从特征值到特征向量以及相关应用

刘国华， 许 扬

(1.东南大学 数学学院，南京210000； 2.复旦大学 计算机科学技术学院，上海200433)

1 引 言

设A是复数域上的Hermite矩阵，DENTON P B.，等在文献[3]中证明了A的特征值和特征向量之间满足下面的特征-特征向量等式

其中λ1(A)，…，λn(A)是A的特征值全体，∀l∈{1，…，n}，νl是A关于λl(A)的特征向量，Ml是A去掉第l行和第l列得到的n-1阶矩阵，λ1(Ml)，…，λn-1(Ml)，是Ml的特征值全体.此外，(ν1，ν2,…，νn)按列分块做成的n阶方阵是酉矩阵，∀(i,j)∈{1，…，n}2，νi，j表示νi的第j个分量.因此，特征值-特征向量等式反映了A的特征值，Ml(l∈{1，…，n})的特征值，A的特征向量的各分量这三者之间的关系.同时，作者们指出了类似的等式对域上的可对角化矩阵也成立，更一般地，上述等式可以推广到交换环上的可对角化矩阵上.

本文首先证明了交换环上的可上三角化矩阵上的特征值-特征向量等式，所得结果包含了可对角化矩阵的情形，推广了文献[3]的结果.由于域上的任意方阵都可以在基域的代数闭包中上三角化[4]，因此本文的结论对域上的任意方阵都成立.在本文的第4节中，给出了特征值-特征向量等式的一个应用，利用交换环上的可上三角化矩阵上的特征值-特征向量等式，证明了对域上的矩阵A的特征值λ，若∀l∈{1，…，n}，λ是Ml的特征值，则λ作为A的特征值其重数大于等于2，进一步的，当A可对角化时，前述命题的逆命题也是成立的.

2 一些定义、记号和引理

在本节中，给出文中需要的记号、定义和引理.

给定交换环R，n∈+，用In表示R上的n阶单位矩阵.对R上的n阶方阵A，∀(i,j)∈{1，…，n}2，用A(i,j)表示A的第i行第j列的元素，并记A*是A的伴随矩阵.

下面列出伴随矩阵的若干性质，在[4]中，相应的结论是对数域上的方阵来叙述的，但相同的证明方法和结论对交换环也适用.

命题1设R是交换环，n∈+，A和B是R上的n阶方阵，则

(i)A·A*=A*·A=det(A)I(n)；

(iii) 若A是上三角矩阵，则A*也是上三角矩阵，并且∀t∈{1，…，n}有

(iv) 若A是对角矩阵，则A*也是对角矩阵；

(v) 若A是R上的n阶可逆矩阵，则det(A) 是R中的乘法可逆元，且

利用命题1，可得下面的推论1，它是下文中主要借助的伴随矩阵的性质.

推论1设R是交换环，n∈+，U是R上的n阶矩阵，P是R上的n阶可逆矩阵，则有

证由命题 1，得到

3 交换环上可上三角化矩阵的特征值-特征向量等式

设R是交换环，n∈，给定P是R上的n阶可逆矩阵，D是R上的n阶上三角矩阵，(c(1)，…，c(n))∈Rn，其中

c(i)=D(i,i)， ∀i∈{1，…，n}.

(1)

记A=P·D·P-1，∀i∈{1，…，n}，B(i)为A去掉第i行及第i列所得的n-1阶方阵.

定理1是本文的一个主要结果，它是文献[2]中特征值-特征向量等式的推广，也可以看作特征值-特征向量等式内容的补充.

定理1取定l∈{1，…，n}，则有

(2)

(3)

证记U=c(l)·I(n)-D，由A=P·D·P-1可得到

c(l)·I(n)-A=P·(c(l)·I(n)-D)·P-1=P·U·P-1.

在上式的两边取伴随矩阵，利用推论1，得到

(4)

下面来考察U*，注意到D是上三角矩阵，因此U是上三角矩阵，并且

U(l,l)=c(l)-D(l,l)=c(l)-c(l)=0.

由命题1的(iii)可得U*是上三角矩阵，并且∀i∈{1，…，n}-{l}，有

(5)

(6)

另一方面，∀k∈{1，…，n}，直接计算可得

(7)

下面证明定理中的两个结论.首先，∀k∈{1，…，n}，由(4)和(7)可得

(8)

由U*是上三角矩阵及(5)知

再利用(6)和(8)，并注意到U=c(l)·I(n)-D，由上式移项即得(2)对k成立.其次，由(4)，(5)和(6)可得

再由(7)，即得

结合上面二个等式就证明了(3).

推论2若D是对角矩阵，则∀(l，k)∈{1，…，n}2，

即

上述推论是域上可对角化矩阵的特征值-特征向量等式在交换环上的推广.当R是域时，由D是对角阵知(c(1)，…，c(n))恰是A的特征值全体，再由A·P=P·D可得对∀r∈{1，…，n}，P的第r列是A关于c(r)的一个特征向量.最后，∀k∈{1，…，n}，设(μ(k，1)，…，μ(k，n-1))是B(k)在R的适当扩域中的特征值全体，于是∀(l，k)∈{1，…，n}2，由推论2 可得

上式反映了A的特征值，B(k) 的特征值，A特征向量的各分量之间的关系.进一步的，若R是复数域，A复正规矩阵，并且P是酉矩阵，则上式可写成

即为文献[3]中的特征值-特征向量等式.

4 对域上方阵的一个应用

设F是域，n∈，n≥2，给定A是F上的n阶矩阵，取定λ是A的特征值，记B(i)为A去掉第i行及第i列得到的n-1阶方阵，∀i∈{1，…，n}.

首先，利用第3节的结果来说明，若λ也是B(k)的特征值，则作为A的特征值，λ的重数一定大于等于2.即下面的推论3 和推论4.

证取定F的一个代数闭包k，于是存在k上的可逆矩阵P和上三角矩阵D，满足A=P·D·P-1(文献[1]).因此矩阵D的对角线元素(d(1)，…，d(n))是A的特征值全体，又因为λ是A的特征值，故存在(不妨取定)l∈{1，…，n}，使得d(l)=λ.对l用定理1的(3)，即得

再由k是域，故存在t∈{1，…，n}-{l}，使得d(t)=λ.结合d(l)=λ，就得到了作为A的特征值，λ的重数大于等于2.

推论4设∀k∈{1，…，n}，λ是B(k)的特征值.则作为A的特征值，λ的重数大于等于2.

下面的推论5说明，当A可对角化时，推论4的逆命题也成立.

推论5设A在F上可对角化，则下面两个命题等价：

(i)作为A的特征值，λ的重数大于等于2；

(ii)∀k∈{1，…，n}，λ是B(k)的特征值.

证由推论 4，只需证(i) ⟹ (ii).设有F上的可逆矩阵P和对角矩阵D满足A=P·D·P-1.由(i)，存在(不妨取定) (t，r)∈{1，…，n}2，使得

t≠r，d(r)=λ，d(t)=λ，

(9)

∀k∈{1，…，n}，对(t,k)用推论2，并注意到d(t)=λ，得到

det(λ·I(n-1)-B(k))=0，

即λ是B(k)的特征值.

5 结 论

本文推广了DENTON P B等人关于特征值特征向量的结果，证明了文献中的结果可以推广到域上的可对角化矩阵中的相关等式，更一般地，上述等式可以推广到交换环上的可对角化矩阵上.丰富了线性代数的基础理论.

致谢作者非常感谢《大学数学》的审稿专家，他们的建议使作者受益良多！作者从相关的参考文献中也得到了很多启发，在此表示感谢！