已知函数的最值求参数的值或范围问题的求解策略

李文东

(广东省中山市中山纪念中学 528454)

已知函数f(x)在区间[a,b]上的最值，求参数的值或取值范围，这类问题高考常考的问题，其一般解法是对参数进行分类讨论得到函数f(x)的单调性，解法较为复杂.根据函数最值的定义(以最大值为例)：函数f(x)在区间[a,b]的最大值为M，即对任意的x∈[a,b]，f(x)≤M，且存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=M.因此函数的最值问题其本质是一个函数恒成立问题，我们可以按照函数恒成立问题的思路对函数的最值问题进行求解.经笔者研究发现，此类问题有如下求解策略.

一、分类讨论函数的单调性

(1)若x=2是f(x)的极值点，求a的值；

(2)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0，求a的取值范围.

①当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，由f(0)=0，知不合题意.

当0

当a=1时，f(x)的单调减区间是(-1,+∞).

当a>1时，-1

当a≥1时，f(x)在(0,+∞)单调递减，可得f(x)在[0,+∞)上的最大值是f(0)=0，符合题意.

所以f(x)在[0,+∞)上的最大值是0时，a的取值范围是[1,+∞).

点评分类讨论是解决已知最值求参数或参数范围问题的基本方法，但是这种解法相对比较繁琐.

二、利用必要条件缩小参数范围，减少分类讨论

例2设函数f(x)=2lnx+x2-2ax，若f(x)在区间[1,2]上的最小值为0，求实数a的值.

点评当x∈[a,b]时，fmin(x)=m，我们可以取特殊值x0∈[a,b]，则f(x0)≥m，充分利用这一必要条件来缩小参数a的取值范围，从而可以减少讨论的情况，当然这种解法极大的依赖参数a的取值范围能缩小到什么程度.

点评已知函数f(x)在区间[a,b]上的最小值(最大值)为m(M)，若通过观察发现x0∈[a,b]，使得f(x0)=m(f(x0)=M)成立，则必有f′(x0)=0，然后验证充分性即可.

解注意到f(0)=1，从而x=0应为f(x)的极值点，由于f′(x)=ex-kx-1，可知f′(0)=0显然成立.要使当x≥0时f(x)的最小值为1，则必存在x0>0，当x∈(0,x0)时，f(x)单调递增，也即当x∈(0,x0)时有：f′(x)≥0，由于f′(0)=0，同理必存在x1>0，当x∈(0,x1)时，f′(x)单调递增，也即当x∈(0,x1)时有：f″(x)≥0，从而f″(0)=1-k≥0，得k≤1,而当k≤1时，f′(x)=ex-kx-1≥ex-x-1≥0，即f(x)在[0,+∞)上递增，故fmin(x)=f(0)=1.

点评对于∀x∈[a,b],f(x)≥m，若f(a)=m，利用端点处导数值满足f′(m)≥0这一必要条件得出参数的范围，然后说明这一范围的充分性.这是端点效应.

三、分离参数

例5已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(a≠0)在x=1处取得极值.

(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在(0,e]上的最大值为1，求a的值.

解(1)略

点评已知函数f(x)在区间[a,b]上的最小值(最大值)为m(M)，即对于任意的x∈[a,b]，有f(x)≥m(f(x)≤M)成立，且存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=m(f(x0)=M)成立.将不等式f(x)≥m(f(x)≤M)分离参数得a≤g(x)(≥g(x))，则a=gmin(x)(gmax(x))，这样可以完全避免分类讨论，这是解决这类问题的一个很好的办法.

具体解题中对于以上方法的选择，我们可以先通过观察函数f(x)的结构特点，看看是否满足策略2中的一些条件，如果不满足，则我们可以尝试采用策略3的方法，当然如果策略3中不容易分离参数或者分离后得到的函数很复杂，则我们也可以考虑直接求导分类讨论来求解.