单元教学视域下的数学新授课设计理念

【摘 要】学科核心素养的提出为课堂教学带来了新的挑战。教师在进行数学新授课教学设计时，要立足单元教学，关注相关学习内容在不同课时教学之间的整体设计，关注教学内容的本质、蕴含的思想以及学生核心素养的培养。研究者以“同底数幂的除法”教学为例，阐述单元教学视域下的数学新授课的设计理念：形成结构式的知能系、生成启发式的问题链、设计进阶式的活动序。

【关键词】单元教学;知能系;问题链;活动序;核心素养

【作者简介】徐贤凯，高级教师，上海市青浦区实验中学东校区数学教研组组长，青浦区初中数学学科兼职教研员，上海市双名工程“攻关计划”后备人选。 数学素养是当前数学教育研究的一项重要课题，学科核心素养的提出为课堂教学带来了新的挑战[1]。数学教学活动是一个预设与生成相结合的过程，而教学设计是预设的主要形式表现[2]。但在实际教学中，很多教师往往只关注单一课时内容的教学设计，而容易忽视不同课时内容之间的关联，缺少立足于单元教学视域的教学设计。相关学习内容在不同课时教学之间缺乏整体设计，以单元、主题、模块為单位的结构化研究与实践关注的较少，不利于学生形成完整的知识链条和结构体系，不利于学生学科核心素养的发展[3]。单元教学倡导在单元整体内容中把握教学内容，关注教学内容的本质、蕴含的思想以及学生核心素养的培养，对拓展教师教学视野，提高教学效益具有重要作用。笔者以沪教版数学七年级第一学期“同底数幂的除法”教学为例进行研究。

一、形成结构式的知能系

每个数学知识都不是孤立存在的，它们之间存在着一定的逻辑性和关联性。教师在进行教学设计时需对数学教学内容进行结构化的梳理，关注教学内容与学生已学的知识、后续需要学习的知识之间的联系。根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》和初中数学教材的内容分布，梳理学科、单元、单课的三级结构式知识体系，厘清学习内容的知识脉络，建立具有结构式相关联的知识体系。同时，厘清数学知识背后所隐含的数学思想与方法，掌握数学学习的能力要求，在日常的教学过程中有意地加以落实，形成具有结构和相关联的知能体系，实现数学学科教学的价值。

（一）关注教材单元的前后关联

基于单元教学视域的知识梳理，教师要根据教材中数学知识内容的编排，将几节内容组成教材单元，不仅要关注本节教学内容在该单元下的教学地位，还要关注同一教材单元下的几节课之间的前后关联，从单元教学的视角分析这一单元的教学重点、难点和关键点。

从数学知识内容的编排来看，“同底数幂的除法”“单项式除以单项式”“多项式除以单项式”都属于“整式的除法”这一单元的内容。本单元的主要问题是如何进行整式的除法。

要解决“多项式除以单项式”的问题，比如计算（9a6-6a4+12a3）÷3a3时，就需要先解决“单项式除以单项式”9a6÷3a3的问题;要解决“单项式除以单项式”的问题，就需要先解决“同底数幂的除法”的问题。本单元的三节内容其实就是一个逐步转化深入的过程（如图1）。整式的除法法则是以幂的运算性质为基础的，所以学好本单元内容的关键是正确掌握幂的除法运算性质。理解幂的除法运算和其指数运算间的联系是学习本单元内容的难点。

（二）厘清学习专题单元的前后关联

由于数学知识的逻辑性，在编排教学内容时需按照一定的章节顺序开展教学。但在教学中，教师需从中观的视角跨单元、跨章节地对本节知识所关联的内容进行研究，抓住这些跨单元、跨章节的核心问题，以问题解决活动为主线进行教学设计。

沪教版数学七年级“整式”这一章分为“整式的概念”“整式的加减”“整式的乘法”“乘法公式”“因式分解”“整式的除法”六个单元。其中整式的加减、乘法、除法都属于整式的运算。而“同底数幂的乘法”“同底数幂的除法”“整数指数幂及其运算”这三节课分别属于第九章“整式的乘法”“整式的除法”和第十章分式下的“分式的运算”的教学内容，虽然这三节课不属于同一个教学单元，但这三节课完整展现了整数指数幂从正整数的和的运算到正整数的差的运算，最后到整数的逐步扩展的过程。整数指数幂运算法则的符号表述，以及为了让运算法则在更广范围内适用而做的规定都是与这三节教学内容有关联的，而研究这两点有助于学生深度理解知识。因此，在设计“同底数幂的除法”这一课时的教学时，就不能孤立的来看，需要关注这三节课的前后关联。教师可以从以下这两方面设置探究性问题，形成学习小专题，培养学生解决问题的能力。

1.法则的符号表述

这三节课在运算法则的符号表述上是有一定区别的，教师在进行“同底数幂的除法”这一课的教学设计时，需要关注三个法则表述的不同。

①同底数幂的乘法法则：am·an=am+n（m、n都是正整数）。

②同底数幂的除法法则：am÷an=am-n（m、n都是正整数，且m>n，a≠0）。

③整数指数幂及其运算：am·an=am+n（m、n为整数，a≠0）。

从以上式子可以看出，②式的学习可以由①式类比、猜想、论证得到，而③式是对①②式的推广。值得注意的是，③式并没有再给出新的同底数幂的除法法则am÷an=am-n（m、n为整数，a≠0），因为am·an=am+n已包含了同底数幂的除法法则，这里m、n为整数。

在这三节课的教学过程中，由于学生已经学习了同底数幂的乘法法则，有了一定的幂的运算的学习基础，因此比较容易理解从乘法到除法的运算。而对于字母m、n取值的限制是与之前的同底数幂的乘法有区别的，这是在后两节课的教学中需要关注的地方。厘清三节课的区别与联系，有利于培养学生推理论证能力，形成严谨的思维。

2.两种规定的由来

为了让运算法则能在更广的范围内使用，“同底数幂的除法”“整数指数幂及其运算”都对一些特殊情况做了规定。在教学“同底数幂的除法”这一课的内容时，教师需关注以下规定的由来。

①同底数幂的除法：a0=1（a≠0）。

②整数指数幂及其运算：a-p=1ap（a≠0，p是自然数）。

教师引导学生观察同底数幂的除法法则am÷an=am-n（m、n都是正整数，且m>n，a≠0），并引发学生思考：m是否可以不大于n，即当m=n时会怎么样？当m

事实上，这就产生了上述的两个规定。

①当m=n时，根据同底数幂的除法法则am÷an=am÷am=am-m=a0，由除法的意义可得am÷am=1。要使这两种不同的计算方法所得的结果一样，于是就产生了如下规定：任何不等于零的数的零次幂为1，即a0=1（a≠0）。为帮助学生理解和应用此规定，在教学中，教师让学生体会这样的过程是很有必要的。同时，对学生学习②式也起到铺垫作用。

②当m

综上所述，m、n可以扩展为整数指数幂。

二、生成启发式的问题链

按知能内容体系生成学生学习问题，根据初中数学各模块的学习要求，形成数学学科整体的核心问题为第一层级问题，将整体性的问题分解成与学习相关的数学学科单元的主干问题为第二层级问题，在此基础上深入研究各单元下每节课的学习的关键问题为第三层级问题，这三个层级问题由大到小逐步深入，形成相关联问题链。

在单元教学视域下，问题链的设计需关注以下三个方面：一是要有关联性，每一节课依据学习内容形成相关的关键问题，关键问题间要有思维和逻辑的关联，有利于学生由点到面、由表及里、由浅入深、由表象到本质地理解学习内容;二是要有趣味性，以问题激发学生学习的好奇心，以问题引导学生思考;三是要有探究性，以问题的深入导向学生思维的深入，提升学生的思维品质，指向深度的学习。

例如在教学“同底数幂的除法”时，当学生能给出同底数幂的除法的符号表示为am÷an=am-n（m、n都是正整数）后，可以设置以下问题链，探索m、n的限制条件，引发学生对m、n大小关系的探索，最后得出零次幂的规定。

问题1：对于m、n还有其他的限制吗？

问题2：除了对于m、n的限制，还有其他限制吗？

问题3：除法法则的条件为m>n，如果m=n时，能得到什么结果？

问题4：am÷am其实是两个相同的数相除，其结果是什么呢？

问题5：要使这两种不同的计算方法所得的结果一样，应如何规定呢？

以上问题链的设计关注同底数幂的除法法则中指数m、n的限制条件，这与之前学习的同底数幂的乘法法则，和后续要学习的整数指数幂及其运算在知识上有前后关联。问题链的设计激发学生的学习兴趣，同时该问题的研究指向法则的推广应用，让学生在问题3与问题4的探究过程中体会a0=1这一规定由来的合理性，培养学生的数学推理和理性思维。这样依据知能体系形成基于单元教学本质学习的问题，能从小到大、由浅入深建立起具有逻辑关系的启发式的问题链。

三、设计进阶式的活动序

教师依据各问题链，精心设计探究与解决问题的学习活动。按照数学学科学习的知识内容体系，生成学生学习问题，帮助学生解决学习问题，进而设计与之对应的探究发现式的学习活动。学生的探究学习活动可以由大到小，逐步细化;由数学学科学习的外围走向内核，逐级推进;以活动体验为主要抓手推进学生的学科学习，进阶深入。学生在这样的活动中可以不断积累经验，发展创新意识。活动方式可以采取个人思考与小组合作相结合的方式，也可以利用学习单或者表格等作为支持工具，促进不同学习层次的学生积极参与活动，提高学习的效益。

在代数教学中，教师应让学生经历运算法则、公式的形成过程，使学生领悟法则、公式的意义。同时，教师还应将教材中所隐含的数学思想方法逐渐渗透在教学中，使学生在学习数学知识的同时领悟其中的数学思想方法。以下以“同底数幂的除法”的活动设计为例。

练习：计算下列各式。

（1）（-2）12÷（-2）10

（2）a7÷（-a）5

（3）（-ab）5÷（ab）2

（4）（a-b）8÷（b-a）3

以上教学设计除了让学生熟练掌握同底数幂的除法法则，还让学生体会到法则中的字母a不仅可以代表一个数，还可以代表一个整式，体现字母“代”数的一个渐进的过程。在具体的活动中渗透数学思想方法，学生逐步体会到代数的思想，提高了抽象表述和抽象思维的能力。

数学课程目标的集中体现是数学学科核心素养，数学学科核心素养是在数学学习和应用中逐步形成的，它不仅需要学科知识，还需要有不同情境下的实践经验与智慧，具有阶段性、连续性和整合性[4]。在教学中，教师需要对本单元知识有整体的认识，关注各章节之间的相互联系。在单元教学视域下，挖掘每一节教学内容所蕴含的培育数学学科核心能力的素材。数学教学的实质就是数学学习过程的教学，在教学中需突出过程，以课堂典型活动的设计作为关键，体现数学学科核心能力的培育。如何在有限的课时内为学生创设必要的活动，提供必要的学习经历，这直接关系到学生数学学科核心素养的形成。

在“同底数幂的除法”的教学中，涉及用文字语言和符号语言来表达同底数幂的除法法则，让学生用数学语言和符号语言来展示自己的思维方式，有助于培育学生的数学表达的核心素养。在该教学内容的应用环节，学生合理运用法则、公式，依据算理进行运算求解，并能根据问题条件，寻求合理的求解途径与方法，提高了学生运算的核心素养。

每节教学设计需要关注知识从何而来、知识是什么、知识从何而去，让学生在教学活动中经历这三个完整的阶段，感知知识的来龙去脉[5]。正如数学教育家傅种孙先生所说的：“不在知其然，而在知何由以知其所以然。”核心素养统领下的数学教育注重数学的整体性、思想的一致性、逻辑的连贯性和思维的系统性，这也是单元教学设计的初衷[6]。

在单元教学视域下，梳理学科的知能结构，挖掘知识背后的思想方法。在学习中寻找问题，设计环环相扣的启发式问题链，问题的深度指向学生思维的深度。学生核心素养的提升不可能一蹴而就，需要教师在每节课的教学中有意识地渗透，以及学生在亲身体验、不断感悟和创新中逐渐形成[7]，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学思想，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养[8]。

参考文献：

[1]上海市教育委员会教学研究室.初中数学单元教学设计指南[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]黄华.类比旧知探新知，实践“单元教学”：以“一元一次不等式”起始课教学为例[J].中学数学（初中版），2016（18）：8-10.

[3]季苹.如何落实三维教学目标？（一）：对教学“单元”的再理解[J].基础教育课程，2005（8）：18-25.

[4]方耀华.加强单元教学设计，践行渐进核心素养[J].上海中学数学，2020（11）：1-3.

[5]喻平.如何通过知识学习实现数学核心素养的培养[J].中小学课堂教学研究，2020（8）：3-8.

[6]章建跃.核心素养统领下的数学教育变革[J].数学通报，2017（4）：1-4.

[7]王振平，宋洪英.促进学生数学运算素养提升的课堂教学改进研究：以“直线与圆锥曲线的综合问题”为例[J].中小学课堂教学研究，2018（1）：16-21.

[8]史宁中.试论数学推理过程的逻辑性：兼论什么是有逻辑的推理[J].數学教育学报，2016（4）：1-16.

（责任编辑：陆顺演）