定比分点的几种形式在高考中的应用

杨伟达

(广东省广州市花都区第二中学 510800)

纵观近几年高考题，笔者发现定比分点在现成的人教版教材不作要求，但它却是平面向量的一部分(人教版必修4第99页例8)，在数学教材的思考、探索之中，在历年的高考中都能够捕捉到它的影子．

一、向量形式

定比分点作为向量分解的补充，以三角形形式在高考中累累呈现，常常考查基向量系数或比值，对提高学生的逻辑推理和数学运算素养具有重要意义．

特别地，当点P为线段P1P2的中点时，此时λ=1有

又因为B、C、D三点共线，所以

因为△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°

二、坐标形式

定比分点以线段的形式出现，常常转化为坐标，结合方程思想求出；另一种方式根据向量的分解，依托三角形法则分解未知向量，化为基本量，用坐标法即可解决.这些在解析几何或空间立体几何中时常呈现，在高考中是一种习以为常的题型.

设P1、P2的坐标分别是(x1,y1)，(x2,y2)

分析本题考查了椭圆与直线的综合问题．题目给出分点坐标和比值，采用坐标法代入，列方程组转化为关于一元二次函数即可将问题解决．

解设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

即x1=-2x2，y1=3-2y2．

所以当m=5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2．

(1)求证：CD⊥平面PAD；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

分析本题考查了立体几何的线面垂直、二面角、线面关系．关键是分点F和分点G．第二、三问涉及定比分点，题目已知端点坐标和比值，用三角形法则或坐标法即可求得.

三、坐标形式拓展

例4(2015浙江)如图6，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C，其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是( ).

分析本题考查抛物线与直线相交的综合问题.利用等高不同底原理把面积比转化为线段之比，再利用相似比转化为坐标比，结合抛物线的定义问题即可解决．

当然，定比分点的代数形式还与函数、数列、不等式等有着千丝万缕的联系，笔者在此没有展开，不一一列举.