遵循“教与学”与“教与数学”对应原理的勾股定理教学设计研究

甘肃省天水市天水师范学院数学与统计学院(741001) 王聃聃 王艳丽 刘丽 李娟 王三福

“教与学”与“教与数学”对应原理揭示了数学有效教学的基本规律,它对教师素质和学习结果提出了明确的要求,对教学方式和学习方式给出了具体的指导[1,2].其在数学基本结论教学过程中的运用是展现数学基本结论的发现过程与方法,渗透归纳与演绎、分析与综合等数学思想方法,并重视数学的基本活动经验,经历提出解决问题的过程,让学生领悟科学研究的一般方法,提高认识能力[3].它可以帮助教师将教材中抽象的数学原理变成易于学生掌握的数学知识,形成“教会学生思考”的教学设计.

1 勾股定理等基本结论类教学设计现状

教师在进行数学基本结论类教学设计往往过度依托于教材,忽略数学史在发现、验证、应用基本结论中的重要作用.本文从“数学史”的角度切入,分析勾股定理相关教学设计的“数学史”呈现情况,将“教与学”与“教与数学”对应原理融入数学史开展教学设计.

有关勾股定理的数学史在三个教材版本中的呈现情况如下:从章节安排上看,三个版本的教材都是在全等三角形等内容之后,“勾股定理”章节中的第一节,后面是“勾股定理的逆定理”等,但是所呈现的数学史却明显不同.“人教版”选择了毕达哥拉斯地砖导入,通过赵爽弦图证明;“苏教版”利用希腊纪念邮票引入,通过赵爽弦图证明;“北师大版”选择通过探索得到结论,设立“漫画勾股世界”探索证明方法.三个版本教材都设立例题与习题来实现其应用,都试图告诉读者勾股定理的发生发展过程.

然而教师们在实践中想要将这种思想通过教学设计实现时,就发生了变化,经常会出现将勾股定理丰富的史料仅作为故事课前导入,或在课中稍加涉及,又或在课后当阅读材料呈现给学生,这样处理有可能忽视了“数学史”在勾股定理发现时所产生的思想与方法,也因少了学生的互动参与,错过了让学生“发现勾股定理”的数学体验,最终可能偏离“做数学”的目标.

2 教学设计理论基础

数学教育既需遵循一般教育过程的规律,又需体现数学教育的特殊性[2,5],这种双重性使得数学教育是一类特殊的研究对象.从而数学教学设计需按照“教与学”和“教与数学”对应二重原理来进行.“教与学对应”指根据学生的“学”来定教师的“教”,即依据学生的学习情况、学习现状及教学内容来确定教学目标、重难点、教学方法和过程等[2].“教与数学对应”原理认为有效的数学课堂教学,应当以数学内容、本质、特征为基础,结合教与学的一般规律,以中小学数学核心知识内容和主要思想方法为载体来设计和组织教学[1,2].

“勾股定理”等数学基本结论的教学设计也应遵循此二重原理,这样才能更好地帮助学生去探索勾股定理等数学基本结论发生发展过程,才能有助于学生更好地理解其本质,提高学生运用其解决数学以及实际生活问题的能力.首先,勾股定理来源于生活、是通过数形结合的思想方法,逐步抽象归纳出来的.事实上,无论是毕达哥拉斯地砖,还是勾三股四弦五,都是人们对某些直角三角形性质的认识,后经过毕达哥拉斯等数学家归纳总结出该定理.其次,数学史上一些著名的勾股定理证明方法,从不同角度对其表现形式进行加工处理,可以为学生展示该定理的发生发展过程,有利于锻炼学生的逻辑、抽象思维等数学能力.“巴河姆故事”等可为学生提供定理解决问题的方式方法.同时,勾股定理是直角三角形的一个特殊性质,它是几何代数化的启蒙,是联系三角形与三角函数等内容的一个重要知识节点,体现了归纳、数形结合等数学思想.所以利用数学史围绕“勾股定理的发现、验证、明确、应用”来展开教学,让学生理解“勾股定理”问题的起源、发展和应用,既有利于学生对勾股定理本质及应用的把握,又可以起到对建构三角函数等新知识的导航作用.

3 教学设计框架

由“教与学”和“教与数学”对应原理进行勾股定理的教学设计,要遵从学生的已有知识及认知规律、应完成教学任务进行整合.

3.1 基于学生学生的学情及认知规律,体现“教与学对应”

首先,学生现有与后续将具有的与勾股定理相关的数学知识如表1.

表1 与“勾股定理”相关的教学内容

从表1 中可以看到学生已有三角形相关的数学知识,在学习上述内容的过程中,学生有直角三角形认知经历,从三角形定义到其几何性质探索的学习经历,一次函数、二次函数图像等数形结合思想的体验等,这些都有利于学生学习“勾股定理”.

其次,根据预设内容,可以围绕观察、实验发现勾股定理,数形结合方法来验证,运用结论解决问题的教学模式进行教学设计,让学生以“再创造”方式发现勾股定理,来培养学生发现探索数学规律的能力.

3.2 根据数学史料设计核心问题,体现“教与数学对应”

数学教学需满足“教与数学对应”原理,对“勾股定理”的教学而言,就需要根据数学史进行情境创设揭示其发生发展过程,既有利于学生在情境中获取其直观表象,又与实际问题相联系.为此,首先通过数学史的文献的阅读,挖掘其蕴含的数学知识和数学问题,后根据教学目标,梳理出核心数学问题,如表2所示.

表2 “勾股定理”教学设计预设核心问题

确立“如何发现”,“为什么成立”,“有何用处”是“勾股定理”教学的核心问题后,教师需结合教学现状,利用教材及数学史等创设教学情境,围绕这三个问题开展课堂教学,引导学生不断深入思考如何解决这三个问题,逐步展示定理的发现发生过程,教师通过解决问题的教学活动,教会学生学习数学基本结论的科学研究方法.

4 教学设计实践

根据预设的教学设计,依托某校八年级学生的认知基础,教师A 选取数学史的相关内容,完成“勾股定理”的教学设计,并对“核心问题”不断修订,并通过教学实践检验逐步完善.

4.1 教师的教学设计初稿

教师A 围绕“勾股定理的发现、验证、应用”教学设计初稿配图如图1,并设计如下教学片段:

图1

【片段1】利用“毕达哥拉斯地砖”[6],让学生直观感受,并利用图一、图二,引导学生发现“勾股定理”.

【片段2】展示赵爽弦图(图三),指出其为第24 届国际数学家大会会标.引导学生利用赵爽弦图证明勾股定理,并体会赵爽的证明方法,并注意渗透数形结合思想,让学生体会我国古代数学的成就.

【片段3】刘徽,欧几里得等均采用不同的方法来证明勾股定理,现有400 多种不同证法,引导学生课外探究勾股定理的证明方法,体会数形结合思想.

【片段4】通过解答“巴河姆的故事”等数学问题说明勾股定理的应用.

做出如上设计是教师A 利用其预设的核心问题来展开.

从以上分析可看出,利用勾股定理的发现发展过程来进行教学,清晰的表明了人类对几何的认识逐步代数化的过程.但是以下问题值得深入分析.

O:勾股定理揭示了什么?

A:描述了三边关系,揭示了直角三角形的本质特征,指出了直角边与斜边所处的地位不同.

O:怎样理解勾股定理?

A:可以从文字描述、符号语言、图形表述来加深对定理的理解.

Q:勾股定理有什么发展?

A:勾股定理除在几何中应用外,还引发了第一次数学危机,引出了费尔马大定理等数学问题,推动了数学的发展.

O:勾股定理中最重要的数学思想是什么?

A:几何代数化,数形结合.

结合这样的分析,教师A 认为在教学设计初稿中培养学生发现问题,解决问题的能力不够,渗透数形结合的思想太少,担心学生不能正确领会所描述的数学规律,于是依据双重原理,回到“发现发展勾股定理”的本质,增加图形,修改教学设计.

图2

4.2 教师的教学设计修改版

考虑勾股定理本质上是揭示了直角三角形边与边之间的关系,借鉴数学史资料,教学设计应该更加有利于学生“发现”、“验证”、“理解”、“应用”勾股定理.

【片段6】请学生说出勾股定理描述了直角三角形中什么关系?

【片段7】启发探究,让学生思考利用图四来证明勾股定理,使学生进一步体会数形结合思想.

【片段8】利用文字、图形、符号语言分别描述勾股定理,探究其本质特征.

【片段9】向学生介绍第一次数学危机、费尔马大定理等,体会勾股定理发展以及对数学发展的推动作用.

4.3 课堂的教学设计实践

为了更好突出“勾股定理”的本质,教师A 再次明确勾股定理的教学目标:

(1)体验勾股定理的探索发现过程.

(2)掌握利用图形验证勾股定理的方法,体会数形结合思想.

(3)领会勾股定理的内容.

(4)体会勾股定理在实际生活、数学学习、数学发展中的应用.

为此确立了新的教学思路为:利用“毕达哥拉斯地砖”引导学生探索“发现”勾股定理,利用赵爽弦图证明,再现赵爽的证明方法,引导学生探索其它证明方法,体验数形结合的思想.利用文字语言、几何图形、符号语言从不同角度描述定理,加深对勾股定理的理解.向学生介绍与勾股定理相关的重要历史事件,并利用定理解决数学问题,让学生体会其作用并学会运用.采用“发现勾股定理”——“验证勾股定理”——“明确勾股定理”-“应用勾股定理”——“总结教学活动”等步骤来开展教学活动,通过教学实践进一步完善.

5 教学设计实践反思

通过教学活动实践后,教师学生评价反馈,这样的教学设计利用数学史来设计数学问题并加以解决,能体现数形结合、几何代数结合的数学思想方法,具有比较高的创新性,是不错的教学设计尝试.由于学生学习情况及学习水平不完全相同,某些教学设计还应根据学生情况进行修改完善.