核心素养视角下的高中应用题新特点及教学策略——以新人教A版高中数学必修第一册为例

华南师范大学附属中学(510630) 吴忠伟

核心素养为导向的其中一个观点,核心素养是学生在解决处理综合复杂问题当中才能体现出来.从新世纪人才培养的要求来看,对于学生综合实践能力的培养,要放置在综合实践活动中,应用题就是活动之一.王尚志教授指出,“当代数学显现出的一个特点就是从幕后走到台前,直接为社会服务,数学的地位进一步提高,数学和现实社会的关系更紧密.”

1 新版高中教材中应用题的新特点

1.1 应用题的内容选材与时俱进

上一版教材距今已有十几年,部分内容距离学生实际生活体验很远,不能被学生所理解,这些内容都已经删除.在新教材当中增加了与时代同步的如大数据、数字经济等方面的内容.

例1(新教材必修第一册第156 页) .人类已进入大数据时代.目前, 数据量已经从(1 TB=1 024GB) 级别跃升到PB(1 PB=1 024TB), EB(1 EB=1 024PB) 乃至ZB(1 ZB=1 024EB) 级别.国际数据公司(ⅠDC) 的研究结果表明,2008年全球产生的数据量为0.49ZB,2009年的数据量为0.8ZB, 2010年增长到1.2ZB, 2011年的数量更是高达1.82ZB,而到了2020年,预计全世界所产生的数据规模将达到2011年的44 倍.为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间x(单位：年)的关系,根据上述数据信息,从函数f(x)=kx+b和g(x)=abx中选择一个,并求出解析式.

1.2 应用题的内容选材具有教育性

数学教育不仅要帮助学生学习数学知识、掌握数学思维,也要帮助学生形成正确人生观、价值观,立德树人不是一句口号,在解决问题的同时获取教育信息,新教材起了很好的表率.

例2(新教材必修第一册第127 页).酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定：100 mL 血液中酒精含量达到20～79 mg 的驾驶员即为酒后驾车,80 mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30% 的速度减少,那么他至少经过几个小时才能驾驶?

1.3 应用题的数字内容具有真实性

“数据分析”是六个数学学科核心素养之一,数据是数学分析的基础,新教材屏弃了以往应用题中经过处理的“理想数据”,与实际数据接轨,保证了数据的真实有效.

例3(新教材必修第一册第154 页) .由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模, 某地的肉鸡产量在不断增加.2008～2018年的11年,上市的肉鸡数量如下：

时间/年2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018肉鸡数量/吨7690 7850 8000 8150 8310 8460 8620 8770 8920 9080 9230

同期该地的人口数如下：

时间/年2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018人口数/万100.0 101.2 102.4 103.6 104.9 106.1 107.4 108.7 110.0 111.3 112.7

(1)分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数;

(2)如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求,那么2018年是否能满足市场的需求?

(3)按上述两表的变化趋势,你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议?

1.4 应用题的跨学科内容大幅增加

被称为塑造未来的跨学科整合的课程(STEM)是科学、技术、工程、数学四门学科的简称,强调多学科的交叉融合,让学生超越学科的界限进行思考,新教材当中也适时引入跨学科融合的习题.

例4(新教材必修第一册第256 页).在地球公转过程中,太阳直射点在纬度随时间周而复始不断变化.

(1) 如图, 设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射点的纬度,φ为当地的纬度值,那么这三个量满足θ= 90° -|φ-δ|.某科技小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间,统计了连续400 天太阳直射点的纬度平均值(太阳直射北半球时取正值,太阳直射南半球时取负值).下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45 天测得的当地太阳高度角数据：

观测站A B C观测站所在纬度φ/度40.000 0 23.439 3 0.000 0观测站正午太阳高度角θ/度66.387 0 82.946 4 73.614 1太阳直射点的纬度δ/度太阳直射点的纬度平均值/度

请根据数据完成上面的表格(计算结果精确到0.000 1);

(2)设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y.该科技小组通过对数据的整理和分析, 推断y与x近似满足函数y=Asinωx,其中A为北回归线的纬度值,约为23.4392911,试利用(1)中的数据,估计ω的值(精确到10-8);

(3)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年,求一个回归年对应的天数(精确到0.000 1);

(4)利用(3)的结果,估计每400年中,应设定多少个闰年,可使这400年与400 个回归年所含的天数最为接近(精确到1).

1.5 增加应用题的开放题型

《普通高中数学课程标准(2017 版)》提出既要重视教,更要重视学,促进学生学会学习.应用题的开放性设计让学生逐步学会提出问题,更能理解数学问题的本质.

例5(新教材必修第一册第161 页) .如图, 函数y=f(x) 的图象由曲线段OA和直线段AB构成.(1)探索函数f(x) 的单调性; (2)提出一个能满足函数f(x)图象变化规律的实际问题.

2 应用题的解题教学策略

2.1 积累生活或学科语言情境转化为数学语言情境的储备知识和经验

比如例1 的信息量大,而且都是计算机类的,可以转化为下面一道数学题：因变量y(ZB)与自变量x(年)的关系如图所示,

x 2008 2009 2010 2011…2020 y 0.49 0.8 1.2 1.82…80.08

根据上述数据信息,从函数y=kx+b和y=abx中选择一个,并求出解析式.

比如例2 中“至少经过几个小时才能驾驶”,转换成“至少经过几个小时后,100 mL 血液中酒精含量低于20mg”.

比如例4 第4 小问“每400年中, 应设定多少个闰年,可使这400年与400 个回归年所含的天数最为接近”, 这个问题需要了解闰年的来由, 从可查资料知,“闰年”是为了弥补因人为历法规定造成的年度天数与地球实际公转周期的时间差而设立的, 补上时间差的年份为闰年, 因为-365) = 96.88, 所以应在400年中设定97 个闰年.

2.2 提高数学软件熟练程度,增强辅助教学的力度

目前中学常用数学软件有几何画板、GeoGebra、R 软件等,由于新版教材中规范了应用题内容在数字部分的真实性,导致运算量大,需要计算器或数学软件辅助.

例6(新教材必修第一册第95 页).要建造一个容积为1200 m2,深为6m 的长方体无盖蓄水池, 池壁的造价为95元/m2,池底的造价为135 元/m2,如何设计水池的长与宽,才能使水池的总造价控制在7 万元以内(精确到0.1 m)?

分析：设水池总造价为y元, 水池长度为xm, 则y= 1140x++27000, 画出此函数和函数y= 7的图象,如图所示(用几何画板作图)

由图可知,若y≤7,则x应介于[xA,xB]之间,xA,xB即为方程1140x++ 27000 = 7 的两个根, 解得xA ≈6.4,xB ≈31.3.

2.3 开展开放性应用题的训练,培养问题意识

在例3 第2 小问中,左侧曲线段OA符合指数型函数(如函数y=ax2)的特征, 与物理的匀加速现象符合,直线段AB则符合物理的直线匀速运动现象,故可以在很多个角度提出满足函数f(x)图象变化规律的实际问题,当然,也可以有下面的变式：

例7因防疫需要,学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒,药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与药熏时间t(小时)成正比;当药熏过程结束,药物即释放完毕,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)达到最大值.此后,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)的函数关系式为y=已知从药熏开始,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)关于时间t(小时)的变化曲线如图所示.据测定,当空气中每立方米的药物含量不高于0.125 毫克时,学生方可进入教室,那么从药熏开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?

3 结束语

研究核心素养的国际权威机构世界经济合作与发展组织(OECD)将素养定义为：运用知识、技能和态度满足特定情境中复杂需要的能力.它所组织的国际学生评价项目(PⅠSA)也主要测试学生在现实情境下运用数学解决实际问题的表现.史宁中教授提出数学学科核心素养的本质就是“会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界”.世界在变,数学也在变,数学教材的内容也随之改变.在核心素养的视角下研究与现实世界密切相关的应用题教学有着重要的价值.