HPM视角下的数学教学设计：以坐标系为例

许紫晨 郭刘龙

摘 要：数学史和数学教育在国内外都受到了广泛的关注，研究发展迅速。发生教学原理是数学教学研究的主要理论依据，考察历史并进行历史重构用于教学。研究以坐标系为例根据发生教学原理进行HPM视角下的教学设计，让学生在学习坐标系的过程中，了解历史上平面直角坐标系的发生发展，帮助学生稳固地建构数学知识体系，加强学生的数学思维。希望可以帮助学生以更广阔的视角来看数学，增加学生对数学及其社会文化背景的领悟。

关键词：HPM;坐标系;发生教学法;教学设计

坐标系作为数学中的一个重要工具，它架起了数与形的桥梁，构成了数形相互转化的理论基础。建立坐标系不仅是学习函数及其图象、曲线和方程的前提，更起到了将几何曲线和代数方程联系起来的作用。对于学生来说，这一部分内容不是全新未接触过的知识，在学习坐标系之前学生已经学习了数轴，所以平面直角坐标系是基于这一背景设置的一次概念教学。

如今，数学史和数学教育在国内外都受到了广泛的关注，HPM的教学研究发展非常迅速，将数学史融入数学教学之后，课堂中的数学更加丰富，增强了趣味性，降低了数学学习的枯燥感。HPM教学开启了多元教学方法之门，是帮助师生认识数学内部知识以及数学和其他学科之间联系的良好手段，这在当今的数学教育改革中受到了高度的重视[1]。但目前数学史与数学课堂教学存在“高评价、低应用”的现实处境，在课堂教学中渗透数学史，激发学生的数学求知欲，帮助学生认识数学本质，同时使数学史展现数学价值，是HPM教学研究的重要部分，也是教师应该深入思考并为之努力的方向[2]。本研究选取初中数学中的平面直角坐标系这一章节内容，进行HPM视角下的教学设计研究。

本研究从HPM的视角进行教学设计，使学生经历平面直角坐标系的形成过程，拟定了以下教学目标：（1）结合具体生活情境，体会可以用有序数表示物体的位置。（2）体会历史上平面直角坐标系的发展过程，认识平面直角坐标系的概念，能画出平面直角坐标系。（3）在给定的坐标系中，能根据坐标找出点的位置，可以根据点的位置写出对应的坐标。（4）在实际问题中，能建立适当的坐标系解题。（5）在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。

一、发生教学法

发生教学原理是数学教学研究的主要理论依据，提倡教师考察历史，进行历史重构，然后用于教学，引导学生发挥自身的主动性来学习新知识。

数学史在数学教学中的运用方式有三种：第一种是提供直接的历史信息，这种仅讲述数学历史故事的方法比较浅层;第二种是借鉴历史，重构历史用于教学，将历史重构重演，呈现出知识的自然发生过程，关注学生的学习动机，帮助学生提升认知能力;第三层次是开发学生对数学及其社会文化背景的深刻觉悟[3]，使学生在数学史的熏陶中更加喜欢数学。发生教学法属于第二种方法，能更有效地使学生领悟数学文化。

1.发生教学法的起源

早在古希腊时期，亚里士多德就提出：儿童在发展过程中必须一个时期一个时期地重演人类从野蛮到文明的发展阶段。此后一些教育学家如裴斯泰洛奇、弗罗贝尔均提出了发生教学的相关观点。19世纪开始，人们更加关注发生教学，英国教育家斯宾塞这样解释发生教学：个体知识的发生是一定要遵循全人类知识的发生过程的，发生原理同时也受到生物学家生物发生基本定律的支持[4]。

“发生教学”这一概念最早由第斯多惠提出，他认为所有的学科都应进行“发生教学”，这既是学科兴起的方式，又是进入人类意识的方式。

波利亚系统地叙述了发生原理：在教一门科学分支的理论或概念时，应当让儿童重演人类心理演进的重大步骤。基于对重大步骤的解释，波利亚提出了发生原理的更模糊的形式：只有深入地理解了历史上人类是如何获得某些事实或概念的，我们才能对人类的孩子现在应该如何获得知识做出更好的判断。

托普利茨明確了发生教学法的本质是追溯思想的历史起源，寻找激发学习动机的最佳方式，通过研究前人所做工作的背景，来寻求他试图回答的关键问题[5]。他的《微积分：发生的方法》一书的出版，标志着发生教学法在数学教学领域得到了普遍的一致的认可。

弗赖登塔尔认为发生教学重要的是历史的“再创造”，教师应该借助历史设计教学，引导学生回顾历史上知识的创造，了解知识的形成、发展过程，让学生在学习中通过自己的实践与思考实现知识的再一次创造[6]。

从上面叙述可以看出，发生教学是一种借鉴历史以呈现知识自然发生的过程的教学方法，教师应当基于历史，借鉴或重构知识的发生发展过程。原本的历史一般很复杂，发生法重构的历史却是线性的。发生法建立在学生的认知发展基础上，强调知识的重要性，激发学生的学习动机。

2.发生教学法的应用

根据发生教学法进行教学设计，需要明确其重要步骤：（1）教师需要知道教学主题相关知识的历史发展。（2）确定历史发展过程中的关键环节。（3）判断教学主题是否适用于发生教学法，如果适用于此方法，那么重构上面的关键环节，使历史线性化适用于课堂教学。（4）设计出层层递进的、由简至繁的问题便于学生学习与思考。

二、坐标系的历史

坐标几何又称解析几何，借助坐标将平面上的点与有序数对进行一一对应的这种思想在最开始出现在古希腊和阿拉伯，阿波罗尼奥斯等科学家研究圆锥曲线时用到了这种思想。法国的数学家奥姆莱斯，他其实已经接触到了函数的图象表示：借用经度和纬度这两个地理术语描述了他的图线，实质上是现在的横纵坐标。但是他未形成清晰的坐标概念，图线概念是较为模糊的。法国的两位数学家：勒内·笛卡尔（R.Descartes）和皮埃尔·费马（P.de Fermat）[7]是解析几何的最终发明者，他们虽然发明坐标系的初衷不同，但是殊途同归，都提出了坐标思想。

1.笛卡尔与坐标系

（1）坐标系的诞生

笛卡尔发明解析几何是为了研究著名的帕波斯问题。这一数学难题可以推广到n条直线的情形。笛卡尔在证明四线问题的帕波斯结论时，尝试建立坐标系：他选定了一条直线作为基线（这条基线相当于一条坐标轴），然后又选定一条线段，这条线段从基线出发，与基线形成了定角，这样，历史上第一个坐标系形成，这一坐标系为倾斜坐标系。坐标系不仅仅提供了解决作图问题的新方法，笛卡尔巧妙地将代数方程和曲线、曲面进行联系的这一创举，也为他自己和后来的数学家提供了新的数学思考方向。

（2）笛卡尔创立坐标系的传说

笛卡尔晚年生病卧床看见天花板上有一只苍蝇在爬，于是思考如何将这只苍蝇精准地进行定位。他认为可以将苍蝇看成一个点，如果选定某点作为参考点，假设苍蝇从参考点出发，需要数一下苍蝇沿东西方向经过几格天花板，沿南北方向经过几格天花板，就能到达现在的点。总结来说，在平面上需要选定一个参考点和两个不重叠的方向来定位苍蝇的位置，平面上任意一点的位置可以用有顺序的两个数表示。描述天花板上苍蝇的位置是笛卡尔发明坐标系的最初灵感。

这个传说还有另一个版本：笛卡尔看见的不是苍蝇而是屋顶的一只蜘蛛，蜘蛛拉着丝上下左右运动。如何表示蜘蛛的位置呢？他想到可以把墙角顶点作为参考点，将屋子里相邻的两面墙与地面交出的三条线看作三个方向，也就是说，在空间中可以选定一个参考点和三个不重叠的方向来定位任意一点的位置，具体位置用三根数轴上的有顺序的三个数表示。

2.费马与坐标系

与笛卡尔不同，笛卡尔是用代数的方法研究几何，而费马的出发点是想要用几何研究代数。费马考虑任意曲线和它任意一点J，选取一条线作为底线，点J的位置可以用A、E两字母确定，A表示从点O沿着底线到点Z的距离，E是从Z到J的距离，A和E对应着现在x轴和y轴，如图1。他这样做出的坐标，同笛卡尔一样是倾斜坐标。在费马的坐标系中y轴没有明确的出现，也没有考虑负数[8]。费马在他的书《论平面和立体的轨迹引论》中阐述了解析几何的原理，提出了坐标的概念，还使用了斜坐标系和直角坐标系。

3.坐标几何的发展

笛卡尔和费马的坐标系中横、纵坐标轴都局限在正数，没有考虑负坐标轴。

英国的数学家沃里斯是第一个有意识地引进负的横、纵坐标的人，将坐标几何从曲线的范围拓展到了整个平面，同时他还为传播坐标几何的思想做出了巨大的贡献。

后来，牛顿引入极坐标系和双坐标系，极坐标系用一个固定的点和一条通过这一点的直线建立，双坐标系每个点的位置决定了它到两个固定点的距离[8]。17世纪中叶，坐标系又被推广到三维空间乃至更高维空间。到18世纪，“解析几何”慢慢地成为一门利用解析式研究几何的几何学分支。

三、坐标系的历史重构

经过上面对数学历史的考察，可以将坐标系的历史分为五个环节。第一个环节是有序数对。第二个环节是单轴的建立：笛卡尔为了研究帕泊斯问题建立倾斜坐标系，费马在研究方程的曲线时做出了倾斜坐标。他们都研究出了倾斜坐标，且坐标都局限在正数范围。第三个环节是直角坐标系：笛卡尔在他的著作《方法论》的附录《几何学》第三卷中给出了直角坐标系，费马在《论平面和立体的轨迹引论》（1629）一书中使用了直角坐标系。平面直角坐标系是现今常用的坐标系，使用量最多、最广泛。牛顿引入极坐标系和双坐标系，坐标系也被推广到三维空间和更高维空间。第四个环节是负坐标引入：沃里斯引进负的横、纵坐标，将坐标几何从曲线的范围拓展到了整个平面。第五个环节是坐标系的发展：极坐标系、双坐标系、柱坐标系和球坐标系等被发明，解析几何成为几何学的一个分支学科。

教材通常是用以下的环节讲解坐标系的知识：有序数对、数轴（单轴）、平面直角坐标系、坐标的应用。

通过对比坐标系的历史环节与教材中坐标系环节可以知道教材省略了倾斜坐标、负坐标引入、坐标系的发展环节，直接给出了平面直角坐标系的概念性定义，对照发生教学法，存在以下不足之处：（1）简化了平面直角坐标系的历史，没有解释在平面上画两条互相垂直、原點重合的数轴的缘由。（2）没有让学生了解到坐标轴有其他的类型，如倾斜坐标和极坐标，应当扩展学生对坐标轴的认知，激发学生的学习动机。为了适合教学，需要对其进行重构。下面用图2表示坐标系的历史及其重构。

四、坐标系的教学设计

1.有序数对

用去电影院看电影时寻找座位“几排几号”的情境和学生在教室中的位置“第几行第几列”的例子引出有序数对的相关概念。明确有序数对的定义。

2.数轴

复习数轴的相关知识时，强调几个重要的知识：数轴的三要素为原点、正方向和单位长度;数轴上的点和实数的关系是一一对应关系;每一个实数都可以用数轴上的点来表示。

3.直角坐标系及倾斜坐标系

从学生学过的数轴入手，将坐标系的历史融入故事中进行历史重构，设计教学情境，向学生提出问题，引发学生的思考。

情境：法国著名数学家笛卡尔最早引入了坐标系，他采用代数的方法研究几何图形。笛卡尔晚年生病卧床，有一天，他看见天花板上有一只苍蝇在慢慢爬动。笛卡尔想：如果我把这只苍蝇看成一个点的话，那么苍蝇的位置该如何表示呢？

问题1：这只苍蝇向右爬了五个格，我们应该如何用数对表示苍蝇的位置？问题2：这只苍蝇向右爬了五个格，接着向左爬了七个格，我们应该如何用数对表示苍蝇的位置？问题3：这只苍蝇向上爬了五个格，我们应该如何用数对表示苍蝇的位置？问题4：这只苍蝇向右爬了五个格，接着向上爬了三个格，我们应该如何用数对表示苍蝇的位置[9]？

学生在看到问题1和问题2后，在学习数轴的基础上能较快联系数轴，解决问题1和问题2是没有困难的。问题3引导学生改变数轴方向：正方向从向右变成了向上，数轴从横方向变成了纵方向。问题4的目的是引发学生的认知冲突，使学生注意到本题的数轴与上面问题中的数轴是有差异的，原来学习的数轴是一维层面上的，现在苍蝇在一个平面上行走，我们现在要表示的是苍蝇在平面上的位置。学生可以想到用有序数对来表示苍蝇的位置。

这样，在平面内画两个方向不重叠、原点重合的数轴，组成坐標系，可以描述平面内的点的位置。如果方向垂直，那么形成的是直角坐标系;如果方向不垂直，形成的是倾斜坐标系。教师向学生介绍在数学史上倾斜坐标系是被笛卡尔和费马发明出来，之后经过长时间的使用大家认为直角坐标系更为方便、实用，所以现在一般使用的是平面直角坐标系。

4.坐标系应用及发展

坐标系还有极坐标系、双坐标系、三维空间坐标以及更高维空间坐标等，在高中会学习空间直角坐标系、平面极坐标系、柱坐标系和球坐标系。

教师讲述关于三维空间坐标系笛卡尔与蜘蛛的典故。在教学中用数学家的故事增强教学趣味性，提升学生学习数学的兴趣。

五、结论

如克莱因所说：学生现今在学习上遇到的困难，在历史上也被数学家所遇到[10]。学生在课堂上了解数学家和数学史，经历数学家探索数学知识的过程，能唤起他们对数学家的敬佩之情，激发他们对数学学习的好奇心及求知欲，帮助学生以更广阔的视角来看数学，增加学生对数学及其社会文化背景的领悟。借助数学史实施教学，重构历史，实现弗赖登塔尔倡导的“数学再创造”，能够使教学更具趣味性，帮助学生爱上数学，也能使HPM摆脱“高评价、低应用”的尴尬境地。

参考文献：

[1]蒲淑萍，汪晓勤.教材中的数学史：目标、内容、方式与质量标准研究[J].课程·教材·教法，2015，35（3）：53-57.

[2]彭刚，汪晓勤，程靖.数学史融入数学教学：意义与方式[J].成都师范学院学报，2016，32（1）：115-120.

[3]汪晓勤，王苗，邹佳晨.HPM视角下的数学教学设计：以椭圆为例[J].数学教育学报，2011，20（5）：20-23.

[4]张俊忠，綦春霞.发生教学法：起源、理论基础与应用：以数学教育为例[J].中学数学杂志，2015（2）：1-4.

[5]吴骏，汪晓勤.发生教学法：从理论到实践：以数学教学为例[J].教育理论与实践，2013，33（2）：3-5.

[6]Freudenthal H. Major Problems of Mathematics Education[J].Educational Studies in Mathematics，1981，12（2）：133-150.

[7]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002-08.

[8]Kline M.古今数学思想[M].北京大学数学系数学史翻译组，译.上海：上海科学技术出版社，1979.

[9]岳秋，张德荣.“平面直角坐标系”：利用历史故事，实现维度跨越[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（11）：32-37.

[10]王振辉，汪晓勤.数学史如何融入中学数学教材[J].数学通报，2003（9）：18-21.

作者简介：许紫晨（1998—），女，北京人，太原师范学院硕士研究生。

郭刘龙（1964—），男，山西闻喜人，太原师范学院数学系副教授，主要从事数学教育研究。