例析数列有界性证明问题的解题策略

浙江省湖州市菱湖中学(313018)吴凯

浙江省湖州市教育科学研究中心(313000)王勇强

数列是中学数学中最经典的内容之一,具有丰富的内涵和外延,特别是数列有界性证明问题,可以沟通函数、不等式、数学归纳法、导数、积分等内容之间的联系,常受到高考命题者的青睐.在数列有界性的证明中,通常会运用数学归纳法和放缩法这两大主要方法,相对于数学归纳法而言,放缩法的思想方法更加灵活多变,其中包含:放缩为等差(等比)数列、放缩为裂项相消、放缩为错位相减等常规数列求和模型方法,除了要熟练运用数列问题的基本方法,如构造等差等比数列、迭代、累加、累乘等基本方法之外,还需要能够综合运用执果索因的分析方法,采用逆向思维,巧妙进行拆项、添项、留项等解题策略.本文将针对精度要求较高的不等式放缩证明问题来研究数列有界性的解题策略,以供读者参考.

策略1 逆求通项,对比分析

点评通过逆向反求通项,可有效抓住求和的本质原因,对比分析左右两边通项与通项之间的关系,找到等价命题,它是解决复杂数列放缩题型的一种重要策略.

策略2 先猜后证,构造界限

策略3 构造函数,运用性质

策略4 切线放缩,以直代曲

图1

图2

图3

点评将数列看成特殊的函数,利用函数思想,考虑原函数在某个特殊点位置处的切线方程,以直代曲形成放缩,有时为了计算简便,也可以考虑过原点且数值较简洁的相离直线代替切线作为界限,在不失精度的情况下,亦能实现证明.

结束语

除了以上四种解题策略,数列有界性问题还可以从定积分的角度来求证.但是对于定积分不做高考要求的部分省份而言,考生有必要学习并掌握以上这些初等的解题策略以开阔眼界,提升分析问题与解决问题的能力.笔者谨以此抛砖引玉,以期精妙之法.另外,教师在教学中,若能将如何发现和提出问题、如何分析数学问题、如何构建研究问题的方法和策略以及掌握解决问题的基本思想方法等作为主要的教学目标,尽量让学生每解完一题,就努力去思考和总结,力求加深对数学核心概念的理解和解题思想方法的感悟,就会在解题中学会解题,从而真正提高教学效率[1].