数列中的最值问题

张 庆

(江苏省徐州市侯集高级中学 221000)

在解决数列中，我们经常会碰到数列的通项、求和、项数、应用等的最大值与最小值问题．通过题目中给出的相关信息，结合相关的数列定义、性质以及相关公式，来解决相应的最大值或最小值问题，是函数性质的一种特殊表现．下面结合几类常见的数列中的最值问题加以实例剖析．

一、通项an的最值问题

图1

分析根据数列的通项结合对数运算加以变形，根据相应的函数的图象来确定通项中的最大值与最小值问题．

易知：c20c22>…>1，则最高点为(21，c21)，最低点(20，c20)，即最大项为c21，c21=2.25，最小项为c20，c20=-4．

点评：本题通过通项公式的转化与变形，利用构造相应的函数的图象与性质加以数形结合，考查对数运算、数列的通项与函数的图象问题．数列是一类特殊的函数，其对应的通项的最值问题相当于对应的函数中的自变量的最值问题，经常把数列问题函数化来处理．

二、和式Sn的最值问题

例2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1>0，S12>0，S13<0，指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由？

图2

分析通过等差数列的前n项和为Sn的关系式与对应的二次函数图象的性质，结合参数n的取值的限制条件来确定Sn的最值问题．

∵S12>0，S13<0，∴a13=S13-S12<0，∵a1>0，a13<0，∴d<0，

∵S12>0，S13<0，∴12<2n0<13，∴6

易知n=6对应的A点(6，S6)与对称轴的距离比n=7对应的B点(7，S7)与对称轴的距离更小，∴A点为最高点，S6最大．

点评：本题结合等差数列的前n项和公式，二次函数的图象与性质，考查数形结合思想以及运算能力等．通过把求和公式转化为相应的二次函数的解析式问题，利用二次函数的图象与性质来确定Sn的最值问题．

三、项数n的最值问题

例3设数列{an}(n=1，2，3，…)的前n项和Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

分析(1)利用数列的前n项和Sn与an间的关系，结合等比数列的定义来确定数列的类型，并结合条件建立关系式求解a1的值，进而求解相应的通项公式；(2)通过等比数列求和，结合绝对值不等式的求解来确定参数的最值问题．

解析(1)由已知Sn=2an-a1，有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n>1)，即an=2an-1(n>1)，从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2(a2+1)，所以a1+4a1=2(2a1+1)，解得a1=2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an=2n；

点评本题主要考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力等．解决本题的关键是通过转化与化归思维，把求和型的数列最值问题转化为不等式的求解问题，结合项数n的取值情况加以相应的最值问题．

四、应用中的最值问题

例4某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于．

分析根据实际应用问题确定对应的数列为等比数列，再结合等比数列的求和公式，通过建立相应的不等式来分析与求解最值问题．

点评利用数列知识来解决实际应用问题中的最值时，要注意结合特殊数列的定义、通项、性质、求和公式等加以转化，特别对于求解相关的参数问题，一定要结合实际应用问题，确定在正整数范围的n的取值情况．

五、创新中的最值问题

例5 若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积Tm，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2020积数列”，且a1>1，则该数列中Tn取得最大值时n的值为____．

分析用创新定义建立数列的关系式，进而求得a1010=1，利用a1>1，得到公比01且0

解析由题中的创新定义可知a1a2a3·…·a2020=a2020，故a1a2a3·…·a2019=1，由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1>1，所以a10102019=1，即a1010=1，而a1>1，则有a1010=a1q1009=1，可知公比01且0

点评本题在创新定义下建立等比数列关系式，通过等比数列的通项与性质来分析与求解，关键是理解创新定义与对应关系式的建立，进而结合等比数列的对应性质加以分析与应用．

抓住数列的定义、通项、求和以及性质等，合理应用数列的函数性质，解决一些涉及数列的最值问题，有效融合数列与函数之间的交汇，很好考查数学知识、数学思想方法和数学能力，提升数学品质，培养数学核心素养．