关于Cordoba-Fefferman覆盖性质的一个等价刻画

林庆泽

（中山大学 数学学院，广东 广州 510275）

欧式空间Rn（n≥1）上的乘积理论涉及到多参数的收缩变换，因此导致了关于强极大算子的有界性的研究[1]：

其中在求上确界时，R取遍Rn上的所有边平行于坐标轴的n维矩形并满足x∈R。通过沿坐标轴方向的一维情形的Hardy-Littlewood 极大算子的有界性以及对强极大算子Mn的迭代控制，容易证明强极大算子Mn:Lp(Rn)→Lp(Rn)是有界的，其中1 1，则强极大算子Mn一般不再具有弱（1，1）有界性[1]，取而代之的是强极大算子Mn具有以下形式的弱有界性：对于∀α> 0，都有

其中，An表示一个只与维数n有关的常数，|E|表示集合E⊂Rn的Lebesgue测度，即强极大算子Mn是从Orlicz空间L(1+(log+L)n-1)到L1,∞上的有界算子[3]。

另一方面，Cordoba和Fefferman利用Rn上有界开集族的覆盖性质首次给出了关于强极大定理的一个深刻的几何证明，其证明的主要思路依赖于强极大算子Mn的有界性与覆盖性质之间的某种等价关系[4-5]，他们的工作启发了大量后续的研究[6-9]。本研究将证明Rn上具有有界Lebesgue 测度的开集族具有Cordoba-Fefferman覆盖性质当且仅当它具有有限覆盖性质.

1 极大算子与覆盖性质的定义

为了研究强极大算子Mn的有界性，Cordoba和Fefferman考虑了更一般的集合，将Rn上的边平行于坐标轴的n维矩形族替换为由某些具有有界Lebesgue测度的开集所组成的族ℑ，据此构造更一般的极大算子[4-5]：

利用定义1的覆盖性质，Cordoba和Fefferman证明了：

容易看出，若由Rn上某些具有有界Lebesgue 测度的开集所组成的族ℑ具有覆盖性质Vq，则该族ℑ具有有限覆盖性质Wq。同时可以看出，有限覆盖性质Wq要比覆盖性质Vq更容易验证。接下来将证明上述蕴含关系反过来也成立，这也是本研究最主要的结论。

2 覆盖性质Vq与有限覆盖性质Wq的等价性

由于假定极大算子Mℑ是弱（p,p）有界的，因此可以得到

由此证明了有限覆盖性质Wq中的条件（1）。

记T*为线性算子T的伴随算子，则对于任意的f∈Lp,g∈(Lp,∞)*，都有

因此伴随算子T*具有如下表达式：

因此得到

反过来，假定族ℑ具有有限覆盖性质Wq，下面证明极大算子Mℑ是弱（p,p）有界的。

如果q= 1，则此时p= ∞，极大算子Mℑ是强（∞,∞）有界的，因此也自然是弱（p,p）有界的。以下证明当1

容易看出

由于该不等式对于任意的紧子集K⊂Oα都一致成立，因此由Lebesgue测度的内正则性可以得到[10]

即

从而得到了极大算子Mℑ的弱（p,p）有界性，证毕。

结合定理1和定理2，可以得到关于Cordoba和Fefferman所定义的覆盖性质Vq与本研究所定义的有限覆盖性质Wq的等价性：

定理3 给定由Rn上某些具有有界Lebesgue测度的开集所组成的族ℑ且1 ≤q< ∞，则族ℑ具有覆盖性质Vq当且仅当它具有有限覆盖性质Wq。

由于极大算子Mℑ都是强（∞,∞）有界的，因此可以得到推论：

推论1 给定由Rn上某些具有有界Lebesgue 测度的开集所组成的族ℑ，则族ℑ不仅具有有限覆盖性质W1，而且也具有覆盖性质V1。

已知强极大算子Mn:Lp(Rn)→Lp(Rn)是有界的，其中1

推论2 Rn上的所有所有边平行于坐标轴的n维矩形所组成的集族不仅具有有限覆盖性质Wq，同时也具有覆盖性质Vq，其中1 ≤q< ∞。