注重数学思想方法 提升推理论证能力

贵州 胡道成

物理学是一门定量的精密科学，物理学的许多概念既有质的规定性，又往往表现为特定的可以测量和计算的物理量。物理学的基本定律与公式，正是物理量之间函数关系在一定条件下的规律性反映，这说明物理学和数学的关系极为密切。数学作为研究物理学的一种重要方法和工具，为物理学提供了描述物理概念和规律的简洁、精确的表达式，促进了物理规律和理论的建立，为分析和解决具体的物理问题提供了运算工具。高考评价体系出台后，原考试大纲中提出的“分析综合能力和应用数学处理物理问题能力”的相关要求已融入到了“推理论证能力”之中，也就是“物理运算能力”现在已被“推理论证能力”所取代。在高考命题从“能力立意”转变为“能力立意和素养导向”的背景下，高考二轮复习必须高度关注数学思想方法，只有顺利跨越物理运算障碍，才能切实提升学生的推理论证能力。本文结合具体实例谈谈数学思想方法在物理推理论证过程中的应用，以期抛砖引玉。

一、用递推法实现推理论证

递推法在物理运算中经常被用来解决物体与物体发生多次相互作用后的问题。即当问题中涉及的相互作用过程较多、且有某种规律时，可根据相互作用的特点应用数学思想将所研究的问题进行归纳，然后找出通式，再根据通式进行推理论证，得出正确结论。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论，再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论进行推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是找出相邻几次作用的递推关系式，所以不能盲目埋头计算，而要善于抬头思考，以便发现其中蕴含的基本规律，及时走出繁杂运算的泥潭。

【例1】(2020·全国卷Ⅱ·21)水平冰面上有一固定的竖直挡板，一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上，他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板，运动员获得退行速度；物块与挡板弹性碰撞，速度反向，追上运动员时，运动员又把物块推向挡板，使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后，运动员退行速度的大小大于5.0 m/s，反弹的物块不能再追上运动员，不计冰面的摩擦力，该运动员的质量可能为

( )

A.48 kg B.53 kg C.58 kg D.63 kg

【答案】BC

二、用图像法通过数形结合实现推理论证

图像作为一种重要的物理语言贯穿在整个物理学知识体系中。图像作为信息的载体和处理信息的重要工具，能清晰地表达出各物理量之间的逻辑关系，反映物理量随时间或空间的变化规律及发展趋势，可以承载定量计算或定性与半定量分析类物理问题，历来是高考命题的主要信息呈现方式，容易实现对学生理解能力、创新能力、推理能力的考查。近年来命题专家通过创设新情境而命制出一些学生从未见过的非常规图像问题，以便在信息的提取与处理中考查学生的理解能力、创新能力与推理能力。备考对策是把图像法作为一种重要的推理论证方法来看待，引导学生从以下几个方面进行突破：一看轴(弄清坐标轴表示的物理量)，二看线(弄清物理量变化趋势)，三看斜率(斜率的物理意义)，四看面(面积的物理意义)，五看截距(横轴和纵轴上的交点)，六看点(图线交点与转折点)。从图像中准确地提取有用信息，并与题目所给的具体物理情境和物理过程相对应，以便结合实际运用物理规律进行综合分析，既重视定量计算，也重视定性和半定量分析，实现严密而快捷地推理论证。

【例2】(2020·全国卷Ⅰ·17)图1(a)所示的电路中，K与L间接一智能电源，用以控制电容器C两端的电压UC。如果UC随时间t的变化如图1(b)所示，则下列描述电阻R两端电压UR随时间t变化的图像中，正确的是

( )

(a)

A

【答案】A

三、用一次函数处理实验题的推理论证

【例3】某兴趣小组设计如图(b)所示的电路测金属丝的电阻率和定值电阻的阻值。

(1)用螺旋测微器测量金属丝的直径如图(a)所示，其读数为________mm；

(a)

(2)请用笔画线代替导线，按实验电路图(b)，完成图(c)的实物连线；

图4

四、用分类讨论的数学思想来实现推理论证

近年来高考物理题出现了一些“结构不良”问题，由于试题的情境内容、初始条件、目标结论和解题途径等具有一定的不明确性或开放性，或没有足够的信息来解决问题，这类试题需要学生充分利用思维的发散性和创造性，以物理知识为依据，对研究对象或过程形成猜想与假设并进行分类讨论，从而使充满不确定性的复杂问题得到清晰、完整、严密的解答，这样既有利于引导学生深入了解物理现象，理解物理概念和规律，掌握物理公式的使用条件，同时还可以消除头脑中的一些片面或错误的认识，以考查学生的物理想象能力和发散思维能力。在解决具体的物理问题时，一般可以从研究对象、已知条件、物理过程、物理状态和所得结果等方面去进行分类讨论，结合物理原理和规律对问题进行求解。

( )

图5

【答案】C

图6

五、利用三角形相关知识实现直观、简捷的推理论证

在高中物理解题过程中，常常要用到三角形的有关知识，如三角函数关系、勾股定理、正弦定理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形，尤其处理矢量(力、速度、电场强度等)的合成与分解问题时，只有通过画出矢量三角形图示将问题直观形象地展示出来，才能进行具体的分析与运算。常见的带电粒子在电场和磁场中的运动问题、几何光学问题、小船渡河问题、平抛运动(类平抛运动)问题、地面上接收卫星信号问题等都需要进行作图，然后利用解三角形的方法结合相应的物理规律进行求解。熟练运用三角形知识解题具有直观、简捷的优点，矢量运算中的平行四边形定则最终也会转化为解三角形的问题，所以这是高考解题过程中最常用的数学方法，我们要高度重视三角形知识在物理解题中的灵活运用。

【例5】如图7所示，在光滑定滑轮C正下方与C相距h的A处固定一电荷量为Q(Q>0)的点电荷，电荷量为+q的带电小球B用绝缘细线拴着，细线跨过定滑轮，另一端用适当大小的力F拉住，使B处于静止状态，此时B与A点的距离为R，B和C之间的细线与AB垂直，BC长为L。若B所受的重力为G，缓慢拉动细线(始终保持B平衡)直到B接近A的正上方，静电力常量为k，环境可视为真空，电荷量为Q的点电荷与B均可视为质点，则下列说法正确的是

( )

图7

A.F逐渐减小

B.F逐渐增大

C.B受到的库仑力大小不变

D.B受到的库仑力逐渐增大

【答案】AC

图8

六、应用导数求物理极值进行推理论证

应用导数求物理极值问题可以拓展学生的解题思路，开阔视野，展示物理和数学的密切关系，提高学生应用数学处理物理问题的能力，还可以体现数学学科的工具性和实用性，加强学科间的渗透，强化对物理运算能力的考查。而且有些题目不通过求导数根本无法解答，所以复习阶段有必要引入一些用导数求物理极值的具体问题，以便学生能熟悉这种解题思路，提高学生的推理论证能力。

【例6】如图9所示，竖直放置的光滑“T”形架上，物块A、B分别套在水平杆和竖直杆上，且用一根长为L的不可伸长的轻绳相连，A、B质量相等且均可看作质点。开始时细绳水平伸直，A、B静止。现由静止释放B，则当物块A运动到竖直杆位置的过程中，物块B的最大速率为

( )

图9

【答案】D

总之，数学思想方法是解决物理问题的基础和关键。将数学知识熟练的应用到物理解题过程中是新高考对学生推理论证能力的必然要求，在二轮复习阶段，教师有必要准备一些典型的、能充分体现数学思想方法在物理解题中应用的问题，通过教师的点拨、启发引导让学生积极地将数学知识应用到物理解题中，充分进行交流、讨论、拓展思路，逐渐形成解决方案，基于证据和严密的推理得出结论。注重“对称法”“逆向思维法”“假设法”“极值法”“讨论法”“估算法”“近似法”等物理方法与数学思想方法的有机结合，建构起解决物理问题的基本思维图式，有利于培养学生的创造性思维能力、物理运算能力和推理论证能力。

本文为2019年贵州教育科学规划立项课题“核心素养视域下高中学生物理能力培养的实践研究”(编号：2019B025)的课题研究成果之一。