几何直观：提升问题解决能力的有效途径

薛群

[摘  要] 借助几何直观，可以使抽象、复杂的数学问题变得更加直观、形象，有利于学生更好地审清题目、厘清算法，并最终达到举一反三、触类旁通的效果，进而提升学生数形结合的思维品质，培养学生的数学核心素养。

[关键词] 几何直观;小学数学;途径

德国哲学家康德曾言：缺乏直观的概念是空洞的。小学生由于受到身心发展和认知水平的限制，在理解抽象的数学知识过程中，会不可避免地产生各种困难。几何直观充分借鉴和发挥了图形具有的直观性特点，把相对抽象的数学语言和直观形象的数学图形结合起来，使学生更好地理解题目的本质，掌握各种数量之间的内在联系，通过图形、符号等直观明了的图形把复杂的数学问题变得简明生动，从而为学生解决问题提供线索，指明方向。

一、几何直观，有利于正确审题，理解题意

审题是解决数学问题的首要环节。对于某些数学题来说，“文字加数字”模式的表述形式显得很抽象，制约着学生对题目的理解和判断，这就导致不少小学生理解题目时感到困难重重。几何直观可以把题目中的数量关系清晰地描述出来，把抽象的“文字加数字”转变为“图形加符号”，使抽象的数学问题变得直观、生动起来，这样就可以充分发挥小学生形象思维能力较强的优势，从而助力学生正确地把握题意，认清问题的本质，最终提高学生解决问题的能力。

例1  “周期性规律”教学实录（节选）

师：同学们，现在我们来看这样一个关于周期性规律的题目：除夕夜，学校大门口亮起了彩灯，这些彩灯按照3个红色、2个黄色和1个绿色的顺序逐次亮了起来，那么，第58盏灯是什么颜色？

生1：这种题目我可以在本子上画出来，一直画58盏灯。

生2：红色、黄色、绿色交替出现，画图法的确是可以的，但是画58盏灯是不是太麻烦了？

生3：我们可以先画两组看看，找一找规律。

师：对。我们通过画图的方法来理解一下题意。现在，请同学们按照题目意思来画图吧。

学生作图，教师巡视。

生3：这是我画的图（图1），通过画图形，这道题一下子变得简单了，我发现了每6个灯是一组，也就是一个周期，明确了周期，这道题只需要用58除以周期，根據余数就可以判定答案了。

生4：是啊，这种直观的图形可比原来的文字好理解多了，看来这种画图的方法还真是很有效呢！

学生对于抽象的文字表述感到难以理解，但是几何直观很好地解决了这个难题。通过几何直观，学生对于彩灯的排列顺序和周期有了非常直观地认识，这为学生理解题目意思、进而解决问题打下了坚实的基础。使原本抽象复杂的数学问题变得简单活泼起来，这正是几何直观在解决数学问题中作用的生动体现。

二、几何直观，有利于厘清数量关系，明了算理思路

几何直观并非只是简单地要求学生画出表格图、线段图或者示意图，而是要培养学生通过几何直观分析问题、理清关系、明了算理的能力，让学生通过作图、分析图，从而找到解决问题的方法。因此，在课堂教学中，教师要特别注意留给学生独立思考的时间，引导学生探寻画图策略，让学生通过直观图分析、比较、汇总、归纳，从而厘清题目之间的数量关系，找到正确的算理和思路。

例2  “分数的混合运算”教学实录（节选）

师：有这样一道题：实验小学五年级有180人，六年级人数比五年级多 ，那么六年级有多少人？

生1：这种题目数量关系比较乱，要怎么才能够弄清楚数量关系呢？

师：我们要厘清数量关系，那就试着通过画线段图来分析题目吧。

学生画线段图，教师巡视。（注意学生画图的正误）

生2：这是我画的线段图（图2）。在画图之前，我感觉题目中数据比较混乱，在画图之后，我的思路清晰了很多。五年级是180人，六年级的人数比五年级多 ，六年级人数多，五年级人数少。

师：谁能说一说，在这道题中的单位“1”指的是哪个年级的人数呢？

生3：五年级的人数是单位“1”。

生4：找到了单位“1”，题目就简单了。180×（1+ ）=220（人）。

师：在分数的应用题中，找准单位“1”是解决问题的关键，但是在很多情况下，我们总是难以找准单位“1”，通过这种画线段图的方式，我们就很好地解决了这个问题。

教学中，学生在审题后，教师启发学生通过画线段图的方式解决问题，并引导学生利用线段图一步步分析数量关系，把题目中所有的数据信息都体现、聚集在学生画的线段图中。线段图是学生探索问题的起点，通过画线段图使学生对数据之间的关系有了更深刻的认识。数据的各种信息在线段图中汇聚、碰撞，学生只有在对数据关系正确理解的基础上，找准题目中的单位“1”这个关键量，才能正确地解决问题。

三、几何直观，有利于触类旁通，解决同类问题

几何直观的真正优势不仅在于解决某个具体的问题，而在于激发学生数形结合的思维方式，为学生解决同类型问题打下基础。因此，教师不能满足于使学生用几何直观方法解答出某道题，而是要指导学生深刻理解、灵活地运用几何直观法，使学生意识到同类问题在本质上的联系，并把这种本质联系反映在直观的图形上，对题目进行深入分析和类比思考，找到解决此类问题的通用方法，做到举一反三、触类旁通，最终，提高学生解决同类问题的能力。

例3  “植树问题”教学实录（节选）

师：每隔4米种植一棵树，一共种植了5棵树，那么第1棵数到第5棵数的距离是多少米？

生1：这道题太简单了，4×5=20（米）。

师：生1的算法对吗？

生2：对的，我也是这样算的。

师：同学们在纸上画图验证一下自己的结果。

学生画图。

生1：不对，不对，我刚才算错了，虽然是5棵树，但是只有四段株距，也就是16米。就像我畫的这幅图一样（图3）：

师：那这道题应该怎样列算式呢？

生1：应该是4×4=16（米）。

师：算式中有两个4，其中一个4表示树的株距是4米，那另一个4是从哪里得来的呢？

学生思考。

生3：噢，另一个4是由5-1=4得来的。

师：对了，现在我们就得出了“植树问题”的规律：全长=株距×（株数-1）。

师：现在我把题目修改一下，同学们再做做看。题目是：甲乙两地相距20米，每隔4米种植一棵树，但是路的起始端要陈列广告牌，所以路的起始端不植树，问一共需要几棵树？同学们还是通过画图的方式来进行解答。

学生画图。

生1：通过上一道题，我们得出了全长=株距×（株数-1），所以，株数=全长÷株距+1，通过这个公式我算出了株数=20÷4+1=6（棵）。

师：同学们，生1这次解答得对不对呀？

（学生中有的大声喊“对，对”，有的却大声喊着“不对”。）

师：那就请其他同学谈谈自己的算法。

生2：我不同意生1的算法。这是我画的图（图4），我发现一共需要20÷4=5（棵）。

师：为什么只需要5棵而不是6棵呢？

生：因为路的前端不用植树。（异口同声）

师：非常好。通过画图的方式，我们又得出了特殊情况下（一端不植树）的计算方法：株数=全长÷株距。

“植树问题”历来都是小学数学学习中的难点。在教学中，教师引导学生通过画图的方法厘清了全长、株距与株数之间的关系。在学生尝试做题出错以后，教师引导学生通过几何直观发现错误的原因所在，用直观形象的图形扭转学生的错误思维。尤为值得一提的是，教师并没有满足于学生正确答题，而是进一步引导学生从本题中得出“植树问题”的一般规律，从而为学生解答同类问题打下基础;此外，教师通过变更题目，进一步通过画图激发学生思维，使学生意识到“植树问题”的多样性，真正做到了举一反三，融会贯通。

几何直观在学生学习数学过程中有着至关重要的作用。通过几何直观，有利于学生正确审题，理解题意;有利于学生厘清数量关系，明了算理思路;有利于学生触类旁通，解决同类问题，化数据为图形、化烦琐为简单、化隐晦为明显，自由翱翔在文字与图形之间，体验数学的图案之美与动态之美，实现问题解决能力的提升。