探究解析几何中的定点、定值问题

曹亚奇

定點与定值问题是解析几何中的高频考点。此类问题定中有动，动中有定，并常与轨迹问题、曲线系问题等相结合，综合性强，解法灵活多变。求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高，所以掌握这类问题的通性通法是我们学习的重中之重。

一、直线的定点问题

我们知道，若一条直线经过一定点，往往表达成如下形式：（1）y=kx+1;（2）y=kx-k;（3）y-1=k（x-1）;（4）（m-1）x+（2m-1）y=m-5。于是我们最终需要表达的直线的方程是含有一个参数，那又该如何做到呢？下面让我们以一道经典习题为例，从“线设”、“点设”、“共线”等三个视角人手，寻求直线中定点问题的通性通法。

例1（武汉市2020届高中毕业生质量检测第19题）已知抛物线r：=2px（p》0）的焦点为F，P是抛物线上一点，且在第一象限，满足F=（2，2/3）.

（1）求抛物线I的标准方程。

（2）已知过点A（3，-2）的直线交抛物线r于M，N两点，经过定点B（3，-6）和M点的直线与抛物线I交于另一点L。试问：直线NL是否恒过定点？若过定点，求出该定点;若不过定点，请说明理由。

解析：（1）抛物线厂的标准方程为y=4x。（过程略）

（2）解法1：设M（，1），则直线MN：x-

评注：上述解法从设点M的坐标入手，表示出两直线MN与ML的方程，将它们与抛物线方程联立求解得N，L两点的坐标，从而得到直线NL的方程，经过一系列复杂烦琐的运算得出“定点”。该方法思路明确直白，对同学们的运算素养要求颇高。

评注：该解法通过设出M，N，L三点的坐标，写出关于直线MN，ML，NL的三组“同构型”的直线方程，再由方程联立减元，求得N，L两点的纵坐标之积。正因为抛物线上的“点设”与“同构式”的对称性，令运算量大大减少。

解法3：取特例，令直线MN垂直于x轴，此时N，L两点重合，直线NL为抛物线在N处的切线。不妨令N为第一象限的点，由y'=4x=》y=2/F，知k线=y'l-s=

/3/33。此时，直线NL：y=3x+/3，再由抛物线的对称性，猜想直线NL过定点P（一30）。下面证明猜想结论。

由解法1中M，N两点坐标得，kvp=

评注：证明直线过定点时，还可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论，再证明这个点（值）与变量无关，往往能取得事半功倍的效果。

二、圆上的定点问题

（1）若过点P（0，2）作直线l的垂线交直线l于点Q，求点Q的轨迹方程。

（2）试探究：在坐标平面上是否存在一个定点M，使得无论直线l怎么转动，以AB直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标;若不存在，请说明理由。

评注：此题亦是通过特殊情况先猜后证的典型代表。探究与圆有关的定点问题，关键是根据题目条件正确设出圆的方程或者是直径的两个端点的坐标，找到参数间的关系。联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简即可，这是求解定点问题的通性通法。

三、定值问题

定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探求某些几何量（面积、比值、斜率、距离等）与变量（斜率、坐标等）无关的问题。下面让我们通过两道例题体会求解定值

问题的一般方法。

例3如图1，已知抛物线C：x'=4y，过点M（0，2）任作一直线与抛物线C交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO交于点D（O为坐标原点）。

（1）证明：动点D在定直线上;

（2）作抛物线C的任意一条切线l（不含x轴）与直线y=2交于点N，与（1）中的定直线交于点Ng，证明：|MN21'-|MN|为定值，并求此定值。

解析：（1）依题意可设直线AB的方程为y=kx+2，代人x'=4y，得x=4（kx+2），即x-4kx-8=0。设A（x，y），B（x2，y？），则有=一8。直线AO的方程为y=x，直线BD的方程为x=xp，解得交点

（2）依题意知切线l的斜率存在且不等于零，设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代人x'=4y，得=4（ax+6），即x-4a.x-46=0，由△=0得（4a）*+166=0，化简整理得b=-a'，故切线l的方程可写为y=ax-a*，分别令y=2，y=-2，得N;，N，的坐

（1）求椭圆C的标准方程。

（2）如图2，直线l过点T（m，0）（m》0）交椭圆C于M，N两点，AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN

评注：解决定值问题的方法一般有两种：（1）设出变量后直接计算、推理，并在计算推理中消去变量，得到定值;（2）从特殊情况（如点在坐标轴上，直线无斜率等）入手，求出定值，再证明该定值与变量无关。

通过以上四个例题，我们发现定点问题主要是曲线系（直线系）过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性。其具体思路上又可细化成“设线”、“设点”“共线”等三大方向。而定值问题则主要涉及面积、面积比、斜率、长度、角度等几何量的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素。在解决定点、定值问题时，我们要注重通法通解，更要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性。

（责任编辑王福华）