基于无限元边界的土-桥墩数值模型适用性研究

申彦利,陈伟湖,王竹青

(1.河北工程大学 土木工程学院，河北 邯郸 056038；2.河北省装配式结构工程技术研究中心，河北 邯郸 056038)

0 引言

在地震工程学领域，考虑SSI效应的地震响应分析一直是热点课题，SSI效应分析主要涉及到土体与结构建模问题以及土体与基础相互作用的几何非线性问题等。近年来，许多学者针对考虑SSI效应的桥墩地震响应问题进行了研究。当桥墩的质量及高度较小时，刚性地基的假定对于桥墩的抗震性能分析影响不大，但随着桥墩高度以及承重荷载的不断增大，地基土对上部结构的影响逐渐显著。因此，为保证桥墩结构设计的合理性，以及桥墩地震响应分析的准确性，考虑SSI效应对高墩桥梁地震响应的影响至关重要。

申彦利[1]等利用有限元软件建立桥梁模型，在3种不同场地条件下分别输入不同地震波，分析桥墩结构的地震响应。为进一步研究SSI效应对结构地震响应的影响，王竹青[2-3]等建立了基于无限元边界的土-桥墩模型进行分析，结果表明，与假定刚性地基相比，考虑SSI效应时，结构的损坏更为严重。SUN L M[4]等基于振动台试验，研究了SSI效应对大跨度斜拉桥的群桩和混合土模型的地震响应的影响，研究表明，考虑SSI效应时，结构的加速度响应得到放大，对结构的纵向地震响应有明显影响。BYBORDIANI M[5]等基于有限元模型，分析SSI效应对邻近建筑物地震响应的影响，分析表明，对于高度、刚度较大的建筑物，受到SSI效应的影响不可忽视。

为有效分析SSI效应对高墩地震响应的影响，本研究建立了基于无限元边界的土-桥墩相互作用三维模型，通过与截断边界、参考边界模型的对比分析，验证无限元边界模型的有效性；基于无限元边界模型，对考虑SSI效应的高墩地震响应进行有效分析。

1 无限元边界模型的建立

1.1 无限元基本理论

在工程分析中，地基土常被视作一个无限扩展的分析区域。在建立与地基土相关的无限元数值模型中，一般采用截断边界模型，而这种模型通常由于截断比例的不同，会产生较大的截断误差，影响结构分析的结果。因此，为了提高计算效率与准确性，需要选用较大土体模型计算，来减小误差。在基于无限元模型的动力分析中，截断边界的最大缺陷在于，当地震波传递到模型边界时，地震波会折返，从而使能量再次传递给结构，对结构产生一定影响。然而，地震波在土体中的传播，实际上是向四周无限扩散的。因此，在无限元模型的动力分析中，需要尽可能保证分析区域受到反射地震波的影响是微小的。根据求解无限域问题的相关研究与经验可知，采用有限元和无限元相结合的模型在实际应用中更具优越性，因此本文利用有限元和无限元相结合方式，建立基于无限元边界的土-桥墩相互作用数值模型。

在动力分析时，无限元模型边界减少地震波反射影响的原理，以一维波的传导为例说明[6]。假设在无限元动力分析中，模型选用线性材料，动力平衡方程表示为：

(1)

式中:ρ表示材料密度；E代表弹性模量；x表示某一位置坐标点；u表示位移。

由式(1)可解得：

u=f(x±vt)

(2)

定义轴向x在某一点处的截面为有限元与无限元的分界截面，地震波在该截面上的形式可表示为u1=f1(x-vt)；反射波的形式则为u2=f2(x+vt)。则边界上的应力为：

(3)

在边界上设置一个阻尼边界条件：

(4)

式中:B表示阻尼常数。

为保证分析区域不受边界地震波反射的影响，则有：

E(f′1+f′2)+B(-vf′1+vf′2)=0

(5)

由于反射波不存在，则f2=0,f′2=0,代入公式(5)可解得：

B=ρv

(6)

因此，可以通过选择合理的边界阻尼常数，来模拟在无限元边界不发生地震波反射的情况。

1.2 数值模型建立

双柱式钢筋混凝土矩形空心桥墩模型的建立，墩高36 m，桥墩外轮廓截面尺寸为5 m×3.6 m,空心截面尺寸为2.6 m×1.2 m,承台尺寸25 m×18 m。土体模型部分，截断边界模型和无限元边界模型土体边缘尺寸均取180 m×140 m×54 m，参考边界模型土体部分边缘尺寸为1 000 m×850 m×350 m。采用三维实体单元模拟桥墩和土体单元模型，钢筋采用桁架单元。对于土体单元模型部分，采用有限元与无限元相结合的方式建立，即近场地和远场地分别采用有限元单元、无限元单元模拟网格构造。数值模型是基于桥梁相关抗震设计细则[7]中，相关模型的基本假定进行建立的。材料本构模型及基本参数如下。

a.混凝土本构模型及参数。

本文采用的混凝土材料本构为混凝土损伤塑性模型，其对应的材料参数如下：弹性模量30 000 MPa，泊松比0.2，密度2 400 kg/m3，屈服应力13 MPa，极限应力24.1 MPa，破坏应力2.9 MPa。

b.钢筋本构模型及参数。

钢筋的本构关系如图1所示，其对应的的具体参数见表1。

图1 钢筋应力-应变关系曲线

表1 钢筋材料参数表Table1 Materialparameterofsteelbar钢筋种类钢筋等级弹性模量/GPa泊松比密度/(kg·m-3)屈服应力/MPa纵筋HRB3352100.37850300箍筋HPB3002100.37850210

c.土体本构模型及参数。

本文土体材料本构采用线性Drucker-Prager模型，土体材料参数如下：弹性模量30 MPa，泊松比0.32，密度1 900 kg/m3，粘聚力30 kPa，内摩擦角26°。

d.阻尼的确定。

对于模型结构阻尼的确定，选用的是瑞利阻尼，其表达式为：

C=αM+βK

(7)

其中，α，β分别为相关系数，且α=ξ1ω1，β=ξ1/ω1，ξ1表示阻尼比，ω1表示固有频率。

确定阻尼时使用*Damping，由于分析时考虑到土与基础的相互作用，因此土的阻尼要比桥梁的阻尼大，故上部结构阻尼取值为3%，土的阻尼取为5%。

1.3 土体无限元边界的处理方式

本研究所建立的三维单元模型的无限元部分采用是CIN3D8单元。无限元模型节点编号按逆时针方向的编号规则进行，如图2所示。

图2 无限元的节点编号

由于采用CIN3D8单元的无限元部分不能在软件中直接建立，因此，需要在inp文件中对单元结点进行修改，再导入到模型中去[8]。在inp文件中改变无限单元部分的属性设置及单元节点编号，其中，无限单元的前4个结点所组成的平面，作为靠近有限单元的一面。有限元与无限元相结合的无限元边界模型如图3所示。

图3 土体无限元边界

2 基于无限元边界单元模型的有效性分析

为验证基于无限元边界单元模型的有效性，本研究建立了截断边界模型、参考边界模型、无限元边界模型3种不同边界的单元模型，进行数值模拟。分别对3种边界单元模型的等效应力、加速度、位移数值模拟结果及CPU计算时间进行对比分析，说明无限元边界单元模型的有效性。

2.1 3种边界模型

无限元边界、截断边界、参考边界数值模型如图4所示。其中，对于截断边界、参考边界模型的建立不再赘述。

(a)无限元边界模型

2.2 数值模拟结果对比

在模型中分别输入EI-Centro波作用，地震波的基本参数如下所示：PGA为3.417 m/s2，PGV为0.262 m/s，PGD为0.122 m，持续时间20.8 s。其中，将加速度调整为3.417 m/s2，所得到的数值模拟结果见图5。表2为3种边界模型对应的等效应力、加速度、位移的响应峰值及CPU计算时间。其中，分别将截断边界、无限元边界两种边界对应的等效应力峰值、加速度峰值、位移峰值与参考边界模型对应的各峰值进行对比，并计算得出各响应峰值的增幅情况。

3种边界模型的数值模拟结果对比曲线，如图5所示。

(a)位移响应

由图5各数值模拟结果对比曲线，以及表2中各响应峰值对比可知，无限元边界模型对应的等效应力、加速度、位移响应数据，与参考边界模型各数据较为接近；而截断边界模型与参考边界模型的结果存在较大偏差，其中，截断边界对应的峰值加速度约为参考边界模型的3倍。参考边界的计算时间最长，是截断边界计算所需时间的9.3倍，是无限元边界耗费时间的1.3倍。

表2 不同边界模型的响应峰值及增幅情况Table2 Peakresponseandincreaseofdifferentboundarymodels地震响应等效应力/Pa应力增幅/%加速度/(m·s-2)加速度增幅/%位移/m位移增幅/%计算时间/h参考边界626890—3.39—0.022—93无限边界71742514.444.0519.470.0249.1071截断边界589330-5.9910.512100.018-18.1810

综上所述，由地震响应参数结果以及CPU计算时间综合对比分析可知，基于无限元边界的单元模型更具有优越性，能够为考虑SSI效应的高墩地震响应分析提供模型依据。

3 考虑SSI效应的高墩地震响应分析

为研究SSI效应对高墩地震响应的影响，对于有限元整体模型来说，分别建立含有土的整体模型以及不含土的整体模型。含土的有限元模型即为上述在无限元边界模型的基础上，通过弹性模量等参数设置建立具有一定阻尼比的SSI体系。桥墩模型的墩高设置分别为6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36 m，以此进行模拟分析。通过有限元软件模拟在El-Centro波作用下，得到不同高度桥墩对应的地震响应数据，本文只针对墩顶位移峰值和加速度峰值响应进行分析。表3、表4分别为不同高度桥墩的位移响应峰值与加速度响应峰值及各自的增幅情况，图6为根据表3、表4中各响应数据，分别绘制出的相应对比曲线。

表3 不同墩高的墩顶位移峰值及增幅情况Table3 Peakdisplacementandincrementofpiertopwithdif-ferentpierheights墩高/m位移响应值不考虑SSI/mm考虑SSI/mm增幅/%621.68122.4753.67921.80623.0295.611222.00224.1849.021522.28125.63915.071822.80927.55420.802123.46230.13928.462424.4233.51437.242726.28137.51942.763029.9645.74952.703333.53755.4965.463637.73964.77971.65

由表3、表4及图6可知，不考虑SSI效应时，桥墩的墩顶峰值位移响应受墩高的影响变化趋势缓慢，而墩顶峰值加速度响应随墩高的增加，变化趋势较大；当考虑SSI效应时，随着墩高的增加，墩顶位移响应变化趋势较大，当高度为36 m时，考虑SSI效应与不考虑SSI效应相比，墩顶位移的增幅达到71.65%，而墩顶加速度响应变化趋势较为平缓。由此说明，考虑SSI效应时，由于土体发生变形，能够增大桥墩的墩顶位移，墩高越大，影响越明显；且由于土层的过滤作用，能够减小结构的自振频率，从而减小墩顶加速度。

表4 不同墩高的墩顶加速度峰值及增幅情况Table4 PeakAccelerationandincrementofpiertopwithdif-ferentpierheights墩高/m加速度响应值不考虑SSI/(m·s-2)考虑SSI/(m·s-2)增幅/%63.97043.9604-0.2594.00043.9334-1.67124.03183.9608-1.76154.07043.9704-2.46184.1563.942-5.15214.24733.9473-7.06244.3433.93-9.51274.4493.949-11.24304.6054.015-12.81334.8054.09-14.88365.0554.256-15.81

(a)峰值位移对比曲线

4 结论

本文利用有限元分析软件，建立基于无限元边界的三维桥墩有限元模型，验证其有效性；并进一步分析考虑SSI效应对高墩地震响应的影响。

a.采用有限元与无限元相结合的方式所建立的无限元边界模型，其模型分析结果与参考边界模型接近，分析结果精度较高，适用性更好。

b.由考虑SSI效应的桥墩地震响应分析可知，随着墩高的增加，桥墩的墩顶加速度峰值增长趋势较为平缓，但墩顶位移峰值变化较大。因此，会对结构产生不利影响。

c.对于承载较大、高度较大的结构，与土之间的相互作用不容忽视。因此，对于高层结构的抗震设计更应该考虑SSI效应。本研究对考虑SSI效应的高墩桥梁地震响应分析具有较高的参考价值。