理论力学中静力学公理的平凡与不平凡

霍冰

摘  要：理论力学是理工类院校的一门重要的专业基础课，也是学生口中枯燥乏味、深奥难懂的代名词。如何一改往日刻板形象，使之成为一门生动活泼、深受欢迎的课程，是力学教学改革中的一个重要课题。而合理的课堂设计是上好一门课的核心要素。文章以理论力学中静力学部分的静力学公理为例，以一个工程问题为主线，逐一引出并分析每一个静力学公理及其背后蕴藏的深刻含义，通过讲述静力学公理平凡的内容展现其在解决问题时不平凡的作用。该问题将静力学各公理串联起来，加强了公理间的逻辑关系。同时结合雨课堂线上教学互动平台，发挥学生主观能动性并对堂课效果进行检验。

关键词：高校课程;理论力学;课堂设计;雨课堂

中图分类号：G640        文献标志码：A          文章编号：2096-000X（2021）17-0096-04

Abstract： Theoretical Mechanics is an important professional basic course in colleges of science and engineering， but also a label of vapidity and reconditeness. An important issue of educational reform has thus carried out， transforming the Theoretical Mechanics from stereotype into a vigorous and popular course. And anappropriate lesson design is the key element of a successful lesson. Axioms of statics in Theoretical Mechanics are made as an examplein this paper. An engineering problem is raised throughout the text， every axiom is then proposed and the profound implications areanalyzed. The extraordinary roles played by axioms of statics in engineering problem solving are performed through stating their ordinary contents. The engineering problem connectsall the axioms， enhancing the logical relationships among the axioms. Rain classroom is simultaneously applied to stimulate the subjective initiative of students and checkout the learning outcomes.

Keywords： college courses; Theoretical Mechanics; lesson design; rain classroom

理論力学是研究物体机械运动一般规律的科学[1]，是许多后续课程的基础[2]。而静力学公理作为理论力学开篇的第一讲[3]，尤为重要。静力学公理研究的是普遍、最一般的力学规律，同时也是最基础、最简单的规律，又因学生在中学时积累了一定的力学知识，对静力学公理有所了解[4-5]，因此在教学过程中往往会将其一带而过，忽略对该部分内容的深入剖析。然而静力学公理却蕴藏着丰富的内涵和强大的功能，所有的衍生定理和推论都建立在静力学公理基础之上，掌握静力学公理的精髓，才能为后续学习打下坚实基础。

在教学中，单纯通过理论知识的讲解并不能使学生更深刻地感受到静力学公理的魅力所在，也很难把握住各公理间的逻辑关系。本文展示了静力学公理的教学过程，以一道工程例题为主线，通过不断地引导学生发现问题、解决问题，引出静力学各公理的学习，最终解决工程问题。使学生感受到力学的魅力，更深入地把握静力学公理的精髓，对该部分新知识产生认可，也在解决问题中获得成就感。同时通过雨课堂调动学生积极性，使学生最大程度地参与到课堂中，在此过程，对课堂效果进行检验和反馈。

一﹑提出问题

图1为该节课程的教学设计，以提出问题开始，解决问题结束，其间引导学生主动发现问题，分别引出四个公理和两个推论的学习，直至解决问题。一堂课的前五分钟至关重要，要在短时间内迅速引起学生注意并参与到课堂中，就需要一个能够引发学生共鸣的问题。

首先，问题的选取有技巧，不能太难，否则打消学生的积极性;不能太简单，否则体现不出新知识的价值。一个常见的、看似简单的，却又无从下手的题目适合作为课堂的导入问题。图2（a）为工程中常见的承重结构，铰链A和B固定在竖直墙面，AC杆与BD杆在C处铰接，D处悬挂一重物，一旦重物超重，就会造成结构破坏（图2（b））。因而AC杆的受力至关重要，如何求解AC杆的受力，同时对结构进行优化设计是该节课要解决的问题。显然AC杆的受力与重物以及杆件的形状尺寸有关，那它们之间的定量关系是怎样的？在不具备任何理论力学知识的前提下，只根据中学接触过的静力学公理可以解决该问题吗？

其次，问题的设计有技巧，即以何种方式提出和设计问题才能快速高效地吸引学生并引发学生思考，最大程度地参与到课堂中来。对于图2中AC杆的受力，同学们肯定不可能在短时间内得到答案，这样的问题就不足以高效地调动学生的积极性，同学们就会缺乏相应的思考。因此要对学生进行引导，把问题具体化，如图3所示，将问题具体在BD杆上并以选择题的方程呈现，同学们便可以就这个具体问题进行思考并期待和寻求一个正确答案。

二、静力学公理的引出

对学生进行引导，要想求出AC杆的受力，需对AC杆进行受力分析，而AC杆的受力情况究竟是怎样的呢？从而引出公理1的学习。

（一）二力平衡公理

刚体上作用有两个力，则刚体平衡的充分必要条件为：这两个力大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。但凡有力学基础的学生对以上公理一定不会陌生，不禁会产生疑问，如此简单的公理可以用来分析杆件的受力吗？这就需要对该公理的引申含义进行解析。公理1也可以解读为，若刚体上有且只有两个力的作用点，则刚体平衡的充分必要条件为：这两个作用点上的合力，大小相等，方向相反，且作用在同一直线上。如此便可引导学生对结构进行观察，该结构中有没有哪个构件上只有两个力的作用点，显然AC杆满足该公理的条件，因而AC杆上力的作用点A和C上的作用力FA和FC大小相等，方向相反，且作用在同一直线上，即一定沿着AC的连线方向（图4（a））。此类结构称为二力构件。

为了检验学生是否掌握了二力构件的精髓，通过雨课堂设置问题（图4（b））。此时AC杆不再是直杆，其受力如何分析呢？启发学生思考并在雨课堂上进行作答。图5为不同学院两个班的雨课堂作答数据，正确率分别为83.6%和83.2%，存在共性，证明绝大部分同学掌握了二力构件的特性。但仍有一部分同学被其他选项所迷惑，尤其是D选项，两个班选D的同学分别占11%和13%，认为力是沿着杆的方向，而根据公理1，A点和C点的作用力一定是沿着两个力的作用点，即AC的连线方向（图4（c）），与杆件形状無关。

该问题的设置，对于答对的同学来说，可增强同学们的成就感;对答错的同学可起到提示作用，避免以后出现此类问题;对教师来说，雨课堂的数据可以显示学生对该问题的掌握程度以及常见误区，反馈并指导教师要加强该误区的讲解。

由上述分析可知，FA=FC即为我们所要求的AC杆的受力，而FA显然与重物质量有关，因此需要从重物作用的BD杆着手，而BD杆的受力情况如何分析？这也是课前的投票问题。通过已有知识可以对D点的受力做出判断，而B点和C点的受力呢？从而引出公理2的学习。

（二）作用和反作用定律

两个相互作用的物体间，作用力和反作用力总是同时存在，两个力大小相等，方向相反，沿同一直线，分别作用在两个物体上。该公理也是学生熟知的定理，如何利用其判断BD杆的受力呢？引导学生思考，该公理适用于两个相互作用的物体，那该结构中是否存在相互作用的物体呢？显然AC杆与BD杆在C处铰接，图4（a）中的FC为BD杆对AC杆的作用力，根据公理2，AC杆对BD杆必然存在反作用力F′C，FC和F′C大小相等、方向相反、沿同一直线，分别作用在AC杆和BD杆的C点（图4（a）和图6）。

由上述的分析可以得出FC=F′C=FA，欲求F′C和重物P之间的定量关系，还需要明确B点的受力，BD杆在3个力的作用下平衡，如何分析B点的受力是公理3要解决的问题。

（三）加减平衡力系原理及其推论

若刚体上作用的力系为平衡力系，则该刚体平衡，即平衡力系与零力系是等效的。因而加减平衡力系原理为：在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，与原力系对刚体的作用等效。该公理看似十分简单，但在研究力系等效替换时，该公理有着十分重要的作用。并且在公理3的基础上，可以推导出两个十分常用的推论。经过理论推导，可以得到推论1力的可传性和推论2三力平衡汇交定理。

其中推论1：作用于刚体上某一点的力可沿其作用线移至该刚体上的任一点而不改变该力对刚体的作用效果。推论2：刚体受不平行的三个力作用而平衡时，此三力的作用线必共面，且汇交于一点。引导学生，三力平衡汇交定理的前提是，平衡的刚体上作用三个不平行的力，而该结构中BD杆刚好满足推论2的适用条件，根据推论2即可判断B点的受力方向（图7）。

至此，课前投票环节中的选择题得以解决，答案为C选项。那么BD杆平衡时，其上作用的三个力之间究竟存在怎样的关系呢？从而引出公理4的学习。

（四）力的平行四边形法则

该公理为力系简化的基础，其内容为：物体上同一个作用点上的两个力，可以合成为一个合力，合力的作用点不变，大小和方向由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。学生早在中学时就频繁接触和利用该公理解决问题，而在该道工程问题当中，如何利用该公理并结合之前的公理和推论来解决问题呢？

引导学生，为满足公理4的应用条件，可先利用推论1力的可传性，将F′C和P沿力的作用线方向移至同一作用点F，再根据公理4力的平行四边形法则，将两个力合成为合力FR，此时BD杆在两个力FR和P的作用下平衡，再利用公理1二力平衡公理，可以得出FR=P（图8），利用正弦定理便可得到AC杆受力F′C和重物P之间的关系，即

（1）

三、解决问题

对于式（1）得到的结果不能置之不理，要对该结果进行利用，从结果中可以得出哪些有用的结论从而对结构进行优化设计，如此可以加深学生的成就感和对新知识的认同感。

从式（1）可以看出：AC杆的拉力与重物的重量成正比，重物越重，AC杆越容易被拉断;同时AC杆的拉力与BD杆长度成正比，即重物的位置距离墙面越远，AC杆的拉力越大;不仅如此，AC杆的拉力还与BC杆长度成反比，即AC杆与BC杆的铰接位置越靠近墙面，AC杆越容易被拉断;最后，AC杆的拉力与cosφ成反比，即φ越大，AC杆与墙面的铰接处越靠下，AC杆越容易被拉断。

最后还应指出，静力学公理只是解决该问题的其中一种方法，随着后续课程的展开，我们还会接触到第二种、第三种方法，且随着我们知识储备的增加，该问题的解决会更加轻松简便。几节课下来可以让学生切实感受到自身的进步和新知识的强大功能;同时加强了每节课之间的联系，使同学们产生“追剧”的愉悦感，每节课后一个“下集预告”，使同学们对后续课程充满期待。

四、结束语

本文以理论力学开篇第一节课的静力学公理为例，在教学中力求展现其不平凡的一面。以一道工程实际问题为引线吸引学生，并通过雨课堂使学生参与到课堂的每个环节，通过不断地引导学生发现问题，从而引出每个公理，并反复利用每个公理进行分析，直至将问题解决。

在整个教学过程中，应突出以下几点：其一、使学生更深刻地理解和掌握静力学公理的内涵和精髓，感受其强大的功能和魅力;其二、将四个看似独立的公理间建立起逻辑关系形成一个整体，方便学生理解和记忆;其三、不借助新的力学知识，仅凭借静力学公理就可以解决工程实际问题，一方面可以增强学生的成就感，另一方面也可使学生对静力学公理产生深刻的理解和认可;其四、借助雨课堂线上教学互动平台，极大调动学生的积极性并参与到课堂中，让学生做课堂的主人翁。

不仅是静力学公理，在理论力学的各个教学环节中，都要结合身边常见的、有趣的力学现象，在极大调动学生的积极性和主观能动性的同时，展示力学的魅力。让我们的每一个定理、每一个公式都落在实处、解决实际问题，让它们不再是一串枯燥的符号，而是一串可以打开经典力学大门的钥匙。

参考文献：

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学（I）（第8版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]崔红光，朱公志，张本华，等.《理论力学》课程线上线下混合式教学模式实践研究[J].高教学刊，2019（23）：8-11.

[3]贾启芬，刘习军.理论力学（第4版）[M].北京：机械工业出版社，2016.

[4]彭前程.八年级物理（下册）[M].北京：人民教育出版社，2012.

[5]彭前程，黄恕伯.高中物理必修（第一册）[M].北京：人民教育出版社，2019.