构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用

福建省永定第一中学 吴玉辉

在高中数学教学中，圆锥曲线是一个难度较大的知识模块，由于其计算起来比较繁琐，思路复杂，所以也是考试中容易失分的一个部分。有些圆锥曲线试题具有较强的技巧性，要应用更加灵活的方法才能正确地解答。构造法是解圆锥曲线试题中的一种常用方法，能够在解题过程中收获良好的效果。

使用构造法的前提是让学生首先明白题目提出的条件是什么，挖掘以往所学的数学知识，巧妙地融合参数等相关内容，最终能够顺利解题。运用构造法需要学生具备较强的解题能力、分析能力，并拥有一定的解题经验。所以要想熟练掌握，需要投入一定的时间与精力。在教学过程中，教师要分析学生有着怎样的学习水平，在教学中巧妙地渗透构造法相关知识技巧，通过这种题目的练习，引导学生更加熟悉构造法，让学生明白如何具体应用构造法，并进一步启发学生思维，拓展其解题思路，准确地将数学思维方法传授给学生，构建代数与几何之间的桥梁。

一、构造法在高中数学解题中应用的必要性

构造法是以原有题型为基础，对其实施条件或结论提出假设，并通过数学中各种理论、基础公式的应用构造出满足题型所需条件或结论的一种数学模型。通常，这一模型的产生主要是根据原有题型做出的一种假设，从而实现解决问题的目的。使用构造法，能够让学生做到心中有数。构造法是一种独特的划归手段，能够在解题过程中发挥重要作用。在实际应用中，构造法常会通过图形的模式更加直观地表现已知量，这也是解开题型的关键所在。首先，根据某一角度确定论证出发点，依据数形结合思想寻找解题的突破点，从而达到技巧性解题的目的。在具体应用过程中，构造法不只停留于图形这一层面，同时也会应用到函数、方程、不等式等方法，这些构造法在具体应用中也发挥着至关重要的作用。函数与方程是高中生比较熟悉的一种解题思维，同时也是构造法的常用辅助工具，所以，学生在实际解题过程中不仅能加强所学知识，而且也能够巩固以往所学的种种数学知识。构造法最终会通过构造模型解决问题，而构造模型的应用能够锻炼学生的创新思维，提升学生的思维能力。

二、构造法在高中数学圆锥曲线解题中的应用

（一）构造图形在解题中的应用

数学是一门基础学科，高中数学的难度在不断增加，学生需要面对较难解决的问题。构造法在高中数学解题中的应用比较普遍，使用构造法会使复杂的问题变得简单，使抽象的问题变得形象，极大地强化高中生解题信心，提升其解题热情，提高解题效率。构造图形是根据题目的描述综合所学知识绘制数学图形，直观地表现题干描述中的参数或者隐含的参数关系，从而找到解题的突破口。通过相关实践表明，在圆锥曲线解题中应用构造图形可以提高解题效率，使解题步骤更加简洁。如果学生掌握了这一解题方法，就能够有效地增强学生解题能力。为了让学生充分掌握这一方法的应用，教师应当让学生了解一些常用的构造方法，如构造直角三角形、圆形、添加辅助线等等，另外，带领学生推导构造图形的相关结论，将其直接应用于圆锥曲线的填空题或选择题中，提高解题效率。教师不仅要讲解构造法相关的理论知识，也要精选经典例题，让学生通过例题的精练熟悉构造法的应用，帮助学生认识到使用构造图形为解题带来的便利，并学会使用最恰当的构造图形方法，为进一步灵活应用打下良好的基础。

（二）构造命题在解题中的应用

一般，圆锥曲线试题中缺少明确的依据，必须要经过对相关命题的推导与总结，通过命题进行解题。在圆锥曲线解题过程中，如使用构造命题法，首先要保证命题的正确。学生在日常学习中需要积累与推导相关命题，这样在解题时才能快速准确地构造命题。在教学中，为了让学生学会灵活应用这种方式解题，教师要根据圆锥曲线具体内容带领学生共同推导相关命题，激发学生的多重思考，让学生能够掌握如何在圆锥曲线解题过程中应用构造命题的技巧。要让学生在课下多尝试推导，使学生能够掌握更多有用、正确的结论。为了增强学生应用构造命题解题的能力，教师要多分析具体例题，引导学生在实际解题过程中学会如何正确地构造图形，塑造学生应用构造命题解题的意识，并让学生造成用构造命题方法解题的习惯。

解析：设椭圆中心为（x，y），根据题意，有x=2t，y=-t2.消去参数得椭圆中心轨迹方程为f（x，y）=x2+4y=0.由上可知，它关于M（-1，1）对称图形的轨迹方程为f（-2-x，2-y）=0， 即（-2-x）2+4（2-y）=0，化为（x+2）2=4（2-y），即为所求的轨迹方程。

点评：由于题中没有直接给出曲线方程关于一个点对称的方程式，采用这种构造法，可以很快地打开解题思路，最终解决问题。

（三）构造方程在解题中的应用

在解题过程中，往往题目中并没有给出明确信息，所以需要学生自己认真分析，将未知的内容转化为已知内容。通过所构造的函数方程、图形等分析参数之间存在的某种关系，以此为切入点，正确地解答题目。但是相关方面的题目，具有较大的方程构造难度，学生必须要更多地学习相关技巧，通过多次的训练不断积累方程构造方法。为了让学生拥有更强的方程构造能力，在教学中，教师首先要提高学生的计算能力。解圆锥曲线题目时，通常要经历繁琐的计算，应多开展计算方面的训练，增强学生计算的准确性。比如：构造方程也比较难，教师可以引导学生尝试联立方程的计算，让学生细致观察并分析其中的规律，从而实现准确、高效地计算。另外，精讲具有代表性的题型，带领学生深入地剖析也必不可少。详细地书写方程构造的具体过程，引导学生多多反思、分析的构造方程过程中应当注意哪些问题。比如：在方程构造时，要先明确定义与范围，这样才有利于准确地构造方程。

（四）构造函数在解题中的应用

高中生对于函数比较熟悉，进入高中阶段学习的函数知识能够满足学生的解题需求，在解答相关题目时，也可以尝试通过构造函数的方式，分析函数的具体性质，并进一步找到参数的最大值、最小值，在具体解题过程中，这种解题方式非常实用。所以，掌握这一构造方法非常必要。在教学过程中，引导学生分清函数性质，学会如何通过函数最值求解，如何开展函数的求导等等知识，在打好基本功之后，可以为学生构造出所需要的函数打下良好的基础。另外，通常人们会利用构造函数解答题目，而这种解题途径需要极强的技巧，为了让学生形成解题的自信心，并充分掌握这一方法，要更加关注相关例题的讲解，带领学生逐渐深入地了解题目内容，探寻相应的突破口帮助学生顺利解题，获得成就感，从而更加积极地钻研，巧妙地构造函数来解答问题。

（五）构造不等式关系在解题中的应用

不等式知识相对比较抽象，其中涵括了多个知识点，在解答大题时常会应用到不等式这一工具。在解答圆锥曲线试题时，有些题目会让学生求解参数的取值范围，通过应用不等式常会获得良好的效果。所以在教学中，要关注如何构造不等式。首先，要深入、全面地了解相关试题中经常会出现的不等式关系，掌握不等式的定义结论。在使用不等式之前，必须要充分了解掌握参数范围，使最终的条件属于取值范围之内。如果解题时并未应用基本不等式，那么可以多转换一个角度，通过函数知识解决问题。其次，不等式的构造常常需要更加灵活地知识运用，讲解相关知识时，也要以经典题目为例，给出详细的推导依据，让学生能够更加关注不等式构造的严谨性及合理性，更加灵活地应用不等式解答题目。

综上所述，高中生有着较大的课业压力，学生经常需要面对浩瀚如海的数学题组，所以难免会形成无形的压力。鉴于此，让高中生学习构造法有利于其在数学解题中的应用，不仅能够节省解题时间，而且也能锻炼高中生的创新能力与思维能力。