主元法证明含参不等式

杨苍洲 庄津津

(1.福建省泉州第五中学 362000;2.福建省南安五星中学 362000)

利用导数证明含参数不等式的试题中，经常涉及到多个变量(如含有变量a,x两个变量).受惯性思维的影响，解题者往往会选择以x为主元进行求解.以x为主元进行求解的解题过程经常是比较繁琐的，此时，我们不仿改变一下角度，先选择变量a为主元，把问题视为关于变量a的不等式，并加以解决，从而消去变量a；消去变量a后的等式只含有变量x，我们自然地选择以变量x为主元，再构造关于x的不等式进行证明.这样的证明过程，会使得解题过程显得格外简捷自然.

例题1(武汉市2021届高中毕业生三月质量检测)已知函数f(x)=(x-1)ex-a-lnx.

(1)当a=1时，求f(x)的最小值；

(2)证明：当0

又f′(1)=0，

故当0

当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增.

故f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.

设s(x)=(1-x)ex(x>0)，s′(x)=-xex<0，所以s(x)在(0,+∞)单调递减，s(x)

即h′(a)<0，h(a)在(0,1]单调递减.

故h(a)≥h(1)=(x-1)ex-1-lnx.

由(1)知，(x-1)ex-1-lnx≥0.

故0

在上述问题(2)中，如果以x为主元求解较为繁琐.此时重新确定a为主元，要证f(x)≥lna，只要证h(a)≥0(0

例题2 (2018年高考新课标1卷文科)已知函数f(x)=aex-lnx-1.

(1)设x=2是f(x)的极值点.求a，并求f(x)的单调区间；

解析(1)略.

当0

当x>1时，g′(x)>0.

所以x=1是g(x)的最小值点.

故当x>0时，g(x)≥g(1)=0.

所以h(a)≥0.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程；

(2)证明：当a≥1时，f(x)+e≥0.

解析(1)略.

令g(x)=x2+x-1+ex+1，则g′(x)=2x+1+ex+1，g″(x)=2+ex+1>0，所以g′(x)在R上单调递增，又g′(-1)=0，故当x<-1时，g′(x)<0；当x>-1时，g′(x)>0，所以x=-1是g(x)的最小值点.

故g(x)≥g(-1)=0.

所以当a≥1，h(a)≥g(x)e-x≥0，即f(x)+e≥0.

在上述问题(2)中，要证f(x)+e≥0，只要证h(a)≥0，即证h(a)min≥0.利用h(a)在[1,+∞)的单调性，得到h(a)最小值h(1)，最后证h(1)≥0.将复杂的问题转化为简单的问题，提高解题效率.

例题4 (2013年高考新课标2卷理科)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

解析(1)略.

(2)(定主元m)设h(m)=ex-ln(x+m)(x≥-m)，

所以h(m)≥h(2)，即h(m)≥ex-ln(x+2).

又g′(-1)<0，g′(0)>0.

故g′(x)=0在(-2,+∞)有唯一实根x0，且x0∈(-1,0).

当x∈(-2,x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，g′(x)>0.

所以x=x0是g(x)的最小值点.

所以h(m)≥g(x)>0.

综上所述，当m≤2时，f(x)>0.

在上述问题(2)中，对于已知参数m取值范围，证明不等式成立，可以先把m视为主元，因此要证f(x)>0，只要证h(m)>0，即证h(m)min>0.利用h(m)在m∈(-2,+∞)的单调性得到最小值h(2)，最后证h(2)>0.整个解题过程自然流畅，思路清晰，十分简捷.