基于网络研修的“有理数乘法”课例生成*

左培培 (上海市浦东模范中学东校 201209)

邵爱娣 (华东师范大学教师教育学院 200062)

孙丹丹 (华东师范大学数学科学学院 200241)

1 引言

信息时代背景下，网络教研已成为具有时代特色的教师专业发展新模式[1]．网络教研活动不受时空的限制，教师可根据需要随时随地进行研讨交流，共享教育信息与资源[2]．第一届初中教师HPM网络研修即是在此背景下产生的一种以数学史与数学教育(简称HPM)为抓手的教师线上研修模式．具体而言，教师在线专业学习共同体由两个子团体构成，一是全国各地六十余位一线初中数学教师，二是高校教师、硕博士和若干HPM实践专家型一线教师；研修活动持续约一年时间，主要围绕9个初中教学主题展开，教师线上阅读学习相关历史素材，借助视频会议平台研讨基于历史的教学设计，线下实施课例，线上分享学生反馈及教学体会，共同体成员在网络互动中学习、交流、反思．

“有理数的乘法”是HPM网络研修班的研修课例之一，研修围绕分析与准备、设计与改进、实施与反馈、整理与写作四个环节展开．其中，在设计与改进环节，研修班依次组织了在线小组讨论、研修班教师集体讨论、高校研讨，以不断完善设计并最终形成HPM课例．已经有研究详细呈现了基于数学史的有理数乘法教学设计[3]，完成的课例成品可以为教学提供参考，HPM课例生成的过程也同样值得研究[4]，这个过程可以体现运用数学史进行“有理数乘法”教学设计可能存在的问题、改进的方法、改进的缘由等，最后生成的课例也是对已有课例的丰富和完善．鉴于此，本文将呈现有理数乘法HPM课例生成的过程及生成过程中的思考，以期给HPM视角下的初中阶段有理数教学提供启示．

2 分析与准备

2.1 问题分析

“有理数的乘法”在沪教版初中数学六年级下册第五章《有理数》第六节第一课时，它既是有理数加减法的深入，也是有理数除法、有理数乘方等运算的基础．这一节首先在思考1中呈现了四个问题： 2×1=?(-2)×1=?2×(-1)=?(-2)×(-1)=?而后提示：2×1=2，(-2)×1=-2，一个数乘以1等于这个数本身．2×(-1)=(-1)+(-1)=-2，一个正数乘以(-1)等于这个数的相反数．进而抛出问题：(-2)×(-1)=?进一步思考：(-4)×3=?(-4)×(-3)=?之后在思考2中给出汽车行驶的现实情境，规定向东行驶为正、向西行驶为负、几小时后为正、几小时前为负，得出四个算式2×80=160，2×(-80)=-160，(-2)×80=-160，(-2)×(-80)=160，从而总结正负数乘法的运算法则，最后归纳0和正负数的乘法运算，得到有理数乘法法则．

实际教学中，学生往往已经知道正负数相乘法则，加之思考1“一个数乘以1等于这个数本身，一个正数乘以-1等于这个数的相反数”的引导，学生基本可以说出(-4)×3=-12，(-4)×(-3)=12．所以，接下来的思考2主要是用运动情境解释这个法则．由于运动情境较为复杂，教师一般先帮助学生规定好“向东行驶为正，几小时后为正”，然后通过行驶过程中速度、时间和路程的关系得到四个算式，让学生尝试归纳两数相乘的符号法则，最后通过练习强化学生运用有理数乘法法则进行运算的能力．

这节课的教学往往存在如下几个问题：(1)很多学生正式学习前已经了解过有理数乘法，学习动机不足；(2)思考1如果只是为了引出课题就显得有些冗余，其中承载的很多信息没有充分运用；(3)运动情境有一定难度，实际教学往往只是“走过场”式地解释一下，把整节课绝大部分时间都放到了运用法则进行计算上．相关调查也显示，只有不超过11.5%的学生可以对“负负得正”法则给出合理的解释[5]．因此，在教学实践中如何激发学生的学习动机并引导学生理解“负负得正”法则的合理性，是教师面对的难题．

2.2 史料学习

“有理数乘法”的相关历史由网络研修班专用微信小程序推送，共包含6则素材．素材一主要介绍名人对“负负得正”缘由的困惑，19世纪法国作家司汤达(Stendhal，1783—1843)、法国昆虫学家和文学家法布尔(H．Fabre，1823—1915)、我国“杂交水稻之父”袁隆平等都曾对“负负得正”产生过疑问，试图寻求解释[6][7]．例如司汤达小时候很喜欢数学，但他的老师迪皮伊先生教到“负负得正”这个运算法则时，司汤达不理解法则背后的缘由，他希望老师能对此作出解释．面对司汤达的提问，迪皮伊先生“只是不屑一顾地莞尔一笑”，而补习学校的夏贝尔先生也只得不断重复课程内容，说负数如同欠债.可一个人该怎样把10 000法朗的债与500法朗的债乘起来，才能得到5 000 000法朗的收入呢？司汤达被“负负得正”困扰了很久，最后只能无奈地接受了它．

素材二主要用负债、运动、水箱、热气球、好人进城等生活模型解释有理数乘法的合理性．美国数学家和数学史家M·克莱因(M.Kline,1908—1992)认为：“如果借助物理意义，负数运算以及负数和正数混合运算是很容易理解的．”他最早用债务解释“负负得正”：假定某人每天欠债5美元，可记为-5，在给定日期他身无分文，记为0美元，那么在给定日期3天前(记为-3)，他有财产15美元，用数学表达式描述即(-3)×(-5)=+15[8]．除了负债，还有其他情境，比如，一个大水箱底部接着一根排水管，现在水箱装有若干升水，假设排水管以每小时6升的速度排水，记为-6，则8小时前(记为-8)，水箱的水比现在多48升，记为+48，用数学表达式描述即(-6)×(-8)=+48[9]．当前沪教版教科书呈现的运动情境也是历史上常用的模型之一．一个与前面情境略有不同的例子是所谓“好人进城”模型．在一个城镇中居住着许多居民，如果规定好人为正，则坏人为负，进城为正，则出城为负，好事为正，则坏事为负，于是坏人(-)出了城(-)，对于城镇来说是好事(+)，用数学语言表示即“负负得正”[8]．

素材三主要用乘法意义拓广、公式拓广、相反数、归纳、分配律等数学模型解释有理数乘法的合理性．如早期教科书中出现的乘法意义拓广的解释：两数相乘，乘数为正时，连加被乘数；乘数为负时，连减被乘数，由此得到“负负得正”．

(+4)×(+3)=+(+4)+(+4)+(+4)=+12；

(-4)×(+3)=+(-4)+(-4)+(-4)=-12；

(+4)×(-3)=-(+4)-(+4)-(+4)=-12；

(-4)×(-3)=-(-4)-(-4)-(-4)=+12．[10]

Benedict(1877)的归纳法取等差数列+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4，先将各项分别乘以+3，观察所得等差数列的规律，得出“负正得负”，再将数列各项分别乘以-3，观察新数列的规律，得出“负负得正”[11]．所谓相反数法，则是将(-a)×b和(-a)×(-b)看作一对相反数，若已知前者为负，则后者必为正．欧拉在《代数基础》(1821)中先通过债务的倍数来说明正负得负：将-a视为债务，取3次，则债务必变成3倍，故(-a)×3=-3a．一般地，有(-a)×b=-ab(a>0,b>0)，故“正负得负”．由于(-a)>(-b)要么等于ab，要么等于-ab，但已证(-a)×b=-ab，故(-a)×(-b)=ab[12]．有些“负负得正”的解释方法运用(或逆用)了乘法分配律，F·克莱因称之为“半逻辑证明”．例如，(a-a)×d=[a+(-a)]×d=ad+(-a)d=0，故(-a)×d=-ad；(a-a)×(-d)=a×(-d)+(-a)×(-d)=-ad+(-a)×(-d)=0，故(-a)×(-d)=ad[13]．

素材四介绍了以上现实情境及数学情境都只是对“负负得正”的合理性做解释，并非严格意义的逻辑证明．19世纪德国数学家汉克尔(H.Hankel,1839—1873)早就告诉我们：在形式化的算术中，“负负得正”是不能证明的．数学家F·克莱因也提出忠告：“我请求你们不要把不可能的证明讲得似乎成立．”[14]“负负得正”只是一种规定，规定的合理性可以通过多种模型解释，更为本质的一个原因是数系扩充所遵循的原则之一是运算律的无矛盾性，虽然我们可以规定“负负得负”，但那意味着我们至少要放弃正整数集所满足的其中一个运算律．

素材五和素材六分别介绍了东西方文明中的负数与负负得正．在东方，13世纪我国数学家朱世杰明确提出负数的乘除法运算法则，7世纪印度数学家婆罗摩笈多规定了负数加减乘除法则[15]．在西方，负数和正负数运算法则进展相对更加艰难，自13世纪负数及其运算传入西方，历经几百年排斥和矛盾，直至19世纪才被比较普遍地接受[16]．

3 设计与改进

3.1 初步设计

基于研修班提供的相关历史素材，结合自身实践经验，笔者初步完成了教学设计(I)，见表1．

表1 “有理数的乘法”教学设计(I)

教学目标 (1)通过现实情境，理解有理数乘法的实际意义，归纳有理数的乘法法则，初步感受有理数乘法法则的合理性；(2)掌握有理数乘法的符号法则，并能熟练地进行有理数乘法运算；(3)通过具体算式归纳一般法则，提高归纳概括能力．了解数学家的相关故事，感悟质疑的精神，培养科学求真的态度．

教学重点 掌握有理数的乘法法则，并能熟练进行有理数的乘法运算．

教学难点 理解有理数乘法法则的合理性．

3.2 集体研讨与改进

3.2.1集体研讨

初步设计完成后，先在小组内进行了分享交流，之后研修班的全体教师针对教学设计各个环节展开线上视频讨论．经过讨论，笔者意识到初步教学设计并没有体现数学史的深度融入，对历史材料的解读只是停留在讲述故事和补充模型的层面上，没有给予学生思考模型和讨论的机会．具体来说，讨论达成的共识及笔者反思如下：

(1)对教材中思考1的处理，教材提到“一个数乘以1等于这个数本身，一个正数乘以(-1)等于这个数的相反数”，这两句话都不是基本事实，只是猜想．乘法的意义目前只适用于正数，不能在有负数参与的乘法运算中，贸然采用非负数的乘法运算律．

(2)学生对于“负负得正”的理解无疑是困难的，此时教师不要直接给学生讲解模型，而是适时把司汤达的故事抛出，让他们来想办法帮助司汤达解释困惑．这样可以一下子锁住学生的目光，激发学生内心的求知欲，产生解决这一问题的内心驱动力，调动学生主动思考的积极性．

(3)教学重点应该落实在为什么“负负得正”上．学生利用法则进行计算并不难，难的是为什么负数乘以负数结果反而变成了正数，如果不弄清楚法则规定的合理性，学生会认为数学是“不讲理”的，在后续的学习中便不会主动去探求其他数学规则的合理性．

(4)提出具有挑战性的问题，让学生以小组合作的方式对司汤达的困惑进行探讨，思考有理数乘法的实际意义，尝试解释有理数乘法法则的合理性，呈现学生的创新思维，还可以和古人的方法产生思想的交汇．

3.2.2修正后的教学设计

反思研讨的相关议题及修改建议后，笔者对教学目标、重难点和教学过程做了修正．其中教学目标(1)和(2)不变，教学目标(3)改为“通过法国著名作家司汤达的历史小故事，培养学生的探究质疑精神，感受数学和生活的联系”．教学难点不变，教学重点改为“用合理的模型解释负负得正”．修正后的教学设计见表2．

表2 “有理数的乘法”教学设计(II)

3.3 高校研讨与改进

3.3.1高校研讨

在高校研讨中，设计者首先介绍了教学设计与困惑，高校研究者和资深的HPM教学实践者对教学设计提出了改进建议．讨论后达成的共识及笔者反思如下：

(1)复习引入部分，对学生预设的问题进行适当调整．原设计预设的是学生能回答9个算式中的6个，不能回答含负数的3个算式，但实际上学生很有可能会全部回答出来，这时候可以紧接着提出问题：为什么“负数乘以负数会等于正数”呢？并顺势将司汤达等名人的故事前置，这样一开始就可以聚焦问题的核心．

(2)在用现实情境解释有理数乘法法则的过程中，举两个负数相乘的例子是困难的．为了启发学生通过现实模型说明法则合理性，可以从复习负数的本质或实际意义入手，引导学生开放思维，寻找多样的具有相反意义的量，再上升到二维的负数乘以负数．

(3)本节课涉及的模型较多，模型的选择上不要求全，而要易于被学生理解．模型太多会导致课时容量过大，无法讲完既定内容，上课节奏过快也会使得学生无法真正理解每个模型的本质，因此需要精简课上呈现的模型数量．

(4)现实模型是教师或学生在数学课堂中经常使用的解释方式之一，从数学本身入手是解释法则合理性的重要角度，有必要让学生了解保持运算律也是数学中引入法则的主要依据之一．可以在结尾用微视频的方式给予数学解释，课下提供学生相关数学解释的阅读材料使其体会合理性．

(5)设计开放性的课后作业，让学生思考更多的解释方式．这样的课后探究性作业使得有限的课堂得以延续，为学生提供更多的探究机会，为学生的个性发展提供了充分的空间，使学生有不同的数学发展，其开放性想法可得到相互补充启发．

3.3.2修正后的教学设计

结合高校研讨中的修改建议及自我反思，笔者对教学设计(II)作了修正，见表3．

表3 “有理数的乘法”教学设计(III)

教学目标(1)和(2)不变，教学目标(3)改为：“通过介绍法国作家司汤达的历史小故事，培养学生的探究质疑精神，建立数学和生活的联系；通过小组合作讨论，感受方法之美、探究之乐，提高学生的数学建模能力．”教学重难点仍采用集体研讨后的修正版．

4 实施与反馈

前段时间受疫情影响，上海市中小学实行线上教学，模式是空中课堂结合线上直播互动教学．有理数的乘法这节课的空中课堂时长21分钟，直播互动教学时长15分钟．由于直播课时间有限，笔者实施了教学设计(III)片段．首先通过列举生活实例回顾说明负数的意义，接着讨论了司汤达的历史故事和美国数学家M·克莱因的债务模型．课后对两个任教班级的76名学生进行了问卷调查，收回问卷75份．调查显示，约84%的学生可以理解负数的意义；约76%的学生能正确进行有理数的乘法计算，清楚说出有理数乘法法则并做出解释；约94.6%的学生认为，“负负得正”不难，很有趣，历史解释有助于理解“负负得正”的合理性．

在开放性的课后作业中，学生对“负负得正”给出了很多解释，可以归为两类；一类围绕生活情境展开，如有学生提到砍树问题和排水问题(图1、图2)．有学生把得到记为正、失去记为负，把支票记为正、欠条记为负，那么失去了一张欠条就是好事，所以“负负得正”．有些学生的解释反映出学生可能混淆了负负相乘得正和正数相反数的相反数得正，这需要教师在后续教学中引起足够重视．如有学生想到体育课中的四面转体动作，一个负号可理解为向后转180°，另一个负号可理解为又向后转180°，此时又转回了原来的方向．也有学生用语文学科中的双重否定表示肯定来解释，“负”可理解为否定，“负负”可理解为双重否定，而正可理解为肯定．

图1

图2

另一类借助数学内部规律展开，有学生想到了相反数模型，两个有理数相乘，如果改变其中一个因数的符号，积的符号也会随之改变(图3)．有学生利用数轴进行了解释：除了0以外，所有的有理数乘以一个负数，相当于先把这个数所对应的点，在数轴上绕原点旋转180°(相当于乘以-1)，再扩大或者缩小相应的倍数．有学生以乘法对加法的分配律为前提，通过具体数字运算说明负负要得正，否则会出现矛盾，也有学生直接把正数范围内的运算律扩充到有理数集得到“负负得正”(图4、图5)．还有学生使用乘法意义拓广法，忽略(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd中a>b和c>d的条件，得到“负负得正”(图6)．

图3

图4

5 反思与启示

基于本次“有理数的乘法”课例研究，教师反思了整个过程，得到以下启示．

(1)精读数学发展史，促进学生深层理解．实际学习过程中，有的学生表面上是接受了“负负得正”，但并没有真正理解．研究数学知识的历史本源对教师认识数学知识的重难点是十分有利的．以“有理数乘法”为例，不仅要教会学生计算“负负得正”，更重要的是选择适切的数学史料，合理地解释“负负得正”，让学生真正对数学概念有深刻的认识，这种理解是刷题无法产生的效应．

(2)给学生探索空间，调动学生积极性．教师不能把固定的思维方式强加给学生，剥夺学生探索的机会．有理数乘法是一个非常开放的主题，有十分多样的解释方法，如果限定教材上的运动模型，并且规定好运动方向和时间正负，就封锁了学生发挥的空间，限制了学生思考，进而造成被动学习．在这节课的教学中可以适当留白，调动学生的积极性，使其潜能得到最大限度的发挥．

(3)换位思考，理解学生．司汤达、袁隆平的学习体验让教师在教学中不再急于让学生接受法则，而是不断地给出生活中的情景让学生慢慢感受“负负得正”．因为学习经验的差别，教师往往从自己的视角来看学生的学习，于是很多内容变得“十分简单”，从而忽视了学生的学习困难，了解历史发展有利于教师摒弃自我中心的视角，更好地理解学生的想法，据此设计教学，给过快的教学节奏减速．

(4)精耕课堂，细作教学，秉承初心．有理数乘法的教学不应该沦为有理数乘法法则的应用，要传授有文化的数学，打造有情趣的课堂，培养有无限生命力和创造力的学生．

历史故事有利于鼓励学生质疑求真的理性精

神，启发学生主动思考，探索“负负得正”合理性可以培养学生探究的能力，真正体会“做数学”的乐趣，不同时空的多元解释可以开拓学生视野，让不同学生有机会获得不同发展，这都是本节课可以达成的教育价值．

致谢：感谢汪晓勤教授、栗小妮博士、贾彬老师、王进敬老师及研修班同行的悉心指导与帮助．