版八年级上“一次函数图象(1)”为例

王春梅 (江苏省沭阳如东实验学校 223600)

1 基本情况

(1)学情分析

八年级的学生观察能力逐步增强，但深入性不够；动手能力逐渐提高，但稳定性不足；具体形象思维发展迅速，抽象思维优势凸显.教学中要充分把握这些特征．函数学习标志着数学由常量世界进入变量世界，是数学学习中一次质的飞跃，对学生思维能力提出了严峻考验．在苏科版教材八上第六章的前两节，学生已经掌握了有序实数对与坐标平面内点的对应关系，认识了函数图象的描述性定义，具备由数到点、由数到形的较为简单的知识经验．

(2)教材分析

函数是刻画研究现实世界变化规律的重要模型，一次函数是初中数学中的一种基本函数．一次函数的图象建立在有序实数对与平面内点的对应关系基础之上，是函数概念与图象第一次完美结合．本节课是函数图象的教学起始课，是认识了一次函数概念后对一次函数内容的进一步研究，是研究一次函数图象性质的桥梁，是以后学习反比例函数、二次函数图象的基础，其研究方法具有一般性和代表性．

本课教学中安排一系列探究活动，如观察操作、尝试画图象、分析图象、发现规律，让学生明确知道一次函数的图象是一条直线，在实践中主动获取运用“两点法”画出一次函数的图象．在操作中发展学生数学感知、数学表征、数学概括能力，在活动中感悟函数思想、模型思想，初步形成数形结合观念，发展几何直观，激发学生学习函数的信心和兴趣．本课的教学重点是重视学生直接经验的获得，体验每一步“做什么”“怎么做”“为什么要这么做”，自主探索出一次函数图象的画法，归纳概括出画函数图象的一般步骤；教学难点是引导学生在作图过程中感知有序数对到点再到线的演变过程，探讨数与形的对应关系，体会画函数图象过程中各个步骤中的注意要点．

2 教学过程

2.1 情境引入，先行预设

情境引学：生活中的变化现象．

师：同学们，我们生活的世界时刻充满变化．今天清晨，同学们从甜美的梦中醒来，感受到气温随着时间的变化而变化；你爸爸开车送你上学，假设车速保持不变，行驶路程随着时间的变化而变化，车里的余油量随着行驶路程的变化而变化……从第六章开始，我们用一种新的数学知识来揭示两个变量之间的关系，这种新的数学知识是什么呢？

(学生齐声回答“函数”，教师板书“函数”)

师：函数是揭示事物变化规律的有效手段，是研究运动变化的数学模型.函数有哪几种表示方法？

生：图象法、列表法、函数表达式法．

(教师继续板书“图象”)

师：什么叫函数的图象？

生：在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图象．

师：上节课，我们认识了一次函数.大家猜猜看，今天这节课我们将学习什么内容呢？

生：一次函数的图象．

(教师板书，补全课题“一次函数的图象”)

师：请同学们根据课题，预设一下本节课你想研究哪些内容？

师生共同预设学习内容(教师板书“预设内容”)：(1)如何画一次函数的图象？(2)一次函数的图象的形状是怎样的？(3)利用一次函数的图象可以解决哪些相关的问题？

教学分析结合学生的日常生活经历，充分感知生活中的变化现象与变化过程中两个变量间的变化关系，一步步引入课题“一次函数的图象”，并组织学生围绕课题自主预设本节课的学习内容，激发好奇心和求知欲的同时指明学习方向．

2.2 自主探究，直观感知

活动1 点燃一支香，感受它的长度随时间的变化而变化，将观察结果填在表格内(屏幕展示课本中的图片和表格)．

问题1这幅图片反映了一个怎样的变化过程？你能获得哪些信息？

问题2如果用y(cm)表示香的长度、x(min)表示香燃烧的时间，你能写出y与x之间的函数表达式吗？

问题3依次连接图片中香的顶端，你有什么发现？

活动2 建立平面直角坐标系，揭示图片中的信息．

问题1如何建立平面直角坐标系？

问题2图片中香燃烧过程中五个时刻的顶端(点)分别可用哪些坐标(有序数对)来表示？

问题3这支香在实际燃烧过程中，这样的时刻有多少个？这些时刻香的顶端的连线有怎样的特征？

问题4这些顶端组成的图形与函数表达式有怎样的联系？猜想一次函数图象的形状是怎样的？

教学分析组织学生观察图片，概括变化过程，将获得的信息填入表格，获得五组对应的数值，并让学生知晓所填表格即为此一次函数的表格法，y=-0.8x+16(0≤x≤20)为它的函数表达式法，从而设想“香在燃烧过程中顶端所在的这条直线”可能是此函数的图象法．再通过活动2的实践，发现可以把香的顶端用有序数对对应的点表示出来，初步感知函数表达式与图形的对应关系，从数学的角度直观感知一次函数的图象可能是一条直线．

2.3 合作探究，理性认知

活动3 尝试作出一次函数y=2x+1的图象．

问题1结合活动2的经验，请同学们讨论交流“作出一次函数图象一般可能经历哪些步骤？”

组织学生交流合作，小组代表展示，共同得出可能经历的步骤有：列出表格、建立坐标系、描出点的坐标、把点顺次连接．

问题2以一次函数y=2x+1为例，如何画出此函数的图象？

学生以4人小组为单位，开始尝试作图，5分钟后小组代表展示探究成果．

小组展示：首先列出表格(表1)，再建立如图1所示的平面直角坐标系，取5组对应的x,y的值分别作为横坐标和纵坐标，在坐标平面内描出这5个点，最后把这些点连接起来．

图1

表1

问题3对上述过程，大家有哪些补充意见？

小组补充1：自变量x的取值应分别取正数、0、负数，这样更有代表性；

小组补充2：自变量x的取值应便于计算，此函数中可尽量取整数并从小到大排列；

小组补充3：这里的自变量x的取值可以是一切实数，表格中应有“…”予以体现，所以图象是直线而不是线段；

小组补充4：在坐标系中应写出此一次函数的表达式表示其名称．

根据上述补充内容，完善这一作图象的过程．

解列表(表2)．

表2

描点，连线，如图2所示．

图2

活动4 交流讨论：作一次函数图象的过程中，每一步做什么？怎么做？为什么这么做？

根据小组交流的结果，得出如图3所示的板书．

图3

问题1观察发现一次函数图象的形状是什么？如何验证？

问题2由上述验证过程我们可以得出基本事实：一次函数的图象是一条直线．活动1中的香的长度y(cm)与香燃烧的时间x(min)的函数表达式y=-0.8x+16(0≤x≤20)的图象的形状是什么？为什么？

问题3作一次函数图象是否有简捷的方法？根据是什么？

教学分析组织学生根据香的燃烧过程中获得的经验尝试画函数图象，通过小组展示、补充、纠错，经历一次函数图象的形成过程，通过几何画板演示，运用密集取点的方法让学生感知这些点在同一条直线上，也有学生通过证明两个三角形全等对应角相等从而验证其中的三点共线，系统强化学生对一次函数图象的画法、依据、注意点的理性认知．

2.4 展示设计，综合提升

活动5 在平面直角坐标系中，画一次函数y=-x+2的图象．

问题1通常情形下，我们可以取哪两个点？为什么？作图过程如何描述？

问题2若设一次函数y=-x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A,B，你可以设计出怎样的数学问题？如何求解？

活动6 在直角坐标系中，画一次函数y= -3x+3的图象．

试判断：在点A(2,-4),B(-1,6),C(3,12),D(-2,3),E(5,-12)中，哪些点在此函数的图象上？

活动7 在上述同一坐标系中，画一次函数y=-3x,y=-3x-3,y=-3x+3的图象．

问题1观察这3个函数的图象，你有什么发现？得出怎样的猜想？

问题2观察函数的图象，可以设计出哪些与图象有关的数学问题？

教学分析学生根据“两点确定一条直线”获得“两点法”画一次函数的图象的方法，掌握判断一个点是否在某条直线上的方法.组织学生在同一坐标系中熟练画出几个k值相等的一次函数图象，为下节课继续研究一次函数的性质作好铺垫．引导学生根据函数图象设计出常见的求线段长、三角形面积等数学问题，自主完成知识建构．

2.5 总结概括，目标达成

本节课你学习了哪些内容？掌握了哪些学习的方法？目标达成情况如何？

在回顾预测学习内容的基础上，适当地修改关键词，完成板书：

学习目标：(1)会画一次函数的图象；(2)知道一次函数图象的形状是一条直线，并能判断一个点是否在这条直线上；(3)能利用一次函数的图象解决三角形相关的问题．

教学分析首尾呼应，结合课前预设的学习内容概括出本课应达成的学习目标，帮学生理清学习内容与研究思路．

3 回顾与反思

本课为函数图象学习的第一课，应组织学生充分观察感知、尝试操作、实践体验、归纳概括，体会函数图象的形成过程，总结一次函数图象的作图步骤，体验由数到形的演变历程．不宜采用简单的自学课本、模仿作图的形式，不能仅仅满足于让学生掌握简单的作图技能．因此，巧妙安排探究活动，引导学生进行深度学习显得尤为重要．

3.1 重视经验积累——深层体验

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中明确指出:学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程．活动是学生经验获得与积累的重要来源，本课教学中，先组织学生获得直接经验，比如先通过观察香顶端的位置，用直尺靠一靠，获得香燃烧过程中顶端可能在一条直线上的直观感知，再取几个香的顶端，再次感知它们在同一直线上；再比如直接组织学生尝试作图，虽然学生可能出现各种不科学的地方：如列表取值都是正数、列表取值不按顺序排列、连线呈线段等，但是这些经验都是真实的、深刻的．在直接经验的基础上，组织学生纠错、交流、补充，体验作一次函数图象完整规范的过程，观察教师运用几何画板演示密集取点，积累间接经验，深刻体验“一次函数图象是一条直线”这一客观事实．

3.2 强化思考交流——深入探究

课本例题清晰完整地展示了一次函数y=-x+2图象的作图过程，如果让学生先自学课本，那学生后续的作图就成为一种简单的模仿，形成的也只是一种机械的作图技能．因此笔者执教本课时没有要求学生提前预习，而是在课堂教学中通过现场设置探究活动，先组织学生观察图片，

从香燃烧的过程中顶端的具体位置启发学生独立思考：如何从数学的角度描述香顶端的位置？让学生联想到可以用有序数对来表示点的坐标，主动发现画一次函数图象首先必须列表．教学实际表明，学生在初次列表时会受到香燃烧过程的影响而列出如表1的样表．如何规范列表？组织学生交流合作、主动展示，通过小组间的相互补充，发现应该取正整数、0、负整数这样具有代表性的数字，逐步规范列表．进一步补充描点、连线的注意要点，围绕“做什么、怎么做、为什么这么做”逐层探究，探索出作一次函数图象的完整过程，真正落实“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然”的深入探究．

3.3 突出主体建构——深刻理解

深度学习是学生对核心课程知识的深度理解以及在真实的问题和情境中应用这种理解的能力.学生已有认知中，数与形是相互独立的，如何建立数与形间的联系是学生理解上的难点．因此，对香燃烧过程中顶端的描述、理解是建立数形联系的起点，教学时要充分利用好这一教学资源．同样，在尝试作图的过程中，当学生完成列表后，教师设问引发学生的认知困惑：如何把表格中的数转化为有序数对？为何要将表格中的有序数对转化为平面内的点？如何将表格中的有序数对转化为平面内的点？如何描点，为什么要描点？如何连线，为什么要连线？让学生充分理解与接受“数—有序数对—点(无数点)—形(直线)”建立的全过程，生动诠释“数缺形时少直观，形少数时难入微”．对于小组补充的内容，教学过程中教师引导学生批判性地理解，引发质疑并释疑．

3.4 培养高阶思维——深化思考

深度学习的目标定位是培养学生的高阶思维能力，包括应用、分析、评价、创造．本课中，在学生确认“一次函数图象是一条直线”的基础上，启迪学生自主发现：依据两点确定一条直线得出简捷的方法即两点法作出一次函数的图象．继续设问：通常取哪两个点？依据这两个点可以设计出哪些典型的数学问题？引发学生及时将新知内容融入已有认知，及时进行同化、内化与顺应，并及时进行数学“再创造”．在最后的环节，通过回顾小结的形式，帮助学生梳理建构，总结学习目标的达成情况并进行分析评价，将本课所学内容系统化、结构化．