情境代入法在应用型本科《线性代数》课程教学中的实施

刘晓燕

DOI：10.16660/j.cnki.1674-098X.2011-5640-0603

摘  要：《线性代数》课程在授课内容上及演练过程中严谨有余，趣味不足，难以调动学习积极性，这是讲授该课程的一大难点。对应用型本科大学而言，该课程作为必修课在各个专业广泛开设，在教学方法上也得到了很大的发展。本文通过研究相关教学案例，将对案例的具体分析方法引入到对知识点的讲解当中，既可以提高解题的效率，又可以有效提高课堂教学质量，提升学生学习热情，使得该课程的讲授更加合理、有效。

关键词：情境代入  线性代数  课程教学  实施

中图分类号：G642                              文献标识码：A                    文章編号：1674-098X（2021）01（c）-0172-03

Implementation of situational substitution method in the teaching of linear algebra for application oriented undergraduates

LIU Xiaoyan

（Guangzhou Institute of technology and technology， Guangzhou， Guangdong   Province， 528138 China）

Abstract： The course of Linear Algebra is more rigorous in teaching content and practice.And it is difficult to arouse the enthusiasm of learning because of its lack of interest. For applied undergraduate universities， this course is widely offered as a compulsory course in various majors and has been greatly developed in teaching methods. By studying the relevant teaching cases， this paper introduces the concrete analysis method of the case into the explanation of the knowledge points. Which can not only improve the efficiency of solving problems but also improve the quality of teaching and students' enthusiasm for learning. It can make the course more reasonable and effective.

Key Words： Substitution of circumstance; Linear algebra; Course teaching; Implementation

1  线性代数的教学背景与现状

《线性代数》是本科院校理工类专业的一门重要基础课。相对于另一门重要的数学基础课《高等数学》而言，它的内容要少的多，但是很多学生还是觉得难以入门。这主要是是因为《线性代数》从一开始就是很多抽象概念，给初学者设置了许多的拦路虎。虽然有很多的学者在课程内容设置上对其进行了调整，但是由于初接触者必须先掌握其特定的运算法则与相关定义，定义的抽象性就决定了前期的引入还是有其难处。

研究性教学是当今大学数学教学改革的一大热点，数学史的研究培养学生的数学素养，数学知识的研究培养学生“研究性学习”的习惯，培养学生的自学能力和可持续发展的能力。在线性代数的课程教学改革中，案例教学、情境代入教学法都能够很好地补充课程理论充分、应用不足的缺陷，将线性代数中的知识完美地应用于实例研究当中，是值得广泛推广和运用的教学手段。

随着现代科技的发展，分析理论与工具的进步，线性代数在经济、金融、控制等方面都有着极其重要的地位与作用。学好线性代数是掌握一般分析方法的理论前提和基础，是进一步深化学习的有效工具。

2  情境代入在课程教学中的实施

在现行的主流教学过程中，还是以定义引入为主，以解决线性方程组的解的结构问题为主线，辅以特征值和特征向量的性质，最后以二次型的标准化过程为目标，串联起整个线性代数的知识内容。单就知识内容而言，线性代数的教学内容相对来说较为独立，用不到本科阶段前期所学的微积分部分的内容，这对很多学生而言是件好事，因为很多的学生对于需要用到微积分来解决问题的学科往往感到头疼。

《线性代数》课程教学中一个需要主要解决的问题就是线性方程组的求解，整个课程几乎都是围绕这个内容展开。但是很多教材都是一开始便对行列式以及矩阵这两个学生不熟悉的内容进行了详尽的阐述，然后才开始运用这些知识来解决线性方程组的求解问题。如果我们可以直接从线性方程组或者多元一次方程组入手，以大家熟悉的高斯消元法为切入点，引出方程组的求解方法会更容易让学生接受。例如：

求解线性方程组

解法一：利用Cramer法则

得到方程组的解：

解法二：利用高斯消元法

②-5①，③-3①得到新的方程组

将上式中③-7/9②得

得到原方程组的解：

显然，使用消元法能够让学生更容易消化吸收，辅之以介绍Cramer法则，检验两种算法结果的一致性，让学生更快认可Cramer法则在求解线性方程组中的正确性。但是很显然，Cramer法则在计算过程中涉及到高阶行列式的计算，处理起来更复杂一些。

线性代数从计算层次来说只需要用到小学阶段十进制的加减乘除四则运算，但是运算量却是随着阶数的增加呈级数递增趋势。以一个三阶行列式计算为例，只需要计算6个3元素相乘之和，但是四阶行列式就需要计算4！=24个4元素相乘之和，五阶行列式就需要计算5！=120个5元素的乘积之和……行列式的计算从定义式来说是繁复的，但是如果可以指导学生将计算进行公式化处理写入计算机，以当前计算机处理运算的速度，这些运算根本就不值一提了。

在行列式的计算过程中，如果不使用定义式进行计算，那么就可以根据性质来对行列式进行处理，其中最重要也是最常用的一个性质就是将行列式某一行的k倍加到另一行，行列式的值不变。这也是矩阵的初等行变换里的运算是一样的，只不过在行列式里面，这个性质是拿来做行列式运算，保证其运算的有效运行。而在矩阵里面，这只是一种变形方式，保障矩阵的形式可以变化成需要的形式。例如

计算行列式：

若从行列式的定义出发，展开之后有24项4个元素的乘积之和，加上对每一项的符号判断，处理起来并不方便。如果可以从行列式的性质入手，将行列式进行等价变形：

运用行列式的基本性质处理之后再来计算行列式，显然工作量会减少很多。

从该课程的整个知识体系来说，初等变换是其中最重要的一个处理手段。无论是向量组的线性相关，线性无关性判断，向量组里面极大无关组的寻找，线性方程组解的结构，还是特征值的计算，正交变换的确定，以及行列式的简便运算等，都需要用到初等变换。初等变换涉及到的计算并不难，但是过程却很繁琐。一个n×m阶的矩阵，一行初等变换下来要做m次加法运算，整个矩阵就需要做n×m次的加法。当然，在现在的教学条件下，计算次数多并不是一个问题。此时引导学生自己去掌握一些计算处理软件，如Matlab，Lingo等，这样将对学生的主动学习起到很好的促进作用。当然，有条件的院校，完全可以根据自身条件开设相关的实验课程。

随着信息化时代的飞速发展，网络科学问题渗透于工科课程的很多方面。特别是在线性代数课程中，网络科学的渗透表现的更为突出。为了让学生了解科学前沿问题并提高学习兴趣， 在讲授矩阵特征值与特征向量的概念、计算方法和几何意义时， 引入复杂网络中节点重要性的排序和同步问题， 举例说明特征值和特征向量在其中的应用， 以此将网络科学中的研究问题渗透到线性代数的教学中来。这样不仅可以激发学生的学习热情，还能够提高理论学习的理解效果。

情境教学的重要手段之一就是案例教学。线性代数的理论知识由于其独立性，基本是自成体系，所以除了以前所学的数字的四则运算是熟悉的，其他基本都是新概念，要学生理解起来难度是相当大，所以引入案例分析十分必要。当然，在设置案例的过程中，必须结合学生的所学专业、学校的培养目标，综合考虑教学的条件，选择较为普遍的事件引入概念，或介绍较为前沿的研究成果，激发学生的学习热情。例如，可以运用经济学里面的投入产出模型，构建矩阵的思维模式;可以通过对能量图的计算，将与矩阵特征值相关联的谱理论进行推广。比如在对矩阵的分析中，可以引入人员分配问题，让学生对矩阵有一个直观的感受与概念。在对行列式的计算进行讲解前，结合《高等数学》里面所涉及到的向量积的概念，可以直觀地解释三阶行列式的按行展开。降阶是行列式计算里面的一个重要处理思路，而降阶跟高等数学积分运算里面的降次处理手段相结合，让学生体会到降阶可以极大简化运算，减少运算次数。

3  情境代入教学的优点与限制

通过情境代入教学，就是通过线性代数在各个领域的应用，使用行列式或者矩阵来刻画和分析各种实际问题。这样不仅可以极大地调动学生的学习热情，还可以扩展学生的视野，提升学生的知识层次。通过情境代入式教学方法，可以将线性代数里面枯燥的理论转化为对实际问题的探究。这一方法的使用可以有效地将抽象概念与定理进行具体化，使得相关的知识点更加通俗易懂。

情境代入的教学方法的优点是显然的，但是情境教学的实施也有其局限性。其一，对于学生而言，很多学生始终对数学类课程抱着难学的偏见，一开始就拒绝各种输入，这是数学类课程教学中经常会遇到的一个现象;还有学生缺乏动手能力，或者对新知兴趣不大，这也会让教师的教学热情减退。其二，对教师而言，要施行情境代入式的教学模式，需要教师对各种数学类处理软件有着相当的了解，另外，也需要教师对各不同专业学科知识与线性代数的发展前沿动态有所掌握，这样才能在课堂上如行云流水，将线性代数这门基础课讲清楚、讲好，让学生能听得进去，进而可以运用线性代数的相关理论做一些事件以及应用分析，这也算是对教师的较高层次的教学要求。

4  结语

在线性代数的教学过程中，普遍存在课程理论性太强，学生的学习基础参差不齐，应用推广起来难度较大等现实问题。加强教学效果的主要方式可以使用案例引入，通过对案例的分析引出线性代数的相关理论。有条件的院校可以结合计算机教学，开设相关的计算机编程教学的课程，运用Matlab这一数学软件，实际操作一下如何使用矩阵解决问题的方法，促进教师对学生掌握线性代数知识把握的程度，激发学生的学习兴趣，提升学生的学习思维模式，扩展学生的视野，将线性代数这一门跟现代技术结合紧密的学科知识掌握好。更进一步地，可以让学生对现代科学的前沿研究有一定的了解。而这些对教师而言，可以提升自身对学科知识的理解，于学生而言，更是为他们打开了一扇通往运用技术处理实际问题这条道路的入口。

参考文献

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