在推理中触及数学本质，在想象中发展几何直观

何静 刘朝建

[摘 要]在学生已经预学了新知的前提下，教学就不能仅仅停留在知识层面。以“长方体的认识”为例，借助操作将学生的思维引入深处，使学生触及数学本质。

[关键词]长方体;数学本质;几何直观

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）20-0061-03

如果学生已经预学了新知，那教师在课堂上还教吗？怎么教？教什么？把新授课上成复习课？把新授课上成练习课？……这是我一直以来的困惑。于是，在教学“长方体的认识”之前，我给学生布置了一项作业——“我为长方体代言”，让学生在寒假里通过自学和制作长方体框架图等活动，对长方体的特征有所了解。但是，学生对长方体就有了从数学角度出发的认识了吗？教学时应该如何基于学生已有的活动经验，使学生能从数学的角度对长方体有更深刻的认识？学生的几何直观在这节课上应该得到怎样的发展？这节课后究竟应该给学生留下什么触及数学本质的东西？为了更好地回答这些问题，我在“长方体的认识”的教学中将“在推理中触及数学本质，在想象中发展几何直观”设为教学的主要目标。

一、追根溯源，初识立体

1.感受点、线、面、体的关系

师：如果一个点沿着同一方向运动，能形成什么？

生（齐）：形成一条线段。

师（PPT演示）：我们可以把这个过程叫“点动成线”。闭上眼睛想一想，如果一条线沿着一个方向平移，能形成什么？

生（齐）：形成一个长方形（或正方形）。

师（PPT演示）：线段沿着一个方向平移形成长方形，那我们就说“线动成面”，这个面可能是长方形，也可能是正方形。如果让这个长方形在空中垂直落下，长方形扫过的空间，又会是一个什么图形呢？（长方体）你是怎么想到的？可以用这本书代替这个长方形试一试。

师（PPT演示）：垂直落下的长方形扫过的空间果然是一个长方体！这节课我们就一起来认识长方体。

2.认识顶点、棱、面

师：刚刚我们经历了“点动成线” “线动成面”“面动成体”，看来点、线、面是研究立体图形的重要元素。

师（手持长方体学具）：在长方体中，这些点叫顶点，这些线叫棱，这些面叫长方体的面。

【设计意图：“长方体的认识”是学生认识立体图形的初始课，“点动成线”“线动成面”“面动成体”的演示，能让学生了解立体图形的演变过程，对学生建构立体图形框架，了解点、线、面、体间的关系都有着重要的作用。】

二、化繁为简，探其本质

师：在寒假里大家都完成了作业“我为长方体代言”，也制作了长方体框架，接下来就进行一个小测试。

1.生生对话，辨析面的特征

PPT出示：长方体有（ ）个面，这些面都是（）形，它们相对的面大小（ ）。

生1：长方体有6个面，这些面都是长方形，它们相对的面大小相等。

生2：我不同意！在长方体中，有时有2个面是正方形。长方体的6个面不一定都是长方形，有时是正方形。

师：也就是可能6个面都是长方形，也有可能是2个面是正方形，4个面是长方形。

师：不用长方体实物，能用你的双掌把这6个面表示出来吗？

师：请说明相对的面是大小相等的。

（引导学生利用“面动成体”说明相对的面由平移而来，所以大小相等）

师：刚刚大家都说到了“平移”，平移后物体的特点是——大小、方向、形状不变，我们一起来平移看看。

（学生闭上眼睛边想边用手势演示）

2.师生合作，明确顶点的特征

PPT出示：长方體有（）顶点。

生3：8个 。我是一个个数出来的。

师：每次都要拿一个长方体来数吗？谁能根据刚刚学习的知识说明长方体有8个顶点？

生4：长方形有4个点，往上平移时，得到的面也有4个点，平移的过程中没有增加过，所以一共8个。

师：这8个点可不可以是左右两个面的顶点相加？或前后两个面的顶点相加？

师：你们都同意长方体有8个顶点？可是长方体有6个面，每个面有4个顶点，是不是应该有24个顶点？

生5：长方体中的这三个面共用了一个顶点，你刚刚算了3次，24还要除以3才行！

生6：我来总结，长方体有6个面，每个面有4个顶点，一共有24个顶点，三个面共用了一个顶点，算了3次，24要除以3，等于8 。

师：看来要求有多少个顶点，不仅仅可以通过数的方法，还可以通过找点与面的关系推理得到。

3.层层深入，探究棱的特征

PPT出示：长方体有（）条棱，这些棱分别叫（）、（ ）、（）。

生7：长方体有12条棱，这些棱分别叫长、宽、高。

师：你是用什么方法知道长方体有12条棱的？（数出来）除了数还有其他方法吗？

生7：长方体有4条高、4条长，还有4条宽，一共就有12条棱。

生8：长方体有6个面，每个面有4条边，一共就有24条棱，因为一条棱算了2次，所以只有12条棱。

师：一条棱算2次就是说两个面共用一条棱，一条棱连接了两个面。

生9：我还有一种方法，一共有8个顶点，每个顶点有3条边，就有24条棱，但是每条棱算了2次，也是12条。

师：同学们用不同方式得出有12条棱。能求长方体的棱长总和吗？

生10：长方体有4条高、4条长、4条宽，把它们加起来就行了。

生11：长加宽加高的和乘4。

师：这里的4是什么意思？

生12：4条高、4条长、4条宽。

师：这里的4仅仅是指4条高、4条长、4条宽吗？

生13：还表示有4组长、宽、高。

师：通过刚才的探究，大家对长方体有了更深的认识，知道顶点个数可以推导出棱的多少，知道有6个面可以推导出顶点的多少。看来点、线、面是相互联系和相互依存的。

【设计意图：通过自学小测试，教师能够了解学生学习的起点，找准教学的切入点。

长方体有8个顶点、12条棱、6个面，每个面都是长方形，相对的两个面大小相等，这些知识对五年级的学生来说并不难，因为他们已经初步具有脱离实物进行空间想象的能力。学生用双掌比画长方体的“上下”“左右” “前后”六个面时，能调动多种感官参与想象，让具体与抽象之间无痕过渡。

教师仅仅是让学生通过学习记住长方体有“8个顶点，6个面，12条棱”，还是帮助学生通过推理在头脑中形成一个三维空间的立体体系？如果仅仅记住这些，顶点、棱、面在学生头脑中是孤立的、单一的知识点。而通过推理从多个角度感悟顶点、棱、面之间数量与形状的关系，通过推理论证发现长方体特征背后的一些道理，学生才能既发展空间观念，又感受到数学的严谨与好玩。为思维而教，发展学生的空间观念正是教育的目标所在。】

三、视动结合，发展三维

1.动手操作

师（出示长方体框架）：这个框架最多可以去掉多少条棱，或者是最少要保留多少条棱，你依然能感受到这个长方体的大小？拿出你们做的长方体框架，拆一拆，说一说。

师：很多同学都说只要3条棱就可以确定长方体的大小了，确定吗？（确定！）真的确定？（确定！）不改了？（不改了！）

师（出示2条长和1条宽）：这是几条棱？（3条）行吗？

生1：三条棱需要的是长、宽、高。

生2：至少要保留一组长、宽、高，才能知道这个长方体的大小。

出示：

师：闭上你的眼睛，在脑中想出1条长、1条宽，形成1个面，再想出1条高，从而形成1个长方体。

师：长和高只能组成前面吗？（前面和后面）

师：左右两个面是由哪2条棱组成的？（宽和高）长和宽呢？（上下面）

师：通过刚才的想象，说说你的感受。

生3：我现在一闭上眼，脑海中就有一个长方体。

生4：感觉长方体好简单！

2.展开想象

师：在这8幅图中，如果以图①为底面，请找出另外5个面，使它们成为一个长方体。

师：应该选哪一幅图作为前面？说说你的理由。先在脑中想，再用手中的学具摆一摆。

师：上面该摆在哪里？

（根据学生的回答，教师把⑧号图放在不同的四个方向让学生想象）

师：其实你们刚刚摆的这幅图就是长方体的展开图。

师：现在大家都是魔法师，闭上眼睛，让前面“站起来”，后面也“站起来”，左右也“站起来”，上面“盖上去”，成了一个长方体吗？

【设计意图：该环节的两个活动重在帮助学生巩固提升，建立空间观念。其一，利用“拆”，让学生把握长方体的核心要素。先利用剩下的3条棱（长、宽、高）想象长方体的大小，再根据长、宽、高构建一个长方体，从而发展学生的空间思维能力。其二，动手操作对学习几何而言是一个重要方法，但是没有经过思考或没有思维挑战的动手操作，如行尸走肉，沒有价值。让学生在8个面中选出6个面后拼出一个长方体的平面展开图，学生既感受到了面与棱之间的关系，又体会到相对的面相等。最后让图形“站”起来，学生在三维图与展开图之间切换与想象，拓展和提升了空间想象力。】

四、维度变化，回味几何

师：课前我们说的“点动成线”的线只有长短，用1个数就可以描述，是一维的。“线动成面”的面是由长和宽来描述，需要2个数，所以是二维的。那长方体是几维的？（三维）需要哪些数来描述？（长、宽、高）

师：今天我们只学习了长方体，有同学很纳闷——为什么不学正方体呢？

生1：学了长方体就不需要学习正方体了，学习长方体后我就已经认识了正方体。

师：对啊，正方体其实就是特殊的长方体。这节课的学习与你们课前的自学相比较，有哪些不一样的感受呢？

生2：通过今天的学习，我对长方体的认识更深入了！知道从一个顶点出发的三条棱就可以确定一个长方体。

生3：自学的时候我只知道长方体的一些表面知识，比如长方体有6个面、8个顶点、12条棱，现在还知道了它们的内涵和特征。

【设计意图：维度变化，回味几何， 前后照应。课前，“点动成线”“线动成面”“面动成体”在学生的头脑中已建立表象，随着教学的推进，学生对长方体有了深入的认识。课末，利用“点动成线”“线动成面”“面动成体”揭示“一维”“二维”“三维”，学生不仅看到表象，更能探其根本。

学生通过这堂课的学习，头脑中留下的不仅仅是“特征”，还留下了研究的方法。学生对 “为什么不学正方体？”的回答就是最好的印证。】

综上，教学不能仅仅停留在知识层面，想象是发展和培养空间观念的重要途径，推理可以让学生触及数学的本质。推理与想象并行，思维与空间同在！

（责编 金 铃）